高一数学必修一易错题集锦答案

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高一数学必修一易错题集锦答案

1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）

解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},

注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．

2.已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．解：∵A∪B=A∴B

A又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或??1或?2?∴C={0，1，2}

3。已知m?A,n?B,且集合A=?x|x?2a,a?Z?，B=?x|x?2a?1,a?Z?，又C=?x|x?4a?1,a?Z?，则有：m+n?(填A,B,C中的一个)

解：∵m?A,∴设m=2a1,a1?Z,又∵n?B,∴n=2a2+1,a2?Z,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2?Z,∴m+n?B。

4已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B

A，求实数p

的取值范围．

解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3

②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.

点评：从以上解允许看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的状况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．

5已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2

}．若A=B，求c的值．

分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全一致及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．

解：分两种状况进行探讨．

（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2

－2ac=0，

a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2

－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又一致，此时无解．

（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2

－ac－a=0，

∵a≠0，∴2c2

－c－1=0，

即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－

12．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.6设A是实数集，满足若a∈A，则

11?a?A，a?1且1?A.

⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A能否为单元素集合？请说明理由.

⑶若a∈A，证明：1－

1a∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.

解：⑴2∈A?－1∈A?

12∈A?2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和12

⑵假使A为单元素集合，则a＝11?a即a2?a?1＝0

该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A?

111?a∈A?∈A?

1?a1?a?1?A，即1－11?1a∈A

1?a⑷由⑶知a∈A时，

11?a∈A，1－1a∈A.现在证明a,1－1a,11?a三数互不相等.

①若a=11?a,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠11?a

②若a=1－11a，即a2

-a+1=0，方程无解∴a≠1－a

③若1－1a=11?a，即a2-a+1=0，方程无解∴1－11a≠1?a.

综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.

点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.

7设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；

（2）从M到N的映射满足f(a)>f(b)≥f(c),试确定这样的映射f的种数.解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有

一共有27个映射

?a?0（2）符合条件的映射共有4个,??a?2?a?2?a?2?b??2,??b??2,??b?0,??b?0,

??c??2??c??2??c??2??c?08.已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数f(x?1)的定义域

解：由于函数f(x)的定义域为[0，1]，即0?x?1∴f(x?1)满足?0?x?1?1

?1?x?0，∴f(x?1)的定义域是[－1，0]

9根据条件求以下各函数的解析式：

（1）已知f(x)是二次函数，若f(0)?0,f(x?1)?f(x)?x?1，求f(x).（2）已知f(x?1)?x?2x，求f(x)

（3）若f(x)满足f(x)?2f(1x)?ax,求f(x)解：（1）此题知道函数的类型，可采用待定系数法求解

设f(x)＝ax2?bx?c(a?0)由于f(0)?0得f(x)?ax2?bx，

又由f(x?1)?f(x)?x?1，∴a(x?1)2?b(x?1)?ax2?bx?x?1即ax2?(2a?b)x?a?b?ax2?(b?1)x?1

?2a?b?b?1???a?0?a?b?11??a?b?12因此：f(x)＝12x2?2x(2)此题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解

设u?x?1(x?0),?x?u?1(u?1)?f(u)?(u?1)2?2(u?1)?u2?1(u?1)∴f(x)＝x2?1（x?1）

（3）由于f(x)为抽象函数，可以用消参法求解

用

1x代x可得：f(1x)?2f(x)?a1x,与f(x)?2f(1x)?ax联列可消去f(1x)得：f(x)＝2aax3x?3.

点评：求函数解析式（1）若已知函数f(x)的类型，常采用待定系数法；（2）若已知f[g(x)]表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.10已知3x2?2y2?6x，试求x2?y2的最大值.

分析：要求x2?y2的最大值，由已知条件很快将x2?y2变为一元二次函数

f(x)??1(x?3)2?9,然后求极值点的x值，联系到y222?0，这一条件，既快又准地求

出最大值.

3x?2y?6xy2??x2?3x解由322得2.

?y2?0,??32x2?3x?0,?0?x?2.又x2?y2?x2?3x2?3x??12(x?3)292?2,?当x?2时，x2?y2有最大值，最大值为?12(2?3)2?92?4.

点评：上述解法观测到了隐蔽条件，表达了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：

由3x2?2y2?6x得y2??32x2?3x,

?x2?y2?x2??3219x?3x??(x?3)2?,222922当x?3时，x?y取最大值，最大值为

22这种解法由于忽略了y?0这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观测要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..11设f(x)是R上的函数，且满足f(0)?1,并且对任意的实数x,y都有

f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)，求f(x)的表达式.

解法一：由f(0)?1,f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)，设x?y，得f(0)?f(x)?x(2x?x?1)，所以f(x)＝x2?x?1

解法二：令x?0，得f(0?y)?f(0)?y(?y?1)即f(?y)?1?y(?y?1)又将?y用x代换到上式中得f(x)＝x2?x?1

点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特别值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特别值，根据题目特征而定.12判断函数f(x)?(1?x)1?x1?x的奇偶性.解：f(x)?(1?x)1?x1?x有意义时必需满足1?x1?x?0??1?x?1即函数的定义域是｛x｜?1?x?1｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数13判断f(x)?log2(x?x2?1)的奇偶性.

正解：方法一：∵f(?x)?log22(?x?(?x)?1)?log2(?x?x2?1)

＝log12＝logx?x2?1?2(x?x2?1)＝－f(x)∴f(x)是奇函数

方法二：∵f(x)?f(?x)?log(x?x2?1)?log222(?x?x?1)

＝log2[(x?x2?1)?(?x?x2?1)?log21?0

f(?x)??f(x)∴f(x)是奇函数

14函数y=5?4x?x的单调增区间是_________.

2解：y=5?4x?x的定义域是[?5,1]，又g(x)?5?4x?x在区间[?5,?2]上增函数，

22在区间[?2,1]是减函数，所以y=5?4x?x2的增区间是[?5,?2]

15已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2

－3)3－x2

,即x2

+x－6>0,解得x>2或x

与方程F（x）＝0②等价∵F（x1）＝f(x1)－[f(x1)?f(x2)]＝[f(x1)?f(x2)]F（x2）＝f(x2)－[f(x1)?f(x2)]＝[?f(x1)?f(x2)]∴F（x1）·F（x2）＝－[f(x1)?f(x2)]，又f(x1)?f(x2)

∴F（x1）·F（x2）＜0

故方程②必有一根在区间（x1，x2）内.由于抛物线y＝F（x）在x轴上、下方均有分布，12121212142所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.

点评：此题由于方程是f(x)＝12[f(x1)?f(x2)]，其中由于有f(x)表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明f(x)的图像与x轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证f(x1)f(x2)＜0，使此题没法解决.此题中将问题转化为F（x）＝f(x)－12[f(x1)?f(x2)]的图像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.29试确定方程2x3?x2?4x?2?0最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.

分析：只要构造函数f(x)＝2x3?x2?4x?2，计算f(x)的自变量x取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.解：令f(x)＝2x3?x2?4x?2

∵f(?3)＝－54－9＋12＋2＝－49＜0f(?2)＝－16－4＋8＋2＝－10＜0f(?1)＝－2－1＋4＋2＝3＞0，

，f0)(＝0－0－0＋2＝2＞0f(1)＝2－1－4＋2＝－1＜0，f(2)＝16－4－8＋2＝6＞0

根据f(?2)·f(?1)＜0，f(0)·f(1)＜0，f(1)·f(2)＜0可知f(x)的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.

由于方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.

点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然此题也可以用因式分解方法来解.

2x3?x2?4x?2

?x2(2x?1)?2(2x?1)?2(x?12)(x2?2)?2(x?1

2)(x?2)(x?2)所以2x3?x2?4x?2＝0有三个根：

12,2,?230设二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0),方程f(x)?x?0的两个根x1,x2，满足0?x1?x2?1a.（1）当x?(0,x1)时，证明x?f(x)?x1；

（2）设函数f(x)?ax2?bx?c(a?0),的图像关于直线x?x0对称，证明：

xx10?2.分析：（1）用作差比较法证明不等式x?f(x)?x1；

（2）函数f(x)?ax2?bx?c(a?0),图像关于直线x?x0对称，实际直线x?x0就是二次函数的对称轴，即xb0??2a，然后用已知条件证明不等式即可.证明：（1）依题意，设F(x)?f(x)?x?a(x?x1)(x?x2)当x?(0,x1)时，由于x1?x2，∴(x?x1)(x?x2)?0，又a?0∴F(x)?f(x)?x?a(x?x1)(x?x2)>0即x?f(x)

x1?f(x)?x1?[x?F(x)]?x1?x?F(x)?(x1?x)(1?ax?ax2)?(x

1?x)(1?ax2)∵0?x?x11?x2?a.∴x1?x?0,1?ax2?0∴x1?f(x)?0综合得x?f(x)?x1（2）依题意知xb0??2a，又xb?11?x2??a∴xba(x1?x2)?1ax1?ax2?10??2a?2a?2a

∵ax2?1?0,∴x0?ax12a?x12点评：解决此题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达

式，即此题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即x0??b2a31已知函数f(x)?x2?2bx?c(c?b?1),f(1)?0，且方程f(x)?1?0有实根.(1)求证：-3

综上，当a??12时，函数f(x)的最小值为34?a

当?112?a?2时，函数f(x)的最小值为a2?1

当a?132时，函数f(x)的最小值为4?a.

点评：（1）摸索函数的奇偶性，可依据定义，通过f(?x)?f(x)代入有

(?x)2?|?x?a|?1?x2?|x?a|?1，即|x?a|?|x?a|

可得，当a?0时，|x?a|?|x?a|，函数f(?x)?f(x)函数为偶函数.通过f(?x)??f(x)可得(?x)2?|?x?a|?1??x2?|x?a|?1化得2x2?2?|x?a|?|x?a|此式不管a?0还是a?0都不恒成立，

所以函数不可能是奇函数.

（2）由于此题中含有绝对值，需要去掉，故分类探讨，既要对二次函数值域的研究方法熟练把握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考察.

34某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有归还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步归还债务(所有债务均不计利息).

已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售

q量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中60的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元.（1）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；24（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后

还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？

1

405881p分析：此题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡〞、“还清所有债务〞，不难想到，均与“利润〞相关.