积分变换试题2023

本文格式为Word版，下载可任意编辑——积分变换试题2023学院专密封业线班学号密封线姓名密封线

天津工业大学（2023—2023学年第一学期）

《积分变换》试卷(2023.12理学院)

特别提醒：请考生在密封线左侧的指定位置依照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有六道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。总分值12303012124题目一二三四五六总分复核得分评阅人

一.总分值12(每题3分)

得分选择题1.设f(t)?u(t)，则F[f(t)]=(A)

A

1???(w)B?Cejwt0j(w)D12.已知F[f(t)]=F(w)，则F[tf(t?t0)]=(D)A?jF?(w)B?t?jwt0e0F(w)

Cejwt0(t0?jF?(w))Dt?jwt0e0F(w)?je?jwt0F?(w)

3.积分

???0?(t)e?3tdt=(B)

A0B1C

110De?34.设?[f(t)]?F(s)，则以下公式中，不正确的是(C)

《积分变换》第1页共6页

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Af'(t)??[sF(s)?f(0)]B

at-1

?t0f(t)dt??-1[F(s)]s(?1)n-1(n)Cf(t)e??[F(s?a)]Df(t)?n?[F(s)]

t-1

总分值30二.填空题(每空3分)得分

1.F-1???w?w0??=

1jw0t1e，Fe?j?0tu(t)=???(w?w0)；2?j(w?w0)??2.F[cos2t]=

11?(?(w?2)??(w?2))???(w)，L[u(t)]=;2s-1

s?21t23.F[?(t)]=1，L[3]=,L-1[2]=cost?2sint;

ss?12?0,t?04.设f(t)???t则u(t)*f(t)?

e,t?0??1?e?t,t?0;?0,t?0??1,t?1f(t)?5.若的Fourier积分表达式为?0,其它?2????0??sinwcosw?sinwcoswtdw，则积分?dw?;

0ww41?e?2s6.设F(s)?，则f(t)=t?(t?2)u(t?2)。2s总分值30三.计算以下各题(每题6分)

得分s2?11.计算?-1[lns2];

《积分变换》第2页共6页

1s2?1s2?1?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2?解：?-1[lns2]=?t?-1[(lns2)]

12??=t?-1[(ln(s?1)?2lns)]

12s2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2???-1[=t?s2?1s]

2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2??=t(cht?1)

2．已知f(t)?u(t)e?tsint，求F[f(t)]；解（一）：F[u(t)e?tsint]==

?0????。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3?e?tsintu(t)e?jwtdt。

???。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1?sinte?(1?jw)tdt。

e(1?jw)t[?(1?jw)sint?cost]??。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1?=20(1?jw)?1=

1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1?

(1?jw)2?1??解（二）：F[u(t)e?t]=

?????e?tu(t)e?jwtdt==?e?(1?jw)tdt=

01。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1?

1?jw1?2?

F[sint]=?j[?(w?1)??(w?1)]。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

F[u(t)e?tsint]=F[u(t)e?t]?F[sint]

=

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

1??j[?(w?1)??(w?1)]

1?jw11。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1???j?(w?1)-??j?(w?1)。1?jw1?jw=

=

?j1?j(w?1)1?j(w?1)??j=

1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1?2(1?jw)?1《积分变换》第3页共6页

3.已知f(t)??t0te?2tsin2tdt，求L[f(t)];

t?2t0L[f(t)]=L[te=-

?1sin2tdt]=L[te?2tsin2t]……….1

s1L[e?2tsin2t]?…………2s??1?2?=-?2?……….2s?(s?2)?4??=

4(s?2)………….122s[(s?2)?4]4.已知F(s)?1，求F(s)的拉氏逆变换。

(s?1)2s解法一：由于s1?1是F(s)的二级极点，s2?0是F(s)的单极点：………1所以：

??1est2st?(s?1)e??f(t)=lim?22s?1?(s?1)s?((s?1)s)?tts?0………….4

=te?e?1…………...1解法二：由于：F(s)??1111??=………….3

(s?1)2ss?1(s?1)2stt所以：f(t)=te?e?1…………………..3解法三：由于：F(s)?111.=……………122(s?1)s(s?1)st所以：f(t)=te?1…………2=

5.求?[tt?te?e?1…………3=?ed??t0sint?0tdt];

t解：?[1sintsintdt][]……2=??0tstt《积分变换》第4页共6页

1=

s=

??s1ds…………………….2s2?1?1arctans………1ss1?1（?arctans）=arccots…………………1s2s=

总分值12按要求计算(每题6分)四.

得分

1.求微分方程y???2y??y?te?t,满足y(0)?1和y?(0)??2的解;解：设L[y(t)]=Y(s)，对方程两端同时取拉氏变换有：

(s2Y(s)?s?2)?2(sY(s)?1)?Y(s)?1?s

(s?1)21…………..22(s?1)(s2?2s?1)Y(s)?所以：Y(s)?1s111????……..24242(s?1)(s?1)(s?1)s?1(s?1)从而：y(t)?2.求

t13?t1te?e?t?te?t=e?t(t3?t?1)…………………...23!6?cos(t??)y(?)d??tcost的解

0解：原方程为：cost?f(t)?tcost………………….1设L[y(t)]=Y(s)，两边同时取拉氏变换由卷积定理可得：

ss2?1…...3.Y(s)?222s?1(s?1)s2?12s1所以：Y(s)?…………..1??s(s2?1)s2?1s《积分变换》第5页共6页

即：y(t)?2cost?1…..…..1

总分值12五.应用题(每题6分)

得分1.求下图所示函数fT(t)的Laplace变换。2.求函数f(t)???0,t?0的频谱函数及其频谱。??t?e,t?0??解：频谱函数为：

F(w)??=

????f(t)e?jwtdt…………….2e??te?jwtdt=?e?(??jw)tdt…………...1

0???0e?(??jw)t??=?……………….1

??jw0=

1??jw?2…………..1

??jw??w2?2?w2??jw?2频谱为：F(w)?2…………1

??w2??w2

总分值4六.得分

证明：f1(t?t1)?f2(t?