常微分方程试卷

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《常微分方程》试题

一.填空题

1．若xi(t)（i=1,2,┄,n）是n阶线性齐次方程的一个基本解组，x(t)为非齐性齐次方程方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为2．若?（t）和?（t）都是xˊ=A(t)x的基解矩阵，则?（t）与?（t）具有关系：3．若?（t）是常系数线性方程组x??Ax的基解矩阵,则该方程满足初始条件?(t0)??的解?(t)=_____________________

4．二阶线性齐次微分方程的两个解y??1(x),y??2(x)成为其基本解组的充要条件

5．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间.

6.向量函数组Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)线性相关的条件是它们的朗斯期行列式W(x)=0.

7.若X1(t),X2(t),?Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是8.若?(t)和?(t)都是X'=A(t)X的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有关系：二.单项选择题

1.简单验证：y1?coswx,y2?sinwx(w?0)是二阶微分方程y???w2y?0的解，试指出以下哪个函数是方程的通解。（式中C1,C2为任意常数）（）（A）y?C1coswx?C2sinwx（B）y?C1coswx?2sinwx（C）y?C1coswx?2C1sinwx（D）y?C12coswx?C2sinwx2.微分方程y???y?ex?1的一个特解应有形式()

（A）aex?b；（B）axex?bx；（C）aex?bx；（D）axex?b3.微分方程y????y??sinx的一个特解应具有形式()

（A）Asinx（B）Acosx（C）Asix?Bcosx（D）x(Asinx?Bcosx)

4.微分方程y???y?xcos2x的一个特解应具有形式（）

（A）(Ax?B)cos2x?(Cx?D)sin2x（B）(Ax2?Bx)cos2x（C）Acos2x?Bsin2x（D）(Ax?B)cos2x5.微分方程y''?2y'?1?0的通解是（）

（A）y?(C1?C2x)e?x；（B）y?C1ex?C2e?x；

11（C）y?C1?C2e?2x?x；（C）y?C1cosx?C2sinx?x。

226.设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程

y''?p(x)y'?q(x)y=f(x)的解，C1,C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是（）

（A）C1y1?C2y2?y3；（B）C1y1?C2y2?(C1?C2)y3；（C）C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3；（D）C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3

7．函数?1(x),?2(x)在区间［a,b］上的朗斯基行列式恒为零，是它们在[a,b]上线性相关的().

(A)充分条件；(B)必要条件；

(C)充分必要条件；(D)充分非必要条件.

8．n阶线性非齐次微分方程的所有解是否构成一个线性空间?()

(A)是；(B)不是；(C)可能是；(D)可能不是.

9.两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有一致的基本解组?()

(A)不可以(B)可以(C)可能不可以(D)可能可以

dY?A(x)Y的一个基解矩阵，T为非奇异n×n10.若Φ(x)是线性齐次方程组dx常数矩阵，那么Φ(x)T是否还是此方程的基解矩阵.()

(A)是(B)不是(C)可能是(D)可能不是三．将以下方程式化为一阶方程组P201

d2xdx（1）m2?c?kx?f(t)

dtdt

（2）y????a1(x)y???a2(x)y??a3(x)y?0

四．已知方程(x?1)y???xy??y?0的一个解y1?x，试求其通解．P172

五．计算以下各题

1．x???x?sint?cos2tP147

22、求微分方程xy???xy??1的通解。

??1??21?3．若A??试求方程组x??Ax的解?(t),?(0)?????并求expAt???14???2?

?2?11??4、试求：12?1?的基解矩阵????1?12??

六．设函数?(x)连续?且满足?(x)?ex??t?(t)dt?x??(t)dt?求?(x)?(8分)

00xx

七．设n?n矩