概率论与数理统计 林文浩 第四章习题

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习题四随机变量的数字特征

A组

一、填空题

二、单项选择题

B组

1．已知随机变量X的分布律为

X1231/21/41/4p2求E(X),E(X)及E[(X?)]。

解E(X)?742?xk?1331117p?1???2??3?kk2444E(X)?2152212121xp?1??2??3???kk2444k?13727911125115E[(X?)]??(xk?)2pk???????

441621641644k?12．一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，假使

取出的是废品就不再放回去，求在取出合格品前，已经取出的废品数的数学期望。

解设Ai为第i个取出的是合格品的事件（i?1,2,?,12），而X为在取出合格品之前已经取出的废品数，则X可能的取值为0、1、2、3，且

1C93p0?P(X?0)?P(A1)?1?，

C12456

p?P(X?1)?P(A(AC113C9911A2)?P1)P(A2A1)?C1?1?

12C1144p?P(X?2)?P(AAC213C9921A2A3)?P(1A2)P(A3A1A2)?C2?C1?

12102203p?3)?P(A)?P(ACC13913?P(X1A2A3A41A2A3)P(A4A1A2A3)?C3?1?

12C9220故

3E(X)??kp0?39913k?k?04?1?44?2?220?3?220?103．设随机变量X的概率密度为

f(x)?1?x2e???x???

求数学期望E(X)。

解注意到xf(x)?x1?x2e(???x???)为奇函数，有

E(X)??????xf(x)dx??????x1?x2edx?04．设随机变量X的概率密度为

?f(x)??A?x3,1?x???,

??0,其他.试求A及E(X)。

解由于

?????f(x)dx?1，且

???f(x)dx????A????1x3dx??A2x21?A2

故A?2，而

E(X)????)dx????(x?2????xf(x1x3)dx??2x1?2

5．设随机变量X的概率密度为

57

0?x?2,?ax,f(x)???cx?b,2?x?4,

??0,其他.已知E(X)?2,P{1?X?3}?3/4，求a,b,c的值。

解由于

???24??f(x)dx??0axdx??2(bx?c)dx?2a?6b?2c

E(X)??????xf(x)dx??20ax2dx??42(bx?c)xdx?8563a?3b?6cP(1?X?3)??323351f(x)dx??1axdx??2(bx?c)dx?2a?2b?c由已知，得

???2a?2b?6c?1??8a?6b?56c?

?332??3?2a?b?532c?4所以a?14,b?1,c??146．设随机变量X的分布律为

X?202p0.40.30.3求E(X)，E(X2)，E(3X2?5)，D(3X2?5)及D(?2X2?8)。

解E(X)??3xkpk??(2?)0.?4?0?0.?32??0.30.2k?1?3E(X2)?x2kpk?(?2)2?0.4?02?0.3?22?0.3?2.8

k?1E(3X2?5)?3E(X2)?5?3?2.8?5?13.4

又由于

58

E(X43)??x4kpk?(?2)4?0.4?04?0.3?24?0.3?11.2

k?1故

D(3X2?5)?9D(X2)?9{E(X4)?[E(X2)]2}?30.24D(?2X2?5)?4D(X2)?4{E(X4)?[E(X2)]2}?13.44

7．X为一随机变量，且有概率密度

f(x)???2x,0?x?1,?0,其他.

求Y?3X2?1的数学期望。

解

E(Y)??????(3x2?1)f(x)dx??102x(3x2?1)dx?(312x4?x2)10?2

8．已知随机变量X的概率密度为

3f(x)?????ke2x,?2?x???,

??0,其他.X求常数k及E(e2)。

解由于

?????f(x)dx?1，且

???dx?????32x032x???333?2kedx???2kedx??0ke2xdx?k[22x0?2e?2x??2?3??f(x)3e?230]?3k(2?e)k?32(2?e?3，而)XxE(e)????x2e2??f(x)dx?3??2(2?e)2e2e?32x?3??dx?4?3[0e2xdx???e?x312x0?x??2(2?e?3)??2?0dx]?2(2?e?3)[2e?2?e]?3(3?e)04(2?e?3)9．计算B组题2、题3随机变量的方差与均方差。

故59

解（1）B组题2：由于E(X)?233，且1039919E(X)??k2pk?0??1??22??32??44422023022k?0所以

D(X)?E(X2)?[E(X)]2?93351?()2?22101100?(X)?D(X)?3511100（2）B组题3：由于E(X)?0，且

E(X)??2????1??2?xxf(x)dx??xedx

2??2??所以

??0??x2e?xdx?[?x2e?x?2xe?x?2e?x]0?2

D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2，?(X)?10．设连续型随机变量X的分布函数为

D(X?)20,x?0,??F(x)??kx?b,0?x??,

?1,x??.?（1）试确定常数k,b的值；（2）求E(X)，D(X)；（3）若Y?sinX，求E(Y)。