概率统计复习题1

本文格式为Word版，下载可任意编辑——概率统计复习题1复习题（1）--（A）

22备用数据：t0.995(8)?3.3554,?0.025(8)?2.1797,?0.975(8)?17.5345,

?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(1.645)?0.95.

一、填空题(18分)

1、（6分）已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.32,则P(A?B)?_____，

P(AB)?，P(A?B)?.

2、（6分）设一个袋中装有两个白球和三个黑球，现从袋中不放回地任取两个球，则取到

的两个球均为白球的概率为；其次次取到的球为白球的概率为；假使已知其次次取到的是白球，则第一次取到的也是白球的概率为.

3、（6分）假设某物理量X听从正态分布N(?,?2),现用一个仪器测量这个物理量9次,由此算出其样本均值x?56.32,样本标准差s?0.22,则?的置信水平0.99的双侧置信区间为_____________,?的置信水平0.95的双侧置信区间为_______________.

二、（12分）设有四门火炮独立地同时向一目标各发射一枚炮弹，若有两发或两发以上的炮

弹命中目标时，目标被击毁.

（1）假使每发炮弹命中目标的概率（即命中率）为0.9，求目标被击毁的概率；（2）若四门火炮中有两门A型火炮和两门B型火炮，A型火炮发射的炮弹的命中率

为0.9，B型火炮发射的炮弹的命中率为0.8，求目标被击毁的概率.

三、(12分)设某保险公司开办了一个农业保险项目，共有一万农户参与了这项保险，每户交保险费1060元，一旦农户因病虫害等因素受到损失可获1万元的赔付，假设各农户是否受到损失相互独立.每个农户因病虫害等因素受到损失的概率为0.10.不计营销和管理费用.（要求用中心极限定理解题）

(1)求该保险公司在这个险种上产生亏损的概率；(2)求该保险公司在这个险种上的赢利不少于30万的概率.

四、(16分)设随机变量X的分布函数为

2??x2?F(x)??A?Be,x?0.其中A,B为常数.

??0,x?0(1)求常数A,B;(2)求X的概率密度函数；(3)求概率P(1?X?2);(4)求E(X),E(X2),D(X).

??1,y?x且0?x?1五、（16分）若(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??

??0,其他(1)分别求X,Y边缘密度函数；(2)求E(X),E(Y),E(XY);(3)问：X,Y是否相互独立？X,Y是否相关?为什么？请说明理由.(4)求P(X?

六、(12分)设X1,X2,11,Y?).22,X6是取自正态总体N(0,?2)的简单随机样本,?2?0,分别

2X1?X2?X32(X12?X2)求以下统计量听从的分布：（1）T1?2；（2）.T?2222222X3?X4?X5?X6X4?X5?X6

七、（14分）设X1,X2,,Xn是取自总体X的样本,X的密度函数为

??1?x??e2,x??f(x)??2,其中?未知.

?0,x???(1)求?的极大似然估计;

(2)问:?的极大似然估计是?的无偏估计吗?假使是，请给出证明；假使不是，请将其修正为?的无偏估计.

参考答案：

一、1.0.5720.1280.8722.0.10.40.25[0.022,0.1776]

3.[56.0739,56.5660],二、(1)0.9963三、(1)1??(2)(2)0.9892(2)?(1)

2??x1??xe2,x?0四、(1)A?1,B??1(2)f(x)??(3)P(1?X?2)?e2?e?2

?x?0?0,(4)E(X)?2??,E(X2)?2,D(X)?2?22五、(1)fX(x)??

?2x,0?x?1其余?0,?1?|y|,0?|y|?1fY(y)??其余?0,2(2)E(X)?,E(Y)?0,E(XY)?0311(3)X与Y不独立，由于f(,0)?fX()fY(0),也不相关，由于E(XY)?E(X)E(Y)33(4)P(|X|?0.5,|Y|?0.5)?0.25六、(1)T1F(2,4)(2)T2t(3)

??X七、(1)?(1)

?)???2??，所以不是无偏估计，???X?2为无偏估计。(2)E(?1(1)nn

复习题（1）（B）

22备用数据：t0.95(9)?1.833,?0.025(9)?2.700,?0.975(9)?19.023,

?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(1.645)?0.95.F0.95(1,1)?161.45.

一、填空题(18分)

1、（6分）掷一颗均匀的骰子两次，以x,y表示先后掷出的点数，记A??(x,y):x?y?10?，

B??(x,y):x?y?则P(A?B)?_____，P(AB)?，

P(BA)?.2、（6分）某公共汽车站从上午7：00起每15分钟发一班车，假使小王是在7：00到7：30之间（等可能地）随机到达该汽车站的，则小王在车站的等候时间不超过5分钟的概率为；小王在车站的平均等候时间为分钟，小王在车站的等候时间的标准差为分钟.

3、（6分）假设某物理量X听从正态分布N(?,?),现用一个仪器测量这个物理量10次,由此算出其样本均值x?14.705,样本标准差s?1.843,则?的置信水平0.90的双侧置信区间为_________________,?的置信水平0.95的双侧置信区间为_______________.

二、（12分）某种电子元件在电源电压不超过200伏、200伏至240伏之间及超过240伏这三种状况下使用时损坏的概率依次为0.1、0.001及0.2，设电源电压X~N(220,400).（1）求此种电子元件在使用时损坏的概率；

（2）求此种电子元件在遭损坏时电源电压在200伏至240伏之间的概率.

三、(12分)每个正常男性成人血液中每毫升所含的白细胞数的数学期望为7300，标准差为700.现准备随机抽查100个正常男性成人的血液，记第i个被抽查人的血液中每毫升所含的

21100i?1,2,?,100.记X??的近似值.白细胞数为Xi，Xi.求概率P?7230?X?7370?100i?1（要求用中心极限定理解题）

四、(16分)设随机变量X的密度函数为

?32?x,?1?x?1.f(x)??2??0,其他记Y?X.

(1)求Y的概率密度函数；(2)求E(X),E(Y),E(XY);（3）问：X,Y是否相互独立？X,Y是否不相关？请说明理由.

2?62xy?(x?),0?x?1且0?y?2五、（16分）若(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??72??0,其他(1)分别求X,Y边缘密度函数；(2)求X,Y的协方差和相关系数;(3)求P(X?

六、(12分)设X1,X2,X3,X4是取自正态总体N(0,?)的简单随机样本,?2211,Y?).22?0.

?X1?X2(1)求统计量Y???X?X4?3???听从的分布;?2??(X1?X2)2?(2)求小于1的常数C使得P??C?(X?X)2?(X?X)2??0.05.

234?1?

七、（14分）设X1,X2,,Xn是取自总体X的样本,X的密度函数为

x1?f(x;?)?e2??其中?未知,??0.

(1)求?的极大似然估计;

(2)问:?的极大似然估计是?的无偏估计吗?假使是，请给出证明；假使不是，请将其修正为?的无偏估计.

参考答案：一、1.3.8919232.1315218.75；

[13.6367,15.7732],(2)0.[1.607,11.322]

二、(1)0.0483三、2?(1)?1

?3y,0?y?1?四、(1)f(y)??2

?其余?0,3(2)E(X)?0,E(Y)?,E(XY)?051111(3)X与Y不独立，由于F(,)?FX()FY(),也不相关，由于E(XY)?E(X)E(Y)2424

?62?(2x?x),0?x?1五、(1)fX(x)??7?0,其余?99,?(X,Y)?154923

11(3)P(|X|?0.5,|Y|?0.5)?448(2)cov(X,Y)?六、(1)Y?1?(4?3y),0?y?2fY(y)??14?0,其余?F(1,1)n(2)c?161.45161.45?

161.45?1162.45??1|X|七、(1)??ini?1

?)??，所以是无偏估计。(2)E(?复习题(2)--（A）

备用数据：

22u0.99?2.326,t0.995(99)?u0.995?2.575,?0.005(99)?66.510,?0.995(99)?138.987

一、选择题（20分，每题4分，请将你选的答案填在（）内）

1、以下结论哪一个不正确（）

(A)设A,B为任意两个事件，则AB?A?B；(B)若A?B，则A,B同时发生或A,B同时不发生；(C)若A?B，且B?A,则A?B；(D)若A?B，则A-B是不可能事件.

2、设(X,Y)的联合概率函数为

YX0101/8011/41/821/81/4301/8则（1）概率P(1?Y?3,X?0)等于（）

5137(A)；(B)；(C)；(D).

8248

（2）Z?X?Y的概率函数为（）

(A)

Z概率01/813/821/431/841/8(B)

Z概率13/821/431/441/8(C)

Z概率11/821/431/443/8(D)

Z概率01/811/421/431/441/83、假使EX??，EY??，且X与Y满足D(X?Y)?D(X?Y),则必有（）

(B)X与Y不相关；(C)D(Y)?0；(D)D(X)D(Y)?0.(A)X与Y独立；

4、若D(X)?25,D(Y)?36,X和Y的相关系数?X,Y?0.4，则X,Y的协方差Cov(X,Y)等于（）

(A)5；(B)10；(C)12；(D)36.

二、（12分）设X,Y为随机变量，且P(X?0,Y?0)?求（1）P(min(X,Y)?0)；（2）P(max(X,Y)?0).

三、(10分)一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，他断言凶犯是黑人.然而，当调查这一案件的警察在可比较的光照条件下屡屡重新浮现现场状况时，发现受害者正确识别袭击者肤色的概率只有80%，假定凶犯是本地人，而在这个城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的犯罪率一致，

（1）问：在这位男子断言凶犯是黑人的状况下，袭击他的凶犯确实是黑人的概率是多大？（2）问：在这位男子断言凶犯是黑人的状况下，袭击他的凶犯是白人的概率是多大？

四、(10分)某商业中心有甲、乙两家影城，假设现有1600位观众去这个商业中心的影城看电影，每位观众随机地选择这两家影城中的一家，且各位观众选择哪家影城是相互独立的.问：影城甲至少应当设多少个座位，才能保证因缺少座位而使观众离影城甲而去的概率小于0.01.（要求用中心极限定理求解.）

五、(16分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)??（1）求X,Y的边缘密度函数fX(x),fY(y)；（2）求条件概率P(0?X?2234，P(X?0)?P(Y?0)?77?2,0?x?y?1

其它?0,113?Y?)；224（3）问：X与Y是否相互独立？请说明理由；（4）求Z?X?Y的概率密度函数fZ(z).

六、(14分)某地交通管理部门随机调查了100辆卡车，得到它们在最近一年的行驶里程（单位：100km）的数据x1,x2,,x100,由数据算出x?145，样本标准差s?24.假设卡车一年

2

中行驶里程听从正态分布N(?,?2)，分别求出均值?和方差?的双侧0.99置信区间.（请保存小数点后两位有效数字.）

七、(18分)设X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单随机样本,总体X的密度函数为

??e?x?(??1),x?e，其中?为未知参数,0???1.f(x;?)??0,其它?(1)求出?的极大似然估计；(2)记??1?，求参数?的极大似然估计；

(3)问:在（2）中求到的?的极大似然估计是否为?的无偏估计?请说明理由.

复习题（2）A参考答案：一、A,C,D,B,C二、

4349,三、,四、a?847

131377?2(1?x),0?x?1五、（1）f(x)??x?0,x?1?0,（2）P(0?X??2y,f(y)???0,0?y?1

y?0,y?111341111|?Y?)?（3）不独立，由于f(,)?f()f()22452323?z，0?z?1?（4）f(z)??2?z，1?z?2

?0，其余?六、[138.82，151.18][17.095，35.724]

??七、（1）?11nlnXi?1?ni?11n?)??,是无偏估计???lnXi?1（3）E(?（2）?ni?1

复习题(2)（B）

备用数据：

22?(2)?0.9772,t0.975(8)?2.31,?0.025(8)?2.18,?0.975(8)?17.54,u0.9