高考数学常用公式及结论200条1

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高考数学常用公式及结论

1.元素与集合的关系

x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.2.德摩根公式

CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.

3.包含关系

A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA

?A?CUB???CUA?B?R

4.（1）.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性〞。如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C中元素各表示什么？

（2）.重视借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A?x|x?2?2x?3?0，B??x|ax?1?若B?A，则实数a的值构成的集合为?

1??（答：?1，0，??）3??（3）.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式ax?5x?a2?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a的取值范

a·3?5∵3?M，∴2?03?a围。(a·5?5∵5?M，∴2?05?a?????a?????5?25?)???9，?1，?3?5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

2(1)一般式f(x)?ax?bx?c(a?0);

(2)顶点式f(x)?a(x?h)?k(a?0);(3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).7.（1）对映射的概念了解吗？

映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）（2）如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是2?a，b?，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域

是。?a，（答：?a?）

（3）.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如：f?xx?1?e?x，求f(x).

?解：令t?x?1，则t?0

2∴x?t2?1，∴f(t)?et∴f(x)?ex2?1?t2?1

?1?x?1?x?0?

2（4）.反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）

求反函数的步骤把握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

?1?x?x?0?的反函数如：求函数f(x)??2（答：f???xx?0??1??x?1?x?1?(x)??）????x?x?0?（5）.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

?1③设y?f(x的定义域为)A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f(b)?a

?f?1?f(a)??f?1(b)?a，ff??1(b)?f(a)?b

?8.（1）如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）

设x1?x2??a,b?,x1?x2那么(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x1?x2f(x1)?f(x2)x1?x2?0?f(x)在?a,b?上是增函数；?0?f(x)在?a,b?上是减函数.

（2）.如何判断复合函数的单调性？（同增异减）

假使函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数;假使函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.

?（y?f(u)，u??(x)，则y?f??(x)（外层）（内层）

uf(x)?log12(x2?ax?a)

f??(x)?为减函数。）O12x当内、外层函数单调性如：求y?log12一致时f??(x)?为增函数，否则?2x的单调区间

??x2?2（设u??x?2x，由u?0则0?x?2

且log1u?，u???x?1?2?1，如图：

2

当x?(0，1]时，u?，又log12u?，∴y?；当x?[1，2)时，u?，又log12u?，∴y?

（3）如何利用导数判断函数的单调性？

设函数y?f(x)在某个区间内可导，假使f?(x)?0，则f(x)为增函数；假使f?(x)?0，则f(x)为减函数.

如：已知a?0，函数f(x)?x3?ax在?1，???上是单调增函数，则a的最大（）A.0

B.1

???值是

C.2

a????x??3???D.3

a???0则x??3??（令f(x)?3x2?a?3?x?a3或x?a3

由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则a3?1，即a?3∴a的最大值为3

9.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称注意结论：

若f(x是)奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。2xx如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当的解析式。

0?，则?x??0，1?，f(?x)?（令x???1，24x?(0，1)时，f(x)?4?1求f(x)在(?1,1)上，?x?x?12x

又f(x)为奇函数，∴f(x)??24?x?x?1??1?4x

x?2,x?(?1,0)??x4?1??又f(0)?0,?f(x)??0,(x?0)

?x2?,x?(0,1)x??4?1

10.你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f?x?T??f(x)，则f(x)为周期函数，T是一个

周期。）

如：若f?x?a???f(x)，则（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b???即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)

则f(x)是周期函数2，a?b为一个周期如：

11.你把握常用的图象变换了吗？f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称f(x)与f?1(x)的图象关于直线y?x对称

f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称

0)对称f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，将y?f(x)图象???????????右移a(a?0)个单位左移a(a?0)个单位y?f(x?a)y?f(x?a)

???????????下移b(b?0)个单位上移b(b?0)个单位y?f(x?a)?by?f(x?a)?b

yy=log2xO1x注意如下“翻折〞变换：

f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的图象

12.你熟练把握常用函数的图象和性质了吗？（1）一次函数：y?kx?b?k?0?

(k0)y=bO’(a,b)Ox

kx（2）反比例函数：y?推广为y?b?kx?a?k?0?

?k?0?是中心O(a，b)

的双曲线。

（3）二次函数y?ax2b?4ac?b??bx?c?a?0??a?x?图象为抛物线??2a4a???b?，对称轴x???2a?ymin?4ac?b4a22222?b4ac?b顶点坐标为??，?2a4a?开口方向：a?0，向上，函数a?0，向下，ymax?4ac?b4a

应用：①“三个二次〞（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2?bx?c?0，??0时，两根x1、x2为二次函数y?ax不等式ax22?bx?c的图象与x轴

的两个交点，也是二次?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。如：

???0??bk????k

?2ay??f(k)?02二次方程ax?bx?c?0的两根都大于

一根大于k，一根小于k?f(k)?0

x(a>0)Okx1x2x（4）指数函数：y?a?a?0，a?1?

（5）对数函数y?logax?a?0，a?1?由图象记性质！（注意底数的限定！）yy=ax(a>1)(01)1O1x(0

（6）“双勾函数〞y?x?kxy?k?0?

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？13.如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）

?kOkx如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。

（先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(·tt)

∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)∴f(?t)?f(t)??）（3）证明单调性：f(x2)?f??x2?x1??x2????

14.把握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求以下函数的最值：

（2）y?（1）y?2x?3?13?4x；

2x?4x?3；（3）x?3，y?2x2x?39x

?，???0，???；（4）y?x?4?9?x2?设x?3cos（5）y?4x?，x?(0，1]

15.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假16.常见结论的否定形式原结论反设词原结论是不是至少有一个都是不都是至多有一个大于不大于至少有n个小于不小于至多有n个对所有x，存在某x，p或q成立不成立对任何x，不成立存在某x，p且q成立反设词一个也没有至少有两个至多有（n?1）个至少有（n?1）个?p且?q?p或?q

17.四种命题的相互关系

原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ18.充要条件

（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件.

注：假使甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

19.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?a?b2;两个函数y?f(x?a)与y?f(b?x)的图象关于直线x?a?b2对称.

a20.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称;若

2f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)为周期为2a的周期函数.

nn?121．多项式函数P(x)?anx?an?1x???a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.22.函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x).

23.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.

24．互为反函数的两个函数的关系

?1f(a)?b?f(b)?a.

25.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?1k[f?1(x)?b]

26.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.

(2)指数函数f(x)?a,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.

(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).

(4)幂函数f(x)?x,f(xy)?f(x)f(y),f(1)??.

(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，f(0)?1,lim?1.x27.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a；

x?0x?'g(x)（2）f(x)?f(x?a)?0，

1f(x)1f(x)2或f(x?a)?或f(x?a)??或

12?(f(x)?0)，

(f(x)?0),

f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a；

(3)f(x)?1?1f(x?a)(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a；

(4)f(x1?x2)?f(x)的周期T=4a；

f(x1)?f(x2)1?f(x1)f(x2)且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则

(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a；(6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a.28.分数指数幂

m(1)an?1nam（a?0,m,n?N?，且

1apn?1）.指数运算：a0?1(a?0)，a?p?(a?0)

(2)a?mn?1m（a?0,m,n?N?，且n?1）.

an29．根式的性质

（1）(na)n?a.

（2）当n为奇数时，a?a；当n为偶数时，a?|a|??nnnn?a,a?0??a,a?0.

30．有理指数幂的运算性质

rsr?s(1)a?a?a(a?0,r,s?Q).(2)(a)?a(a?0,r,s?Q).(3)(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q).

注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

31.指数式与对数式的互化式

bN?b?a?N(a?0,a?1,N?0).loga32.对数的换底公式

logaN?logmNlogmanrrrrsrs(a?0,且a?1,m?0,且m?1,N?0).nlogab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1,N?0).

推论logamb?m33．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)?logaM?logaN;

MNn(2)loga?logaM?logaN;

?nlogaM(n?R).（4）对数恒等式：m(3)logaMalog2ax?x

34.设函数f(x)?log(ax2?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为

R,则a?0，且??0;若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要

单独检验.

35.推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则

（1）logm?p(n?p)?logmn.

（2）logamlogan?loga2m?n2.

36.平均增长率的问题

假使原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有

y?N(1?p).

x37.数列的同项公式与前n项的和的关系

n?1?s1,an??(数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an).

?sn?sn?1,n?238.等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d(d为常数)，an?a1??n?1?d等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y前n项和Sn??a1?an?n2?na1?n?n?1?2d

性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

?a2n?，?kan?b?仍为等差数列；（2）数列?a2n?1?，

Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等差数列；（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；

（4）若an，bn是等差数列,Sn，Tn为前n项和，则ambm?S2m?1T2m?1；?an?为等差数列（5）数）

?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函

2?an?中的正、负分界项，即：Sn?an?bn的最值；或者求出Sn的最值可求二次函数当a1?0，d?0，解不等式组?an?0可得Sn达到最大值时的?a?0?n?1n值。

当a1?0，d?0，由??an?0?an?1?0可得Sn达到最小值时的n值。

如：等差数列?an?，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，则n?（由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1又S3?

?a1?a3?2·3?3a2?1，∴a2?13

∴Sn??a1?an?n2??a2?n?an?1·2??1???1?n?3?2?18?n?27）

39.等比数列的定义与性质定义：an?1an?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1

等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy

前n项和：Sn?na1(q?1)???a11?qn（要注意!）(q?1)?1?q???性质：?an?是等比数列

（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等比数列40.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

?an?满足如：12a1?122a2????12nan?2n?5?1?

∴a1?14解：n?1时，a1?2?1?5，21n?2时，a1?21122a2????an?2

12n?1an?1?2(n?1)?5?2?

?1???2?得：∴an?2n?1

1n2?14(n?1)∴a??n?1n2(n?2)?［练习］

数列?an?满足Sn?Sn?1?53an?1，a1?4，求an

（注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：又S1?4，∴?Sn?是等比数列，Sn?1Sn?4

nSn?4

n?1n?2时，an?Sn?Sn?1????3·4（2）叠乘法

例如：数列?an?中，a1?3，n?1?anann?1，求an

解：

aaa2a312n?11·??n?·??，∴n?a1a2an?123na1n3n又a1?3，∴an?

（3）等差型递推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

n?2时，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)??两边相加，得：??????an?an?1?f(n)?an?a1?f(2)?f(3)????f(n)∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n)［练习］

数列?an?，a1?1，an?3n?1?an?1?n?2?，求an（an?12?3n?1）

?（4）等比型递推公式

an?can?1?d?c、d为常数，c?0，c?1，d?0?可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x

∴x?令(c?1)x?d，dc?1

∴?an???d?d，c为公比的等比数列?是首项为a1?c?1?c?1d

∴an?d?n?1???a1?·c?c?1?c?1???d?n?1??cc?1?c?1d∴an??a1?［练习］

数列?an?满足a1?9，3an?1?an?4，求an

?4?（an?8????3?n?1?1）

（5）倒数法例如：a1?1，an?1?2anan?212，求an

由已知得：1an?1?an?22an??1an

∴1an?1?1an?12

???1?11?1，公差为?为等差数列，aa21?n??1an11???n?1??1??n?1·222n?1∴an?

41.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？数列求和的方法：

（1）.公式法（2）.倒序相加法（3）.错位相减法（4）.裂项相消法（5）.分组求和法例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

?an?是公差为d的等差数列，求Pn?如：1ak·ak?11ak?ak?d?1a1a2?1a2a3???1anan?1.

解：由??1?11??d?ak?1?ak???d?0???

Pn?1d[(1a1?1a2)?(1a2?1a3)???(1an?1an?1)]?1da1(1?1an?1)

［练习］求和：1?11?2?11?2?3????1n?111?2?3????n

（an??????，Sn?2?（2）错位相减法：

）若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。

?anbn（差比数列）前?n项

如：Sn?1?2x?3x2?4x3????nxn?1?1?（x?0）

234n?1nx·Sn?x?2x?3x?4x?????n?1?x?nx?2?

?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxnx?1时，Sn??1?x?2?1?x??nnxn1?x

n?n?1?2x?1时，Sn?1?2?3????n?

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sn?a1?a2????an?1?an??相加

Sn?an?an?1????a2?a1?2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an???［练习］已知f(x)??1??1??1?，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f???????2231?x?????4??1????x?2x2

x?1??（由f(x)?f???2x??1?x2?1?1????x???2?x221?x?11?x2?1

∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f???

??2???3????4????1???1????1???11?1?1?1?3）22

42.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，

半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l??·R，S扇?12·lR?121弧度ORR?·R）2

yTBSPαOMAx43熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义sin??MP，cos??OM，tan??AT

如：若??8???0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是.

又如：求函数y?1????2cos??x?的定义域和值域。2??（∵1?2cos?22????x?）?1??2?2sinx?0

∴sinx?，如图：

∴2k??5?4?x?2k???4?k?Z?，0?y?1?2

44.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

sinx?1，cosx?1

对称点为?k????，0?，k?Z2???yx??O2y?tgx?2?y?sinx的增区间为?2k???2，2k?????k?Z??2?3???k?Z?2??减区间为?2k?????2，2k???k?，0?，对称轴为x?k??图象的对称点为?2?k?Z?

?2k?，2k?????k?Z?y?cosx的增区间为2k??2???k?Z?减区间为?2k???，图象的对称点为?k??????，0?，对称轴为x?k??k?Z?2?y?tanx的增区间为?k?????2，k?????k?Z2?45.正弦型函数y=Asin??x+??的图象和性质要熟记。2?|?|?或y?Acos??x????

（1）振幅|A|，周期T?

若f?x0???A，则x?x0为对称轴。

若f?x0??0，则?x0，0?为对称点，反之也对。（2）五点作图：令?3??x??依次为0，，?，，2?，求出x与y，依点（x，y）作图象。

22（求A、?、?值）

（3）根据图象求解析式。??(x1)???0?如图列出??

?(x)???2?2?解条件组求?、?值

?则AB??x2?x1，y2?y1?

|AB|???x2?x1???y2?y1?，A、B两点间距离公式

2258.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么

(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分派律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)其次分派律：λ(a+b)=λa+λb.59.向量的数量积的运算律：(1)a·b=b·a（交换律）;(2)（?a）·b=?（a·b）=?a·b=a·（?b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.59.平面向量基本定理

假使e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0.61.平面向量的数量积

（1）a·b?|a·||b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。?为向量a与b的夹角，???0，??

B????????

?bO??a

DA数量积的几何意义：

a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。（2）数量积的运算法则

?????????·b?b·a①a·c?b·c②(a?b)c?a?????????x2，y2??x1x2?y1y2·b??x1，y1·③a????????注意：数量积不满足结?合律(a·b·)c?a·(b·c)

?b??x2，y2?（3）重要性质：设a??x1，y1?，????·b?0?x1·x2?y1·y2?0①a⊥b?a??????????·b?|a·||b|或a·b??|a·||b|②a∥b?a

????a??b（b?0，?惟一确定）?x1y2?x2y1?0③a?|a|2?x12?y12，|a·b|?|a·||b|［练习］（1）已知正方形答案：22

1?，b??4，x?，当x?时a与b共线且方向一致（2）若向量a??x，?????????????|a?b?c|?ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则?2?????

答案：2

b均为单位向量，它们的（3）已知a、??夹角为60，那么|a?3b|?o??

答案：13

62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2).

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2).

????????????(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).

(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2).63.两向量的夹角公式

x1x2?y1y2(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).cos??2222x1?y1?x2?y264.平面两点间的距离公式

????dA,B=|AB|?????????AB?AB2?(x2?x1)?(y2?y1)(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

265.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则A||b?b=λa?x1y2?x2y1?0.a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.

66.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1?x2?x33,y1?y2?y33).

67.三角形五“心〞向量形式的充要条件

设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

????2????2????2（1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC.

?????????????（2）O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0.

????????????????????????（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.

??????????????ABC（4）O为的内心?aOA?bOB?cOC?0.

????????????（5）O为?ABC的?A的旁心?aOA?bOB?cOC.68.不等式的性质有哪些？

（1）a?b，c?0?ac?bcc?0?ac?bc

（2）a?b，c?d?a?c?b?d（3）a?b?0，c?d?0?ac?bd（4）a?b?0?1a?1b，a?b?0?1a?1b

na?nb（5）a?b?0?an?bn，（6）|x|?a?a?0???a?x?a，|x|?a?x??a或x?a如：若1a?1b?0，则以下结论不正确的2是（）D.ab?ba?2

A.a2?b2;B.ab?b;C.|a|?|b|?|a?b|;

69.常用不等式：

（1）a,b?R?a2?b2?2ab(当且仅当a＝b时取“=〞号)．（2）a,b?R??a?b2?ab(当且仅当a＝b时取“=〞号)．

（3）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).（4）柯西不等式

(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.

22222（5）a?b?a?b?a?b.注意如下结论：(1)

a?b222?a?b2?ab?2aba?b?a，b?R??

当且仅当a?b时等号成立.

(2)a2?b2?c2?ab?bc?ca?a，b?R?.当且仅当a?b?c时取等号。(3)a?b?0，m?0，n?0，则如：若x?0，则2?3x???ba?b?ma?m?1?a?nb?n?ab

4x的最大值为.

（设y?2??3x?4???2?212?2?43x?

4x233当且仅当3x?，又x?0，∴x?xy时，ymax?2?43）

又如：x?2y?1，则2?4的最小值为∴最小值为22）（∵2x?22y?22x?2y?221，.

70.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p；（2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值

142s.

推广已知x,y?R，则有(x?y)2?(x?y)2?2xy（1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大；当|x?y|最小时,|x?y|最小.

（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时,|xy|最小；当|x?y|最小时,|xy|最大.

71.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0，)假使a与

ax?bx?c同号，则其解集在两根之外；假使a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之

22间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).

72.含有绝对值的不等式当a>0时，有

x?a?x?a222??a?x?a.

x?a?x?a?x?a或x??a.

273.不等式证明的基本方法都把握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）,并注意简单放缩法的应用.如：证明1?（1?122122?132????1?1n12?2?12?3????1?132????1n21?2?n?1?n

?1?1?12?12?13????1n?1?1n?2?1n?2）

74.解分式不等式f(x)g(x)?a?a?0?的一般步骤是什么？

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果.）75.用“穿轴法〞解高次不等式——“奇穿，偶切〞，从最大根的右上方开始

如：?x?1??x?1?2?x?2?3?0

76.解含有参数的不等式要注意对字母参数的探讨

如：对数或指数的底分a?1或0?a?1探讨

77.对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段探讨，去掉绝对值符号，最终取各段的并集。）

78.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△〞问题）如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是

（设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定umin?3???2??5，∴5?a，即a?5

点?2和3距离之和

x?3?x?2??x?3???x?2??5，∴a?5）或者：

例如：解不等式1??（解集为?x|x??）|x?3|?x?1?1

2??

79.无理不等式

?f(x)?0?（1）f(x)?g(x)??g(x)?0.

?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?（2）f(x)?g(x)??g(x)?0.或?g(x)?0??f(x)?[g(x)]2??f(x)?0?（3）f(x)?g(x)??g(x)?0.

?f(x)?[g(x)]2?80.指数不等式与对数不等式(1)当a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?.logaf(x)?logag(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)?(2)当0?a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0

?f(x)?g(x)?81.斜率公式

y?y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.k?2x2?x1直线l的倾斜角???0，??，k?tan??y2?y1?????，x1?x2??x2?x1?2?82..直线的五种方程

（1）点斜式y?y1?k(x?x1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．（2）斜截式y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).（3）两点式(4)截距式

y?y1y2?y1?x?x1x2?x1(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1?x2)).

xab（5）一般式Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).

?y?1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0)

83..两条直线的平行和垂直

(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2①l1||l2?k1?k2,b1?b2;②l1?l2?k1k2??1.

(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零,①l1||l2?A1A2?B1B2?C1C2；

②l1?l2?A1A2?B1B2?0；84．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线

x?x0),其中k是待定的系数;经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为

A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(除l2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程是Ax?By???0(??0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线Ax?By?C?0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx?Ay???0,λ是参变量．

85.点到直线的距离

|Ax0?By0?C|22d?A?B86.Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域

(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0).

设直线l:Ax?By?C?0，则Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域是：若B?0，当B与Ax?By?C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax?By?C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若B?0，当A与Ax?By?C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax?By?C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.

87.(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区域

设曲线C:(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0（A1A2B1B2?0），则

(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区域是：(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面区域上下两部分；(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面区域上下两部分.

88.圆的四种方程

（1）圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2.

（2）圆的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F＞0).（3）圆的参数方程??x?a?rcos??y?b?rsin?.

)?(y?y)(y?2y)?(0圆的直径的端点是（4）圆的直径式方程(x?x1)(x?x21A(x1,y1)、B(x2,y2)).

89.圆系方程

(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)]?0?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0,其中ax?by?AB的方程,λ是待定的系数．

22c?0是直线

(2)过直线l:Ax?By?C?0与圆C:x?y?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程是x?y?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0,λ是待定的系数．

2222(3)过圆C1:x?y?D1x?E1y?F1?0与圆C2:x?y?D2x?E2y?F2?0的交2222??(x?y?Dx?Ey?F)?0,λ是待定的点的圆系方程是x?y?D1x?E1y?F122222系数．

90.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种若d?(a?x0)?(b?y0)，则

22222d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在圆内.

91.直线与圆的位置关系

直线Ax?By?C?0与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种:d?r?相离???0;d?r?相切???0;d?r?相交???0.

Aa?Bb?CA?B22222其中d?

.

92.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?dd?r1?r2?外离?4条公切线;d?r1?r2?外切?3条公切线;

r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线;

d?r1?r2?内切?1条公切线;0?d?r1?r2?内含?无公切线.

93.圆的切线方程

(1)已知圆x2?y2?Dx?Ey?F?0．

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是x0x?y0y?D(x0?x)2?E(y0?y)2?F?0.

?E(y0?y)2?F?0表示过两个切点

当(x0,y0)圆外时,x0x?y0y?D(x0?x)2的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为y?y0?k(x?x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为y?kx?b，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆x2?y2?r2．

2①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0x?y0y?r;

②斜率为k的圆的切线方程为y?kx?r1?k2.94.椭圆95.椭圆

xaxa2222?ybyba2222?x?acos?.?1(a?b?0)的参数方程是?y?bsin????1(a?b?0)焦半径公式

a22)，PF2?e(?x).

cc96．椭圆的的内外部PF1?e(x?（1）点P(x0,y0)在椭圆（2）点P(x0,y0)在椭圆97.椭圆的切线方程(1)椭圆

xa22xaxa2222??ybyb2222?1(a?b?0)的内部??1(a?b?0)的外部?x0aax02222??y0bby0222?1.?1.

2?xayb2222?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是yb22x0xa2?y0yb2?1.

（2）过椭圆x0xa2??1(a?b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

?y0yb2?1.

xa22（3）椭圆?yb22?1(a?b?0)与直线Ax?B?y0C?相切的条件是

22222Aa?Bb?c.

98.双曲线

xa22?a2yb22?1(a?0,b?0)的焦半径公式

a2)|，PF2?|e(?x)|.cc99.双曲线的内外部PF1?|e(x?(1)点P(x0,y0)在双曲线(2)点P(x0,y0)在双曲线

xa22xax222?yby222?1(a?0,b?0)的内部?x0ax0222?y0by0222?1.

?2?1(a?0,b?0)的外部?2?2?1.2abab100.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为?bayb22?1?渐近线方程：

xa22?yb22?0?y??xa22bax.

(2)若渐近线方程为y??(3)若双曲线与

x22x?xa?yb?0?双曲线可设为

xa22?yb22??.

ab轴上，??0，焦点在y轴上）.

101.双曲线的切线方程

?y22?1有公共渐近线，可设为?yb22??（??0，焦点在x

(1)双曲线

xa22?xayb2222?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是yb22x0xa2?y0yb2?1.

（2）过双曲线x0xa2??1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

?y0yb2?1.

xa22（3）双曲线

Aa?22?yb22?1(a?0,b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是

Bb?22.c

2102.抛物线y?2px的焦半径公式抛物线y?2px(p?0)焦半径CF?x0?过焦点弦长CD?x1?22p2.

p2?x2?p2?x1?x2?p.

103.抛物线y?2px上的动点可设为P(y??2px?.

2y?22p,y?)或P(2pt,2pt)或P(x?,y?)，其中

2104.二次函数y?ax?bx?c?a(x?点坐标为(?22b2a)?24ac?b4ab2a2（1）顶(a?0)的图象是抛物线：4ac?b?14a2b2a,4ac?b4a2)；（2）焦点的坐标为(?,)；（3）准线方程是

y?4ac?b?14a105.抛物线的内外部

.

(1)点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的内部?y2?2px(p?0).点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的外部?y2?2px(p?0).(2)点P(x0,y0)在抛物线y2??2px(p?0)的内部?y2??2px(p?0).点P(x0,y0)在抛物线y2??2px(p?0)的外部?y2??2px(p?0).(3)点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0).点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的外部?x2?2py(p?0).(4)点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0).点P(x0,y0)在抛物线x2??2py(p?0)的外部?x2??2py(p?0).106.抛物线的切线方程

(1)抛物线y2?2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y?p(x?x0).

（2）过抛物线y2?2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y?p(x?x0).（3）抛物线y2?2px(p?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是pB2?2AC.

107.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f1(x,y)?0,f2(x,y)?0的交点的曲线系方程是

f1(x,y)??f2(x,y)?0(?为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程

222x222a?k?y22b?k?1,其中k?max{a,b}.当

2222k?min{a,b}时,表示椭圆;当min{a,b}?k?max{a,b}时,表示双曲线.

108.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB?AB?222(x1?x2)?(y1?y2)或

222(1?k)(x2?x1)?|x1?x2|1?tan??|y1?y2|1?cot?（弦端点

?y?kx?bA(x1,y1),B(x2,y2)，由方程?消去y得到ax2?bx?c?0，??0,?为直线

?F(x,y)?0AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

109.分清圆锥曲线的定义

?椭圆?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2??定义?双曲线?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2

???抛物线?PF?PK0?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线110.你是否确凿理解正棱柱、正棱锥的定义并把握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE它们各包含哪些元素？

12S正棱锥侧?V锥?

13C·h（C——底面周长，h为斜高）底面积×高

111.立体几何中平行、垂直关系证明的思路明白吗？

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线???线∥面???面∥面性质?判定????线⊥线???线⊥面???面⊥面?????

线∥线???线⊥面???面∥面线面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

ab??

线面平行的性质：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

aOαbc

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?

面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?

αalβ

a⊥面?，b⊥面??a∥b

面?⊥a，面?⊥a??∥?

ab??

112．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.

113．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.

114．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.

115．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.116．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.117．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.

118.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分派律：λ(a＋b)=λa＋λb．

119.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点一致且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

120.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b??存在实数λ使a=λb．???????????????????P、A、B三点共线?AP||AB?AP?tAB?OP?(1?t)OA?tOB.

????????????????AB||CD?AB、CD共线且AB、CD不共线?AB?tCD且AB、CD不共线.

121.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的?存在实数对x,y,使p?ax?by．

????????????推论空间一点P位于平面MAB内的?存在有序实数对x,y,使MP?xMA?yMB，

?????????????????或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OP?OM?xMA?yMB.

????????????????119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OP?xOA?yOB?zOC（x?y?z?k），则当k?1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k?1时，若O?平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O?平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

????????????????????????A、B、C、D四点共面?AD与AB、AC共面?AD?xAB?yAC?

????????????????OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC（O?平面ABC）.

122.空间向量基本定理

假使三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实

????????????????数x，y，z，使OP?xOA?yOB?zOC.

123.射影公式

已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A'，作B点在l上的射影B'，则

''????????AB?|AB|cos〈a，e〉=a·e

124.向量的直角坐标运算

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则(1)a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；(2)a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；(3)λa＝(?a1,?a2,?a3)(λ∈R)；(4)a·b＝a1b1?a2b2?a3b3；

125.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则????????????AB?OB?OA=(x2?x1,y2?y1,z2?z1).126．空间的线线平行或垂直rr设a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则?x1??x2rrrrrr?aPb?a??b(b?0)??y1??y2；

?z??z2?1rrrra?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0.

127.夹角公式

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则cos〈a，b〉=21a1b1?a2b2?a3b3a?a?a2223.

23b?b?b21222222222推论(a1b1?a2b2?a3b3)?(a1?a2?a3)(b1?b2?b3)，此即三维柯西不等式.

128.周边体的对棱所成的角

周边体ABCD中,AC与BD所成的角为?,则cos??|(AB?CD)?(BC?DA)|2AC?BD2222.

129．异面直线所成角

rrcos??|cosa,b|

rr|x1x2?y1y2?z1z2||a?b|=rr?222222|a|?|b|x1?y1?z1?x2?y2?z2rroo（其中?（0???90）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）

130..直线AB与平面所成角

??????AB?m?????(m为平面?的法向量).??arcsin???|AB||m|131.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面

?成的角分别是?1、?2,A、B为?ABC的两个内角，则

sin?1?sin?2?(sinA?sinB)sin?.

22222特别地,当?ACB?90?时,有

222sin?1?sin?2?sin?.

132.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是?1、?2,A'、B'为?ABO的两个内角，则

tan?1?tan?2?(sinA?sinB)tan?.

222'2'2特别地,当?AOB?90?时,有

222sin?1?sin?2?sin?.

133.二面角??l??的平面角

?????????m?nm?n??arccos???或??arccos???（m，n为平面?，?的法向量）.

|m||n||m||n|134.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为?1，AB与AC所成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.

135.三射线定理

若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1,?2,与二面

2222角的棱所成的角是θ，则有sin?sin??sin?1?sin?2?2sin?1sin?2cos?;

|?1??2|???180?(?1??2)(当且仅当??90时等号成立).

??136.空间两点间的距离公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

????dA,B=|AB|?????????AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1).

222137.点Q到直线l距离|a|????b=PQ).

h?1????(|a||b|)?(a?b)(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量

22138.异面直线间的距离

????????|CD?n|?(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为d?|n|l1,l2间的距离).

139..点B到平面?的距离

????????|AB?n|（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，A??）.?d?|n|140.异面直线上两点距离公式d?d?h?m?n?2mncos?.????????'h?m?n?2mncosEA,AF.222222d?h?m?n?2mncos?（??E?AA?F）.

222'(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，A'E?m,AF?n,EF?d).141.三个向量和的平方公式

????2?2?2??????2(a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

?2?2?2?????????????a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a

142.长度为l的线段在三条两两相互垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为?1、?2、?3,则有