初三数学二次函数复习教案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——初三数学二次函数复习教案全国最大的特性化品牌辅导机构

龙文教育特性化辅导教案年月日教师学生授课时间点授课层次初三授课课题二次函数课型复习课1、知识目标：理解二次函数的概念，把握二次函数y＝ax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k的图象。教学目标2、能力目标：会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象把握二次函数的性质3、情感态度与价值观：1、重点：1.用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数y＝ax图象的性质。2.用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。教学重点和难点3.利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。2、难点：1.二次函数图象的平移。2.会运用二次函数知识解决有关综合问题。3.将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策教学内容：二次函数复习课

21.定义：一般地，假使y是常数，a?0的二次函数.)，那么y叫做x?ax?bx?c(a,b,c22.二次函数y?ax的性质

2（1）抛物线y?ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

2（2）函数y?ax的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

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②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.

2（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax.（a?0）23.二次函数y的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.?ax?bx?c24.二次函数y用配方法可化成：y的形式，其中????ax?bx?c?ax?hk22b4ac?b.h??，k?2a4a225.二次函数由特别到一般，可分为以下几种形式：①y?ax；②y?ax?k；③2??；④y???；⑤y.?ax?bx?cy?ax?h?ax?hk226.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状一致.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，假使二次项系数a一致，那么抛物线的开口方向、开口大小完全一致，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

2b4ac?b2ac?b?b?42（?，）（1）公式法：y，∴顶点是，?ax?bx?c?ax????2a4a2a4a??2对称轴是直线x??b.2a2???（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y的形式，得到?ax?hk顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的

连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

29.抛物线y中，a,b,c的作用?ax?bx?c2（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.

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2（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y的对称轴是直线?ax?bx?cbb，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴2aab在y轴左侧；③?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

ax??2（3）c的大小决定抛物线y与y轴交点的位置.?ax?bx?c2当x?0时，y?，∴抛物线y与y轴有且只有一个交点（0，c）：?ax?bx?cc①c?0，抛物线经过原点;②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负

半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

b?0.a10.几种特别的二次函数的图像特征如下：函数解析式2y?ax开口方向当a?0时对称轴x?0（y轴）顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)2b4ac?b(?，)2a4ay?ax?k2x?0（y轴）x?h??y?ax?h2???开口向上y?ax?hk2x?h当a?0时y?ax?bx?c2开口向下x??b2a11.用待定系数法求二次函数的解析式

2?ax?bx?c（1）一般式：y.已知图像上三点或三对x、y的值，寻常选择一般式.

????ax?hk（2）顶点式：y.已知图像的顶点或对称轴，寻常选择顶点式.

2????（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、寻常选用交点式：y.?ax?xx?xx2，1212.直线与抛物线的交点

2（1）y轴与抛物线y得交点为(0,c).?ax?bx?c3

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2（2）与y轴平行的直线x?h与抛物线y有且只有一个交点?ax?bx?c2(h,ah).?bh?c（3）抛物线与x轴的交点

2二次函数y的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元?ax?bx?c2二次方程ax的两个实数根.抛物线与x轴的交点状况可以由对应的?bx?c?0一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点?抛物线与x轴相交；??0?②有一个交点（顶点在x轴上）?抛物线与x轴相切；??0?③没有交点?抛物线与x轴相离.??0?（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的

2纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax的两个实数根.?bx?c?k2??（5）一次函数y的图像l与二次函数y的图像G的?kx?nk?0???ax?bx?ca?0交点，由方程组

y?kx?n2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解y?ax?bx?cl与G有两个交点;②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；时?③方程

l与G没有交点.组无解时?2（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y与x轴两交点为?ax?bx?c2????，由于x1、x2是方程ax的两个根，故?bx?c?0Ax，0，Bx，012bcx?x??,x?x?1212aa2b4cb?4ac???????AB?x?x?x?x?x?x?4xx???????12a??aaa

212212122

????2x?bb?01.已知直线y与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为

2??y?x?b?10x?c.

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（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y上，试确定这条抛物线的解??2x?b析式；

（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y的解析式.??2x?b2解析：（1）y?x2?或y10?x?4x?62b?10b?16b?100将，由题意得,?)（0，b)代入，得c?b.顶点坐标为(242b?10b?16b?100，解得b.?2??b????10,b??61224（2）y??2x?22.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为?2,0,1时,相应的输出值分别为5,?3,?4．（1）求此二次函数的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.

2解析：（1）设所求二次函数的解析式为y,?ax?bx?c?a(?2)2?b(?2)?c?5?c??3?a?1????则?a?02?b?0?c??3,即?2a?b?4,解得?b??2?a?b?c??4?a?b??1?c??3????2故所求的解析式为:y?.x?2x?3yOx（2)函数图象如下图.

由图象可得，当输出值y为正数时，

1输入值x的取值范围是x??或x?3．

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3.某生物兴趣小组在四天的试验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温状况一致．他们将一头骆驼前两昼体温变化状况绘制成下图．请根据回复：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头的体温是上升的?它的体温从最低上升少时间?

⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．

解析：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的.它的体温从最低上升到最高需要12小时

⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃

12??⑶y??x?2x?2410?x?221642?ax?(?3a)x?44.已知抛物线y与x轴交于

3第9题

变化夜的图象

骆驼

到最高需要多

A、得若

B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；不

存在，请说明理由．

解析：依题意，得点C的坐标为（0，4）．

设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），

442?(?3a)x?4?0x????3由ax，解得x，．2133a4∴点A、B的坐标分别为（-3，0），（?，0）．

3a422?AO?OC?5?|??3|，AC∴AB，

3a6

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42242．BC?BO?OC?|?|2?3a421641682∴AB，?|??3|??2?3??9???9223a9a3a9aa1622AC，BC．?25?2?169a222〈ⅰ〉当AB时，∠ACB＝90°．?AC?BC222由AB，?AC?BC16816．??9?25?(?16)229aa9a1解得a??．

4116625400222∴当a??时，点B的坐标为（，0），AB，AC，BC．?25??4399得

222于是AB．?AC?BC1∴当a??时，△ABC为直角三角形．

4222〈ⅱ〉当AC时，∠ABC＝90°．?AB?BC16816222由AC，得25．?AB?BC?(2??9)?(2?16)9aa9a4解得a?．

9444当a?时，????3，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．

93a3?49222?AC?AB〈ⅲ〉当BC时，∠BAC＝90°．

222由BC，得?AC?AB16168．?16?25?(??9)229a9aa解得a?4．不合题意．91综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当a??时，△ABC为直角三角形．

45.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.

（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值；

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（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值.

解析:(1)Ａ（x1，0）,B(x2，0).则x1，x2是方程x2－mx＋m－2＝0的两根.∵x1＋x2＝m,x12x2=m－2＜0即m＜2;

2又AB＝∣x1—x2∣＝（,xx+）?4xx?51212∴m2－4m＋3=0.

解得：m=1或m=3(舍去),∴m的值为1.（2）M(a，b)，则N(－a，－b).∵M、N是抛物线上的两点,

M??a?ma?m?2?b,?①∴??2?a?ma?m?2??b.?②??2yCxON①＋②得：－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N.

?2?m∴a?.

这时M、N到y轴的距离均为2?m,又点C坐标为（0，2－m）,而S△MNC=27,

∴233（2－m）32?m=27.∴解得m=－7.

26.已知：抛物线y＝ax＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，

0）．

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是其次象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的

假使点同侧，以AB

问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：

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（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．∵抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），

∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

2（2）∵抛物线y＝ax＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，0），

22∴a．∴t＝3a．∴y．(－1)＋4a(－1)＋t＝0＝ax＋4ax＋3a2∴D（0，3a）．∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y上，＝ax＋4ax＋3a∵C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．

11∵梯形ABCD的面积为9，∴(．∴(．AB?CD)?OD＝92＋4)3a＝922∴a±1．

2∴所求抛物线的解析式为y或＝x＋4x＋32．y＝?x?4ax?3（3）设点E坐标为（x0，y0）.依题意，x0＜0，y0＜0，且

y0x0＝55．∴y0＝－x0．222①设点E在抛物线y上，＝x＋4x＋32＝x＋4x＋3∴y．0001?5??x＝?，?x0＝?6，??0?y0＝－x0,2解方程组?得?2?y＝15；5?0?y＝x2＋?y?＝．30?004x0＋?4?∵点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴点E坐标为（?15，）．24设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．∵AE长为定值，∴要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小．∴点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0），∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．设过点E、B的直线的解析式为y，＝mx＋n9

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?5m＝?1????m＋n＝,∴?24解得??n＝?3m＋n＝0.?－??1,23.2131∴直线BE的解析式为y＝x＋．∴把x＝－2代入上式，得y＝．

2221∴点P坐标为（－2，）．

222②设点E在抛物线y上，∴y．＝?x?4x?3＝?x?4x?30005?y＝－x0,?023解方程组?消去y0，得x．＋3＝020?x022?y＝.?0?x0?4x0?3∴△＜0.∴此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2，解法二：

2（1）∵抛物线y＝ax＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，

1），使△APE的周长最小．20），

2∴a．∴t＝3a．∴(－1)＋4a(－1)＋t＝02．y＝ax＋4ax＋3a2＋4ax＋3a＝0令y＝0，即ax．解得x1＝－1，x2＝－3．

∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

2（2）由y，得D（0，3a）．＝ax＋4ax＋3a∵梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线

2上，y＝ax＋4ax＋3a∴C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．

1AB＋CD)?OD＝9∵梯形ABCD的面积为9，∴(．解得OD＝3．2∴3a＝3．∴a±1．

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22∴所求抛物线的解析式为y或y．＝x＋4x＋3＝－x－4x－3

（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．∴如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x交点为F．由PF∥EQ，可得

1PF＝．

2轴的

1PFBFPF．∴＝．∴＝55BQEQ24∴点P坐标为（－2，以下同解法一．

1）．27.已知二次函数的图象如下图．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解析：（1）设抛物线的解析式y，?a(x?1)(x?2)2∴?．∴a?1．∴y?．x?x?22?a?1?(?2)?19?其顶点M的坐标是?，??．

?24?（2）设线段BM所在的直线的解析式为y?，点N的坐标为N（t，h），kx?b11

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?0?2k?b，3?∴?91．解得k?，b?．?32??k?b.??423∴线段BM所在的直线的解析式为y?x?3．

23111231∴h?t?3，其中?t?2．∴s．??1?2?(2?t?3)t?t2?t?12222342311∴s与t间的函数关系式是S?t2?t?，自变量t的取值范围是?t?2．1422?57??35?（3）存在符合条件的点P，且坐标是P1?，?，P??．2?，?24??24?2设点P的坐标为P(m．?m?m?2，n)，则n2222222，PC．PA?(m?1)?n?m?(n?2)，AC?5分以下几种状况探讨：

222?PA?ACi）若∠PAC＝90°，则PC．

2?n?m?m?2，?∴?

2222?m?(n?2)?(m?1)?n?5.?解得：m1?5?57?，m（舍去）．∴点??1P21?，?．2?24?222?PC?ACii）若∠PCA＝90°，则PA．2?n?m?m?2，?∴?

2222?(m?1)?n?m?(n?2)?5.?35??3解得：m（舍去）．∴点?，m?0P，－??．342224???ACiii）由图象观测得，当点P在对称轴右侧时，PA，所以边AC的对角∠APC

不可能是直角．

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA

（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2），

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以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图

?12??48?b，此时未知顶点坐标是E??，?，F?，??．

5555????

图a图b

28.已知二次函数y＝ax－2的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判

断该函数图象与x轴的交点的个数．解析：根据题意，得a－2＝－1.

∴a＝1．∴这个二次函数解析式是y＝x2?2．

由于这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x

轴有两个交点．

9.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

1.4，（2）假使DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：2?计算结果确切到1米）．

解析：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为

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92y＝ax＋．

105529185由于点A（?，0）（或B（，0））在抛物线上，所以0得a＝－．＝a?(?)＋，

22210125185295因此所求函数解析式为y．＝－x＋(??x?)12510229918295（2）由于点D、E的纵坐标为，所以?－x＋，得x＝?2．

20231251045995所以点D的坐标为（－2，），点E的坐标为（）．2，

4420235552所以DE＝2－(?2)＝．

442因此卢浦大桥拱内实际桥长为

52（米）．?11000?0.01＝2752?385210.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B

2的左侧，如图．二次函数y（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于＝ax＋bx＋c点C．

（1）a、c的符号之间有何关系?

（2）假使线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，

a、c互为倒数；

＝43，求a、c的值．（3）在（2）的条件下，假使b＝－4，AB试证

解析:

（1）a、c同号．或当a＞0时，c＞0；当a＜0时，c＜0．

（2）证明：设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），则0＜x＜x12．

?c．∴OA?x?x1，OB2，OCc2据题意，x1、x2是方程ax的两个根．∴x1?x2?．＋bx＋c?0(a?0)ac22?OB＝OCc＝c2．由题意，得OA，即＝a所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数．

b4＋x＝－＝＞0?4（3）当b?时，由（2）知，x，∴a＞0．12aa14

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2解法一：AB＝OB－OA＝x，－x＝(x＋x)?4xx2112124c16?4ac232?()－4()?2?．∴ABaaaa∵AB?43，∴

123＝43．得a?．∴c＝2.

2a4?16?4ac4?16?42?3解法二：由求根公式，x＝＝＝，

2a2aa2?32?3∴x1＝，x2＝．

aa2?32－323∴AB．＝OB－OA＝x－x＝－＝21aaa＝43，∴∵AB123＝43，得a＝．∴c＝2．a211.如图，直线y??点．

3x?3分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两3（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标；（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：

（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．

解析：（1）连结EC交x轴于点N（如图）．∵A、B是直线y??

3，B(0,3)．x?3分别与x轴、y轴的交点．∴A（3，0）

3又∠COD＝∠CBO．∴∠CBO＝∠ABC．∴C是∴ON?OA?,EN??．

1232OB322的中点．∴EC⊥OA．

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全国最大的特性化品牌辅导机构连结OE．∴EC．∴NC?OE?3?EC?EN?333．∴C点的坐标为（,?）．222（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y．???axx?3∵C（,?∴y?3223333）．∴??3．a?(?3)．∴a?9222223223x?x为所求．983，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．3（3）∵tan?BAO?由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴?．OBD??ABO??60??30?∴OD＝OB2tan30°－1．∴DA＝2．∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．

∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．

考点1、确定a、b、c的值．二次函数：y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，且a≠0）a＞0开口向上，a＜0开口向下．抛物线的对称轴为x=?bb，由图像确定?的正负，2a2a1212由a的符号确定出b的符号．由x=0时,y=c，知c的符号取决于图像与y轴的交点纵坐标，与y轴交点在y轴的正半轴时，c＞0，与y轴交点在y轴的负半轴时，c＜0．确定了a、b、c的符号，易确定abc的符号．

考点2、确定a+b+c的符号．x=1时，y=a+b+c，由图像y的值确定a+b+c的符号．与之类似的还经常出现判断4a+2b+c的符号（易知x=2时，y=4a+2b+c），由图像y的值确定4a+2b+c的符号．还有判断a－b+c的符号（x=－1时，y=a－b+c）等等．

b，根据2abb对称性知：取到对称轴距离相等的两个不同的x值时，y值相等，即当x=?+m或x=?2a2abb－m时，y值相等．中考考察时，寻常知道x=?+m时y值的符号，让确定出x=?－

2a2a考点3、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号．抛物线的对称轴为x=?m时y值的符号．

考点4、由对称轴x=?bb的确定值判断a与b的关系．如：?=1能判断出a=2a2a16

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－0.5b．

考点5、顶点与最值．若x可以取全体实数，开口向下时，y在顶点处取得最大值，开口向上时，y在顶点处取得最小值．

例1、已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如下图，有以下5个结论：①（m?1abc?0；②b?a?c；③4a?2b?c?0；④2c?3b；⑤a?b?m(am?b)，的实数）其中正确的结论有（）．

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

开＞

解析：此题考察了考点1、2、3、4、5．①错误．由于：口向下a＜0;对称轴x=?b=1，可以得出b＞0;x=0时,y=c2a0，故abc＜0．②错误．由于：由图知x=－1时，y=a－b+c＜0，即b＞a+c．③正确．由于：由对称轴x=1知,