精选河北省2023届中考数学系统复习-第三单元-函数-第10讲-第2课时-一次函数的实际应用(8年真题训练)练习

河北省2023届中考数学系统复习-第三单元-函数-第10讲-第2课时-一次函数的实际应用(8年真题训练)练习PAGE呵呵复活复活复活第2课时一次函数的实际应用命题点一次函数的实际应用1．(2023·河北T23·10分)水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将假设干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．(1)只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式(不必写出x大的范围)；(2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小．①求y与x小的函数关系式(不必写出x小的范围)；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？解：(1)y＝4x大＋210.(2)①当x大＝6时，y＝4×6＋210＝234，∴y＝3x小＋234.②依题意，得3x小＋234≤260，解得x小≤8eq\f(2,3).∵x小为自然数，∴x小最大为8，即最多能放入8个小球．2．(2023·河北T24·10分)某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具，调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系，如下表：第1个第2个第3个第4个…第n个调整前的单价x(元)x1x2＝6x3＝72x4…xn调整后的单价y(元)y1y2＝4y3＝59y4…yn这n个玩具调整后的单价都大于2元．(1)求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围；(2)某个玩具调整前单价是108元，顾客购置这个玩具省了多少钱？(3)这n个玩具调整前、后的平均单价分别为x，y，猜测y与x的关系式，并写出推导过程．解：(1)设y＝kx＋b，1分依题意，得x＝6，y＝4；x＝72，y＝59.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝6k＋b，,59＝72k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(5,6)，,b＝－1.))∴y＝eq\f(5,6)x－1.3分依题意，得eq\f(5,6)x－1＞2，解得x＞eq\f(18,5).∴x的取值范围为x＞eq\f(18,5).5分(2)将x＝108代入y＝eq\f(5,6)x－1，得y＝eq\f(5,6)×108－1＝89，∴108－89＝19(元).6分∴顾客购置这个玩具省了19元.7分(3)y＝eq\f(5,6)x－1.8分推导过程如下：由(1)，得y1＝eq\f(5,6)x1－1，y2＝eq\f(5,6)x2－1，…，yn＝eq\f(5,6)xn－1，∴y＝eq\f(1,n)(y1＋y2＋…＋yn)＝eq\f(1,n)[(eq\f(5,6)x1－1)＋(eq\f(5,6)x2－1)＋…＋(eq\f(5,6)xn－1)]＝eq\f(1,n)[eq\f(5,6)(x1＋x2＋…＋xn)－n]＝eq\f(5,6)×eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)－1＝eq\f(5,6)x－1.10分3．(2023·河北T24·9分)A，B两地的路程为240千米，某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地，受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现在有货运收费工程及收费标准表，行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数图象(如图1)，上周货运量折线统计图(如图2)等信息如下：货运收费工程及收费标准表运输工具运输费单价元/(吨·千米)冷藏单价元/(吨·时)固定费用元/次汽车25200火车1.652280图1图2(1)汽车的速度为60千米/时，火车的速度为100千米/时；(2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽(元)和y火(元)，分别求y汽，y火与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)及x为何值时，y汽＞y火；(总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用)(3)你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？解：(2)依题意，得y汽＝240×2x＋eq\f(240,60)×5x＋200＝500x＋200，y火＝240×1.6x＋eq\f(240,100)×5x＋2280＝396x＋2280.假设y汽>y火，那么500x＋200>396x＋2280，∴x>20.(3)上周货运量x＝(17＋20＋19＋22＋22＋23＋24)÷7＝21(吨)>20吨．从平均数分析，建议预定火车费用较省．从折线图走势分析，上周货运量周四(含周四)后大于20且呈上升趋势，建议预定火车费用较省.重难点1一次函数的图象信息题(2023·咸宁)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．甲先出发4分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如以以下图，以下结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】首先注意，y表示的是两人之间的距离，从图象中，我们可以看到3个确定的点(0，0)，(4，240)，(16，0)．点(4，240)的实际意义就是，甲4分钟步行了240米；(16，0)的实际意义是甲步行16分钟时，两人距离为0，即乙追上了甲，所以乙12分钟追上甲；同时也说明甲步行16分钟的路程和乙步行12分钟的路程相等；乙走完全程时，甲走了34分钟，走了2040米，距离终点360米．【变式训练1】(2023·丽水)某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如以以下图，那么以下判断错误的选项是(D)A．每月上网时间缺乏25h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱eq\x(方法指导)解答函数图象信息题要经历“信息提取，图象理解，问题解决〞的过程．其中最重要的环节是利用数形结合思想解读函数图象，其方法是：(1)明确“两坐标轴〞所表示的意义；(2)弄清图象上的转折点、最高(低)点与坐标轴的交点等特殊点所表示的意义；(3)弄清上升线和下降线所表示的意义．eq\x(易错提示)注意，y表示的是两人之间的距离．重难点2一次函数的实际应用(2023·梧州)我市从2023年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店方案最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．(1)求A，B两种型号电动自行车的进货单价；(2)假设A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店方案购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；(3)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？【思路点拨】(1)设A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元，(x＋500)元，构建分式方程即可解决问题；(2)根据总利润＝A型的利润＋B型的利润，列出函数关系式即可；(3)利用一次函数的性质即可解决问题．【自主解答】解：(1)设A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元，(x＋500)元．由题意，得eq\f(50000,x)＝eq\f(60000,x＋500)，解得x＝2500.经检验，x＝2500是分式方程的解．答：A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元，3000元．(2)y＝300m＋500(30－m)＝－200m＋15000.(3)∵2500m＋3000(30－m)≤80000，∴m≥20.∵m≤30，∴20≤m≤30.y＝－200m＋15000，∵－200＜0，20≤m≤30，∴m＝20时，y有最大值，最大值为11000元．【变式训练2】(2023·临沂改编)某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y(元)与每月用水量x(m3)之间的关系如以以下图．(1)求y关于x的函数解析式；(2)按照新标准，用户A一个月用水10m3，需缴纳水费多少元？用户B一个月缴纳水费51元，用水量是多少？(3)假设某用户二、三月份共用水40m3(二月份用水量不超过25m3)，缴纳水费79.8元，那么该用户二、三月份的用水量各是多少？解：(1)当0≤x≤15时，设y与x的函数解析式为y＝kx，那么15k＝27，解得k＝1.8.∴y＝1.8x.当x＞15时，设y与x的函数解析式为y＝ax＋b，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15a＋b＝27，,20a＋b＝39，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2.4，,b＝－9.))∴y＝2.4x－9.综上，y关于x的函数解析式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.8x〔0≤x≤15〕，,2.4x－9〔x＞15〕.))(2)当x＝10时，y＝1.8×10＝18.由题意，得51＝2.4x－9，解得x＝25.答：用户A需缴纳水费18元，用户B的用水量是25m3.(3)设二月份的用水量是xm3，当15＜x≤25时，2.4x－9＋2.4(40－x)－9＝79.8，方程无解．当0＜x≤15时，1.8x＋2.4(40－x)－9＝79.8，解得x＝12.∴40－x＝28.答：该用户二、三月份的用水量各是12m3，28m3.eq\x(方法指导)1．根据实际问题列一次函数解析式时，其呈现方式主要有文字描述、图象信息、表格信息等方式，此题是文字描述，关键是利用采购费用间的关系得出函数解析式．2．一次函数、不等式的综合运用的最优问题，一般思路是先求出一次函数关系式，再由不等式确定一次函数自变量的取值范围，最后根据一次函数的增减性确定最值．eq\x(易错提示)1．解分式方程注意要检验．2．注意“某商店方案最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆〞，是用来求自变量取值范围的．1．假设弹簧的总长度y(cm)是所挂重物x(千克)的一次函数图象如以以下图，那么不挂重物时，弹簧的长度是(B)A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm2．(2023·德州)公式L＝L0＋KP表示当重力为P的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米(cm)表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米(cm)表示．下面给出的四个公式中，说明这是一个短而硬的弹簧的是(A)A．L＝10＋0.5PB．L＝10＋5PC．L＝80＋0.5PD．L＝80＋5P3．(2023·河北二模)超市有A，B两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油(瓶子都装满，且无剩油)；当日促销活动：购置A型瓶3个或以上，一次性返还现金5元．设购置A型瓶x(个)，所需总费用为y(元)，那么以下说法不一定成立的是(C)型号AB单个瓶子容量(升)23单价(元)56A.购置B型瓶的个数是(5－eq\f(2,3)x)为正整数时的值B．购置A型瓶最多为6个C．y与x之间的函数关系式为y＝x＋30D．小张买瓶子的最少费用是28元4．(2023·唐山路北区模拟)甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了3小时完成了剩余的清雪任务，甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量y(吨)与清雪时间x(时)之间的函数图象如以以下图．(1)乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为270吨；(2)求此次任务的清雪总量m；(3)求乙队调离后y与x之间的函数关系式．解：(2)乙队调离之前，甲、乙两队每小时的清雪总量为eq\f(270,3)＝90(吨)，乙队每小时清雪50吨，∴甲队每小时清雪量为90－50＝40(吨)．∴m＝270＋40×3＝390.∴此次任务的清雪总量为390吨．(3)由(2)可知，点B的坐标为(6，390)，设乙队调离后y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．∵图象经过点A(3，270)，B(6，390)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝270，,6k＋b＝390，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝40，,b＝150.))∴乙队调离后y与x之间的函数关系式为y＝40x＋150.5．(2023·河北模拟)石家庄市为积极响应中央文明办关于创立全国文明城市的通知，积极组织运输队清理城市垃圾．某运输公司承当了某标段的垃圾运输任务，派出大、小两种型号的垃圾运输车，1辆大型垃圾运输车和2辆小型垃圾运输车每次共运20吨，2辆大型垃圾运输车和5辆小型垃圾运输车每次共运45吨．(1)1辆大型垃圾运输车和1辆小型垃圾运输车每次各运输垃圾多少吨？(2)该垃圾运输公司决定派出大、小两种型号垃圾运输车共30辆参与垃圾运输任务，1辆大型垃圾运输车运输花费是500元/次，1辆小型垃圾运输车运输花费是300元/次．假设每次运输垃圾总量不少于199吨，那么每次运输的运费最少是多少？解：(1)设1辆大型垃圾运输车每次运输垃圾x吨，1辆小型垃圾运输车每次运输垃圾y吨，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝20，,2x＋5y＝45，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝5.))答：1辆大型垃圾运输车每次运输垃圾10吨，1辆小型垃圾运输车每次运输垃圾5吨．(2)设派出大型垃圾运输车a辆，那么派出小型垃圾运输车(30－a)辆，根据题意，可得10a＋5(30－a)≥199，解得a≥9.8.设运输总花费为W元，那么W＝500a＋300(30－a)＝200a＋9000.∵200>0，∴W随a的增大而增大．又∵a≥9.8，且a为整数，∴当a＝10时，W取得最小值，最小值为200×10＋9000＝11000(元)．答：每次运输的运费最少是11000元．6．(2023·唐山乐亭县二模)某新建小区要修一条1050米长的路，甲、乙两个工程队想承建这项工程，经了解得到下表所示信息：工程队每天修路的长度(米)单独完成所需天数(天)每天所需费用(元)甲队30n600乙队mn－141160(1)甲队单独完成这项工程所需天数n＝35天，乙队每天修路的长度m＝50米；(2)甲队先修了x米之后，甲、乙两队一起修路，又用了y天完成这项工程(其中x，y为正整数)．①当x＝90时，求出乙队修路的天数；②求y与x之间的函数关系式(不用写出x的取值范围)；③假设总费用不超过22800元，求甲队至少先修了多少米？解：(2)①乙队修路的天数为eq\f(1050－90,30＋50)＝12(天)．②由题意，得x＋(30＋50)y＝1050.∴y与x之间的函数关系式为y＝－eq\f(x,80)＋eq\f(105,8).③由题意，得600×eq\f(x,30)＋(600＋1160)y≤22800.∴20x＋1760×eq\f(1050－x,80)≤22800，解得x≥150.又∵y为正整数，∴x至少取170米．答：假设总费用不超过22800元，那么甲队至少先修了170米．7．(2023·南京)小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中．设小明出发第tmin时的速度为vm/min，离家的距离为sm，v与t之间的函数关系如以以下图(图中的空心圈表示不包含这一点)．(1)小明出发第2min时离家的距离为200m；(2)当2＜t≤5时，求s与t之间的函数解析式；(3)画出s与t之间的函数图象．解：(2)当2＜t≤5时，s＝100×2＋160(t－2)＝160t－120.∴s与t之间的函数解析式为s＝160t－120.(3)s与t之间的函数关系式为s＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(100t〔0≤t≤2〕，,160t－120〔2<t≤5〕，,80t＋280〔5<t≤6.25〕，,1280－80t〔6.25<t≤16〕.))如以以下图：8．(2023·重庆A卷)A，B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发．途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时(仍保持匀速前行)，甲、乙两车同时到达B地．甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的关系如以以下图，求乙车修好时，甲车距B地还有90千米．9．(2023·广西)某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨．(1)求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？(2)现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/吨(10≤a≤30)，从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运m吨原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式(不要求写出m的取值范围)；(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，W的变化情况．解：(1)设甲仓库存放原料x吨，乙仓库存放原料y吨，由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝450，,〔1－0.4〕y－〔1－0.6〕x＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝240，,y＝210.))答：甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料210吨．(2)由题意，从甲仓库运m吨原料到工厂，那么从乙仓库运(300－m)吨原料到工厂，总运费W＝(120－a)m＋100(300－m)＝(20－a)m＋30000.(3)①当10≤a＜20时，20－a＞0，由一次函数的性质，得W随m的增大而