工程流体力学答案（陈卓如）

本文格式为Word版，下载可任意编辑——工程流体力学答案（陈卓如）第一章

[陈书1-15]图轴在滑动轴承中转动，已知轴的直径D?20cm，轴承宽度b?30cm，间隙

??0.08cm。间隙中充满动力学粘性系数??0.245Pa?s的润滑油。若已知轴旋转时润滑

油阻力的损耗功率P?50.7W，试求轴承的转速n??当转速n?1000rmin时，消耗功率为多少？（轴承运动时维持恒定转速）

轴表面承受的摩擦阻力矩为：M??A其中剪切应力：????D2dudr表面积：A??Db

由于间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，

du?D?dr2?其中转动角速度：??2?n

故径向流速梯度：

?nDD??2D3nb?Db?所以：M???22???3D3n2b维持匀速转动时所消耗的功率为：P?M??2M?n?

?所以：n?1P?

?D??Db将：

??0.245Pa?s

D?20cm?0.2mb?30cm?0.3m

??0.08cm?8?10?4m

P?50.7W??3.14

代入上式，得：n?1.493rs?89.56rmin当n?1000rmin?50rs时所消耗的功率为：3??3D3n2bP??6320.83W

?

[陈书1-16]两无限大平板相距b?25mm平行（水平）放置，其间充满动力学粘性系数

??1.5Pa?s的甘油，在两平板间以V?0.15ms的恒定速度水平拖动一面积为

A?0.5m2的极薄平板。假使薄平板保持在中间位置需要用多大的力？假使置于距一板

10mm的位置，需多大的力？

平板匀速运动，受力平衡。题中给出平板“极薄〞，故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。此题应求解的水平方向的拖力。

水平方向，薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。作用于薄板上表面的摩擦力为：

Fu??uA??duAdzu题中未给出流场的速度分布，且上下两无限大平板的间距不大，不妨设为线性分布。设薄板到上面平板的距离为h，则有：

duV?dzuh所以：Fu??VAh同理，作用于薄板下表面的摩擦力为：

Fd??VAb?h维持薄板匀速运动所需的拖力：

1??1F?Fu?Fd??AV???

?hb?h?当薄板在中间位置时，h?12.5mm?12.5?10m

将b?25mm?25?10m、V?0.15ms、A?0.5m和??1.5Pa?s代入，得：

?32?3F?18N

假使薄板置于距一板（不妨设为上平板）10mm的位置，则：

h?10mm?10?10?3m

代入上式得：F?18.75N

[陈书1-17]一很大的薄板放在b?0.06m宽水平缝隙的中间位置，板上下分别放有不同粘度的油，一种油的粘度是另一种的2倍。当以V?0.3ms的恒定速度水平拖动平板时，每平方米受的总摩擦力为F?29N。求两种油的粘度。

平板匀速运动，受力平衡。题中给出薄板〞，故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。此题应求解的水平方向的拖力。

水平方向，薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。不妨先设平板上面油的粘度为?，平板下面油的粘度为2?。

作用于薄板上表面的摩擦力为：

Fu??uA??duAdzu题中未给出流场的速度分布，且上下两无限大平板的间距不大，不妨设为线性分布。薄板到上面平板的距离为b2，所以：

du2V?dzub所以：Fu??A

同理，作用于薄板下表面的摩擦力为：

2VbFd??A4Vb6?AVb维持薄板匀速运动所需的拖力：

F?Fu?Fd?所以：

??Fb6AV2将b?0.06m、V?0.3ms、A?1m和F?29N代入，得平板上面油的粘度为：

??0.967Pa?s

平板下面油的粘度为：2??1.933Pa?s

从以上求解过程可知，若设平板下面油的粘度为?，平板上面油的粘度为2?，可得出同样的结论。

[陈书1-22]图示滑动轴承宽b?300mm，轴径d?100mm，间隙??0.2mm，间隙中充满了动力学粘性系数??0.75Pa?s的润滑油。试求当轴以n?300rmin的恒定转速转动时所需的功率。（注：不计其他的功率消耗）

轴表面承受的摩擦阻力矩为：M??A其中剪切应力：???d2dudr表面积：A??db

由于间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，

du?d?dr2?其中转动角速度：??2?n

故径向流速梯度：

??2d3nb所以：M?

2???3d3n2b维持匀速转动时所消耗的功率为：P?M??2M?n?

?将：

??0.75Pa?s

d?100mm?0.1mb?300mm?0.3m

??0.2mm?2?10?4m

??3.14

n?300rmin?5rs

代入上式，得消耗的功率为：P?870.73W

[陈书1-23]图示斜面倾角??20，一块质量为25kg，边长为1m的正方形平板沿斜面等速下滑，平板和斜面间油液厚度为??1mm。若下滑速度V?0.25ms，求油的粘度。［解］由平板等速下滑，知其受力平衡。

沿斜坡表面方向，平板下表面所受油液的粘滞力与重力沿斜面的分量平衡。

平板下表面承受的摩擦阻力为：F??A其中剪切应力：???odudzduV?dz?由于间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，故垂直于斜坡表面方向的流速梯度为：所以：F??VA?而重力在平行于斜面方向的分量为：G?mgsin?

因：F?G

?VA?mgsin??mgsin??整理得：??

故：

VA将：

m?25kg

A?1m2

??1mm?1?10?3m

V?0.25msg?9.8ms2

代入上式，得：

??0.335Pa?s

其次章

［陈书2-8］容器中盛有密度不同的两种液体，问测压管A及测压管B的液面是否和容器中的液面O-O齐平？为什么？若不齐平，则A、B测压管液面哪个高？

ABOO?1?2

［解］依题意，容器内液体静止。

测压管A与上层流体连通，且上层流体和测压管A均与大气连通，故A测压管的液面与液面O-O齐平。

测压管B与上下层流体连通，其根部的压强为：

p??1gh1??2gh2?pa

其中h1为上层液体的厚度，h2为液体分界面到B管根部的垂向距离，pa为大气压

将z?Rsin?和

2??20sin?cos?d??1代入上式，得：2?21?1?Fz?2?R?pC??gR?sin2?cos?d???gh?04?2??21?2?1?2?R?pC??gR?sin2?cos?d???gh?04?2?

1121?1????2?R2?pC??gR??gh???R2?pC??gR??gh?3432?2???将pC?29430Pa，h=2m，R=1m，??1000kgm和g?9.81ms代入，得：

32Fz?41102.6N

第三章

[陈书3-8]已知流体运动的速度场为?2yt?at3，vy?2xt，vz?0，式中a为常数。试求：t?1时过(0,b)点的流线方程。

解：

流线满足的微分方程为：

dxdydz??vyvz将?2yt?at3，vy?2xt，vz?0，代入上式，得：

dxdy（x-y平面内的二维运动）?32yt?at2xt移向得：2xtdx?(2yt?at3)dy

3两边同时积分：2xtdx?(2yt?at)dy（其中t为参数）

??积分结果：x2t?y2t?ayt3?C（此即流线方程，其中C为积分常数）

2将t=1,x=0,y=b代入上式，得：0?b?ab?C∴积分常数C??b?ab

2∴t=1时刻，过(0,b)点的流线方程为：x2?y2?ay?(b2?ab)整理得：x2?y2?ay?(b2?ab)?0

陈书3-10已知二元不可压缩流体滚动的流线方程如下，问哪一个是无旋的？（1）2Axy?C；

（2）Ax?By?C；

（3）Alnxy???C，

2其中A，B，C均为常数。[解法一]

（1）根据流线方程2Axy?C?2Aydx?2Axdy?0

当A?0时，有

dxdy??xy令u?xf?x,y?，v??yf?x,y?

根据流体的不可压缩性，从而

?u?v??f?xfx'?f?yfy'?xfx'?yfy'?0?x?y再把流线方程2Axy?C对x求导得到

2Ay?2Axy'?0?y'??yx所以

?u?v??xfx'?yfy'?xfy'y'?yfy'??2yfy'?0?x?y'y是任意的，得到fy?0

??u?vy2?'''??xfy?yfx??x??fy?0?y?xx??无旋

（2）根据流线方程Ax?By?C?Adx?Bdy?0

令u?Bf?x,y?，v??Af?x,y?

根据流体的不可压缩性，从而

?u?v??Bfx'?Afy'?0?x?y再把流线方程Ax?By?C对x求导得到

A?By'?0?y'??AB所以

?u?v??Bfx'?Afy'??2Afy'?0?x?y当A?0时，v?0无旋当A?0时，fy?0

'??u?vA2?'''??Bfy?Afx??B??fy?0?y?xB??无旋

2（3）根据流线方程Alnxy?C

???1??112??A?2y2dx?22xydy??A?dx?dy??0

xyy??xy??x当A?0时，

dxdy??2xy令u?2xf?x,y?，v??yf?x,y?再把流线方程2Axy?C对x求导得到

?1??12?y1A?2y2?22xyy'??A??y'??0?y'??

2xxy?xy??xy?根据流体的不可压缩性，

从而

?u?v??2f?2xfx'?f?yfy'?f?2xfx'?yfy'?f?2yfy'?0?x?y??u?vy2?'''??2xfy?yfx??2x??fy，不恒为0?y?x2x??有旋[解法二]（1）由题意知：流函数??x,y??xy得到

u??????x?y

??v??y?x从而

?u?v??0?y?x无旋

（2）同上

流函数??x,y??Ax?By

u??B，v?A

?u?v??0?y?x无旋

（3）同上

流函数??x,y??xy2

u??2xy，v?y2?u?v???2x?0?y?x有旋

[陈书3-11]设有两个滚动，速度分量为：(1)

??ay,vy?ax,vz?0；??cy,x2?y2(2)

vy?cx,x2?y2vz?0

式中a,c为常数。试问：这两个滚动中哪个是有旋的？哪个是无旋的？哪个有角变形？哪

个无角变形？

解：两个滚动中均有vz?0，即均为平面二维滚动状态，因此旋转角速度分量

?x??y?0，角变形速度分量?x??y?0。

?z?(1?vy?1?)?(a?a)?a

2?x?y21?vy?1?)?(a?a)?0

2?x?y2(1)

?z?(∴当a?0时此滚动有旋，无角变形；当a?0时此滚动无旋，无角变形。

1?vy?1cy2?cx2cy2?cx2?)?(?)?0(2)?z?(2222222?x?y2?x?y??x?y?1?vy?1cy2?cx2cy2?cx2cy2?cx2?z?(?)?(?)?

2222?x?y2?x2?y2?2?x2?y2?2?x?y?∴当c?0时此滚动无旋，有角变形；当c?0时此滚动无旋，无角变形。

[陈书3-13]设空间不可压缩流体的两个分速为：(3)

?ax2?by2?cz2,vy??dxy?eyz?fzx；

?x2z2?vy?sin?2?2?

c??af均为常数。试求第三个分速度vz。已知当z?0时vz?0。

?y2z2?(4)?ln?2?2?,c??b其中a,b,c,d,e,解：

不可压缩流体的连续性方程为：

??vy?vz???0，?x?y?z则：

?vz?v?v??x?y?z?x?y(1)

?vz?v?v??x?y??2ax?dx?ez?z?x?y?vz12dz??2axz?dxz?ez?f(x,y)??z2将上式积分得：vz?利用条件z?0时vz?0得到f(x,y)?0∴vz??2axz?dxz?12ez2?vz??vy(2)????0

?z?x?y将上式积分得：vz??vz??zdz?g(x,y)

利用条件z?0时vz?0得到g(x,y)?0∴vz?0

[陈书3-30]如下图水平放置水的分支管路，已知D?100mm，qV?15l/s，

d1?d2?25mm，d3?50mm，qV1?3qV3，V2?4m/s。求qV1，qV2，qV3，V1，V3。

解：

根据质量守恒定理有：qV?qV1?qV2?qV3

(1)

其中qV2??d224V2?1.96l/s

将qV2以及条件qV1?3qV3带入(1)式得到：

qV3?3.26l/s，qV1?3qV3?9.78l/s

4qV14qV3，?19.92m/sV??1.66m/s。322?d1?d3则V1?第四章

［陈书4－8］测量流速的皮托管如下图，设被测流体的密度为?，测压管内液体密度为?1，测压管内液面的高度差为h。假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。试证明所测流速

v?2gh?1???

［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli方程：

V12p1V22p2z1???z2??2g?g2g?g（1）

其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。

因流体在点1处滞止，故：V1?0

又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即：

v?V2

将以上条件代入Bernoulli方程（1），得：

?p?p2?v?2g??z1?z2??1??g??（2）

再次利用皮托管直径很小的条件，得：z1?z2?0

从测压管的结果可知：p1?p2???1???gh将以上条件代入（2）式得：v?证毕。

［陈书4－13］水流过图示管路，已知p1?p2，d1?300mm，v1?6ms，h?3m。不计损失，求d2。

［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli方程：

2v12p1v2pz1???z2??2

2g?g2g?g2gh?1???（1）

题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。此外，对于一般的管道滚动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得：

v1A1?v2A2

（2）

其中A1和A2分别为管道在1和2断面处的截面积：

A1?

?d124，A2??d224（3）

方程（1）可改写为：

2v2v12p1?p2??z1?z2???2g2g?g（4）

根据题意：p1?p2?0，z1?z2?h

（5）

2v2v12将（5）代入（4），得：（6）?h?2g2g再由（2）和（3）式可得：v1?d124

?v2?d224

d12所以：v2?v12

d2（7）

d14v4v12d2将（7）式代入（6）得：?h?2g2g21d142gh?v12整理得：4?2d2v1d2?4v12d1

2gh?v12

（8）

2将d1?300mm，v1?6ms，h?3m，g?9.8ms代入（8）式，得：

d2?4

36?0.3?0.236?m??236mm

6?9.8?36［陈书4－19］图示两小孔出流装置，试证明不计滚动损失时有关系式h1?y1?y2??h2y2。（此题陈书y2的标注有误）

［证明］因不计损失，可视流体为理想流体，则位于h1深度处的小孔出流速度为：

v1?2gh1

同样，位于h1深度处的小孔出流速度为：v2?2gh2

流出小孔后流体做平抛运动，位于h1深度处的小孔出流的下落时间为：

t1?2?y1?y2?

g2gh12?y1?y2??2g故其射的程为：s1?v1t1??y1?y2?h1

2gh22y2?2y2h2g同理，位于h2深度处的小孔出流的射程为：s1?v2t2?根据题意：s1?s2所以：2?y1?y2?h1?2y2h2

于是：?y1?y2?h1?y2h2

第六章

［陈书4－8］测量流速的皮托管如下图，设被测流体的密度为?，测压管内液体密度为?1，测压管内液面的高度差为h。假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。试证明所测流速

v?2gh?1???

［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli方程：

V12p1V22p2z1???z2??2g?g2g?g（1）

其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。

因流体在点1处滞止，故：V1?0

又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即：

v?V2

将以上条件代入Bernoulli方程（1），得：

?p?p2?v?2g??z1?z2??1??g??（2）

再次利用皮托管直径很小的条件，得：z1?z2?0从测压管的结果可知：p1?p2???1???gh将以上条件代入（2）式得：v?证毕。

［陈书4－13］水流过图示管路，已知p1?p2，d1?300mm，v1?6ms，h?3m。不计损失，求d2。

［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli方程：

2v12p1v2pz1???z2??2

2g?g2g?g2gh?1???（1）

题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。此外，对于一般的管道滚动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得：

v1A1?v2A2

（2）

?p?代入数据，得：

6430740?0.09??1399.22.54?10?22

6415?Pa????740?9?17991399.22.54

由于是层流运动，流速满足抛物面分布，且其分布为：

?p?d22???u??r??4?l?4?将r?2.54?0.6?0.67?cm?、??4.03?10?3Pa?s、d=2.54cm和l=30m代入，得：2?2.54217992??4??u???0.67?10?4?4.03?10?3?30??4??

1799?2.542?????0.67???0.433?ms?12?403?4?2

［陈书9-12］某种具有??780kgm3，??7.5?10?5Pa?s的油，流过长为12.2m，直径为1.26cm的水平管子。试计算保持管内为层流的最大平均流速，并计算维持这一滚动所需

要的压强降。若油从这一管子流入直径为0.63cm，长也为12.2m的管子，问流过后一根管子时的压强降为多少？

［解］管内滚动的雷诺数：Re??ud?cr管内保持层流时，雷诺数低于下临界雷诺数，即：Re?Re?2320

?Recr所以：u?

?dcr将??7.5?10Pa?s、??780kgm、Re?2320和d=1.26cm代入，得：

?537.5?10?5?23207.5?232?ms?u???0.0177780?1.26?10?2780?126l?u264l?u2?p???d2Red26412.2780?0.01772??压强降：??223201.26?10232122???78?0.1772?3.264?Pa?23212.6

流入后一根管子时，流量不变，直径减小，用上标“~〞表示后一种状况，则有：

~~~Reudd??~Reudd所以：Re?~Re?~dd1.26?2320?46400.63此时滚动进入湍流光滑区，且Re?4640?10，可用布拉修斯公式求解沿程阻力损失系数，即：

~5??0.31640.25Rel?u20.3164l?u2压强降：?p???0.25d2Red2?1.26?此时，平均流速：u?0.0177????ms?

?0.63?0.316412.27802?1.26??p????0.0177???46400.250.63?10?220.63???

[陈书9-13]30C的水流经过直径d=7.62cm的钢管（??0.08mm），每分钟流量为

o24所以：

0.3164612?126???78?1.77????145.13?Pa?46400.256363??4

0.340m3。求在915m长度上的压降。当水温下降至5oC时，状况又如何？已知30oC时水

-623的运动学粘性系数??0.8?10ms，密度??995.7kgm，5C时水的运动学粘性系

o数??1.519?10ms，密度??1000kgm。

-6230.3403ms604Q4?0.340680???1.243?ms?平均流速：u??d23.14?7.622?10?4?603.14?7.622?3［解］流量：Q?0.340mmin?3

两个与粗糙度有关的雷诺数：

Rel?80d7.62?80??10?7.62?104?0.08?d?R?4160???2??ue0.85?7.62??4160???10??0.16?0.85?7620??4160????16?0.85?7.857?105

30oC时：

Re?雷诺数：

4Qd4Q???d2??d?4?0.340?3.14?7.62?10?2?60?0.8?10?6340??1.184?105?43.14?7.62?1.2?10?udl因Re?Re?Reu，滚动处于湍流过渡区，阻力系数用Colebrook公式计算，即

1?2.51?????2log??????Re?3.7d?代入数值后解得：??0.022

l?u2?p??d2915995.7?1.2432?所以压强降：?0.022?-27.62?102915?11??995.7?1.2432?2.032?105(Pa)76.25oC时：

Re?雷诺数：

4Qd4Q???d2??d?4?0.340??2?63.14?7.62?10?60?1.519?103404??6.24?103.14?7.62?15?1.519?10?5?5udl因2320?Re?Re，滚动处于湍流光滑管区，又因Re?10，阻力系数可用布拉修斯公式

计算，即

λ?0.31640.25Re代入数值后解得：??0.02

l?u2?p??d29151000?1.2432?所以压强降：?0.02?

7.62?10-22915??10000?1.2432?1.855?105(Pa)76.2

［陈书9-22］水从水箱沿着高度l?2m及直径d?40mm的铅垂管路流入大气，不计管路的进口和出口损失，沿程阻力损失系数取为??0.04，试求：

1）管路起始断面A的压强与箱内所维持的水位h之间的关系式，并求当h为若干时，此断

面绝对压强等于一个大气压。

2）流量和管长l的关系，并指出在怎样的水位h时流量将不随l而变化。

［解］令出口断面为B，可对A和B断面写出总流的Bernoulli方程：

22pA?AuApB?BuBzA???zB???hf

?g2g?g2g（1）

因不计进出口损失，故可认为管内流速分布沿轴线不变，即：

?A??B，uA?uB?u

于是（1）式简化为：zA?（2）

pAp?zB?B?hf?g?g（3）

2luA对于圆管滚动，沿程阻力损失可表示为：hf??

d2g（4）

由题意：zA?zB?l

（5）

将（4）和（5）式代入（3），得：

2pA?pBluAl????gd2g（6）

（1）当断面A处的绝对压强为一个大气压时，有：pA?pB?0代入（6）式，得：uA?2gd?（7）

令水箱内水表面为C断面，假定从C到A断面无损失，可列出流线的Bernoulli方程：

22pAuApCuCzA???zC???g2g?g2g（8）

联立（6）式和（8）式，并考虑到：pB?pC?pa，zC?zA?h，zC?zA?h，uC?0

可得：pA?ρgl?λh-d??pad?λl（*）

式（9）即为管路起始断面A的压强与箱内所维持的水位h之间的关系式。根据题意：pA?pC?pa将（9）代入（8）式，得：

22uAuC?h?2g2g（9）

（10）

考虑到uC?0和（7）式，得：h?d?（11）

将d?40mm和??0.04代入，得：h?1m

（2）对于一般的状况，由（8）式可得：

2uAp?pA?h?C2g?g（12）

将（12）式代入（6）式，得：

2luAp?pB??l?Ad2g?g（13）

2p?pB?l?uA式（12）和（13）左右相加，得：???1??h?l?C?g?d?2g整理得：uA?2d2?g?h?l???pC?pB?

???l?d?2gdh?l

?l?d

（14）

考虑到pB?pC?pa，可得：uA?于是管内流量：Q??d24uA??d24h?l?d22gd??l?d4

（16）

2gdh?l

?d??l（15）

欲使流量不随l变化，应有：h?代入已知数据：h?1m

d?［陈书9-23］一个自然通风锅炉，烟囱直径d?1m，烟囱内的沿程阻力系数??0.04，烟

H?38m，囱高度（1断面到2断面）正常工作状态时在烟囱底部1断面处测得负压为20mm水柱。试求烟气的流量Q??（已知：空气密度）?s?0.61Kgm3，水的密度?w?1000Kgm3。

?a?1.22kgm3，烟气密度

2dH1

解：对1、2断面写出总流的伯努利方程：

p1?1V12p2?2V22??z1???z2?hf?sg2g?sg2g依题意：

流体不可压，由质量守恒得：V1?V2?V可令：?1??2??

HV2沿程阻力损失：hf??

d2gz1?z2??H

将以上各式代入伯努利方程，得：

p1?p2HV2?H???sgd2gaa（A）

令p1和p2分别为1和2断面处的大气压，由题意有：

p1?p1a??wgh，其中h?20mm

ap2?p2aa所以：p1?p2?p1?p2??wgh??agH??wgh

代入（A）式得：

V?2dg??aH??wh??sH?

?s?H烟气流量：Q?V?d24??d24.2dg??aH??wh??sH?

?s?H将已知各量的值代入，得：Q?6.44m3s

［陈书9-30］油泵从开口油池中将油送到表压强为p?0.981?105Pa的油箱中。已知：油泵流量Q?31.4ls，油泵总效率??0.8，油的密度