高三数学第一轮复习复数苏教版知识精讲

高三数学第一轮复习：复数苏教版【本讲教育信息】.教课内容：复数.教课目标：1.认识复数的有关看法及复数的代数表示和几何意义。2.掌握复数代数形式的运算法规，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算。3.认识从自然数系到复数系的关系及扩大的基本思想。.知识重点：1.虚数单位i：（1）它的平方等于－1，即i21；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律依旧建立。2.i与－1的关系：i就是－1的一个平方根，即方程x2＝－1的一个根，方程x2＝－1的另一个根是－i。3.i的周期性：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1。4.复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所构成的会集叫做复数集，用字母C表示*。5.复数的代数形式：复数平时用字母z表示，即zabi(a,bR)，把复数表示成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式。6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR)，当且仅当b＝0时，复数a＋bi（a、b∈R）是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数；当且仅当a＝b＝0时，z就是实数0。复数集与其他数集之间的关系：NZQRC。两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：假如a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋dia＝c，b＝d。一般地，两个复数只好说相等或不相等，而不可以比较大小假如两个复数都是实数，就可以比较大小。也只有当两个复数全部是实数时才能比较大小。9.复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是，纵坐标是b，复数z＝＋bi（、∈R）可用点（，）表示，这aaabZab个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确立的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数集C和复平面内全部的点所成的会集是一一对应关系，即复数zabi一一对应复平面内的点Z(a,b)这是由于，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。这是复数的一种几何意义。也是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。复数z1与z2的和的定义：z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i。复数z1与z2的差的定义：z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i。复数的加法运算满足交换律：z1＋z2＝z2＋z1。13.复数的加法运算满足结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）。乘法运算规则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i。2把实部与虚部分别合并。两个复数的积依旧是一个复数。乘法运算律：1）z1（z2z3）＝（z1z2）z3；（2）z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3；（3）z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3。除法运算规则：abi(abi)(cdi)acbdbcadi。cdi(cdi)(cdi)2d2c2d2c共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。复数z＝a＋bi和z＝a－bi（a、b∈R）互为共轭复数。uuuruuur18.复数加法的几何意义：假如复数z1，2分别对应于向量OP1、OP2，那么，以1、zuuurOPOP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量OS就是z1＋z2的和所对应的向量。复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。uuur复数的模：|z||aa2b220.bi||OZ|【典型例题】22例1.设复数z＝lg（m－2m－2）＋（m＋3m＋2）i，试务实数m取何值时，（1）z是纯虚数；（2）z是实数；（3）z对应的点位于复平面的第二象限。分析：利用复数的有关看法易求得。解：（1）由lg（2－2－2）＝０，2＋3＋2≠０，得＝3。mmmmm（22）由m＋3m＋2＝０，得m＝－1或m＝－2。（223）由lg（m－2m－2）＜０，m＋3m＋2＞０，得－1＜m＜1－3或1＋3＜m＜3。评论：对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的看法的运用也是这样。例2.设z∈C，求满足z＋1∈R且|－2|＝2的复数z。zz分析：设z＝a＋bi（a、b∈R），代入条件，把复数问题转变成实数问题，易得a、b的两个方程。解法一：设z＝a＋bi，则z＋1＝a＋bi＋1＝a＋bi＋abizbabiba2b2＝a＋b2＋（b－a2a2b2）i∈R。b22∴b＝a2b2。∴b＝0或a＋b＝1。当b＝0时，z＝a，∴|a－2|＝2。∴a＝0或4。a＝0不合题意舍去，∴z＝4。当b≠0时，a2＋b2＝1。又∵|z－2|＝2，∴（－2）2＋b2＝4。a解得a＝1，b＝15，∴z＝1±15i。4444综上，z＝4或z＝1±15i。441解法二：∵z＋∈R，z＋1＝z＋1。zz∴（－）－zz＝0，（－z）·|z|21＝0。zzzzz|z|2∴z＝z或|z|＝1，下同解法一。评论：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转变成实数问题来研究；解法二利用复数是实数的条件，复数问题实数化。这些都是解决复数问题的常用方法。例3.已知z1＝x2＋x21i，z2＝（x2＋a）i对于任意x∈R均有|z1|＞|z2|建立，试求实数a的取值范围。分析：求出|z1|及|z2|，利用|z1|＞|z2|问题转变成x∈R时不等式恒建立问题。解：∵|z1|＞|z2|，∴x4＋x2＋1＞（x2＋a）2。∴（1－2）x2＋（1－2）＞0对x∈R恒建立。aa当1－2a＝0，即a＝1时，不等式建立；212a0当1－2a≠0时，2a)(1a2)04(11＜a＜1。2综上，a∈（－1，1）。2评论：本题利用复数的性质求模以后，转变成求含参数的二次不等式的参数取值范围。例4.设z是虚数，ω＝z＋1是实数，且－1＜ω＜2。z1）求|z|的值及z的实部的取值范围；2）设u＝1z，求证：u为纯虚数；z3）求ω－u2的最小值。1）解：设z＝a＋bi（a、b∈R，b≠0），则ω＝＋i＋1＝（＋a）＋（－b）i。bi2b22b2aaa∵ω是实数，b≠0，a2＋b2＝1，即|z|＝1。∵ω＝2a，－1＜ω＜2，∴z的实部的取值范围是（－1，1）。2（2）证明：u＝1z＝1abi1z1abi＝(1abi)(1abi)(1abi)(1a-bi)＝1a2b22bi＝－b1i。(1a)2b2aa∈（－1，1），b≠0，2∴u为纯虚数。2＝2a＋b2（3）解：ω－u1)2(a＝2a＋1a2＝2a－a1(a1)2a1＝2a－1＋2a11］－3。＝2［（a＋1）＋1a∈（－1，1），∴a＋1＞0。2∴ω－u2≥2×2－3＝1。当a＋1＝1，即a＝0时，上式取等号。1ω－u2的最小值为1。例5.计算：123i(12i)3204(48i)2(48i)223i117i解：23i(2)3204(48i)2(48i)2＝123i1i117i(23i)(123i)[(2)2]1602(48i48i)(48i48i)(123i)(123i)1117ii13i(i)160201i112例6.设z13i，z21i，试求满足znzm的最小正整数m，n的值12解：对znzm两边取模得2n(2)m，因此m＝2n，从而12(3i)n(1i)2n(2i)n因此(2123i)n1,于是n＝3k（kN）因此满足条件的最小正整数是m＝6，n＝3例7.能否存在复数z，使其满足zz2iz3ai（aR），假如存在，求出z的值，假如不存在，说明原由解：设z＝x＋yi（x，yR），则x2y22i(xyi)3aix2y22y32xa消去x得y22ya230,16a24当且仅当|a|4时，复数z存在，这时za216a2i；22例8.设等比数列zz,z3zn此中1,2z1＝1，z2＝a＋bi，z3＝b＋ai（a，bR且a>0）⑴求a，b的值；⑵试求使z1z2zn0的最小自然数n⑶对⑵中的自然数n，求z1z2zn的值。解：⑴由于z1，z2，z3成等比数列，因此z22z1z3即(abi)2baia2b2b0)a312aba(a2,b2⑵z1,z231iq31i,22122于是zn(31i)n122zz2zn1qq2qn111qn01qqn＝zn(2321i)n(i)n(2123i)n1⑶z1z2zn＝((

31312(311122i)(22i)22)31211221)[(i)(13i)]6622(i)66(2123i)661【模拟试题】1.数z13i,z21i，则zz1z2在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知z1i，则在复平面上与iz对应的点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、已知复数z(m2m2)(m23m2)i对应的点位于复平面的虚轴上，则实数m为（）A.1B.–1或2C.－1D.24、ii2i3i2005的值等于（）A.1B.–1C.iD.i5、已知z1,z2是复数，以下四个结论正确的选项是（）①若z1z20,则z10,z20②若z1z20，则z1z20,则z10,z20③若z1z10,则z10④若z1z2，则向量OZ1与OZ2重合A.仅②正确B.仅②③正确C.②③④正确D.仅②④正确6、i－2的共轭复数是A.2＋iB.2－iC.－2＋iD.－2－i7、计算（2＋i）＋（3＋i3）＋（4＋i5）＋（5＋i7）（此中i为虚数单位）的值是A.10B.12C.14D.168、设复数ω＝－1＋3i，则1＋ω等于2211A.－B.2C.－D.29、复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、设x、y∈R，且x－y＝5，则x＋y＝___________。1i12i13i11、以下命题中：①任意两个确立的复数都不可以比较大小；②若｜z｜≤1，则－1≤≤1；z22＝0，则z1＝z2＝０；③若z1＋z2④z＋z＝0z为纯虚数；⑤z＝zz∈R。此中正确的命题是。12、要使复数z＝a2a6＋a22a15i为纯虚数，此中实数a能否存在？若存在，a24求出a的值，若不存在，说明原由。试题答案1、答案：D2、答案：B3、答案：B4、答案：C5、答案：A6、分析：由共轭复数的定义知选D。答案：D3577、分析：（2＋i）＋（3＋i）＋（4＋i）＋（5＋i）＝2＋3＋4＋5＝14。8、分析：1＋ω＝1＋3i＝－（－1－3i）＝－1。2222答案：C9、分析：z＝z1z2＝（3＋i）（1－i）＝4－2i