IIR数字滤波器的设计

试验四IIR数字滤波器的设计一:试验目的把握双线性变换法及脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器的具体设计方法及其原理，生疏用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、高通和带通IIRMATLAB编程。观看双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性，了解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点。Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器和椭圆滤波器的频率特性。二:试验原理:脉冲响应不变法用数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)仿照模拟滤波器的冲激响应ha

(t,让h(n)正好等于ha

(t)的采样值，即h(n)h(nT，其中T为采样间隔，假设以H(s)H(z)分别表示h(t)的拉式变换及h(n)Za a aH(z)

zesT

1Tm

H(sj2m)a T双线性变换法S平面与z1Tss21z1

,z 2 ,(sj;zrej)T 1z1

1Ts2双线性变换是一种非线性变换，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸而得到校正。s平面的虚轴单值地映射于zs平面的左半平面完全映射到z双线性变换是一种非线性变换，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸而得到校正。变换类型变换关系式备注变换类型变换关系式备注低通高通带通：带通的上下边带临界频率带通的上下边带临界频率以低通数字滤波器为例，将设计步骤归纳如下：确定数字滤波器的性能指标：通带临界频率fc

、阻带临界频率fr

、通带波动At、采样周期T、采样频率f ；s确定相应的数字角频率 2fT；c c r r2 2 计算经过预畸的相应模拟低通原型的频率

tg( c)， tg( r)；c T 2 r T 2依据Ω和Ω计算模拟低通原型滤波器的阶数N，并求得低通原型的传递函数H(s)；c r a用上面的双线性变换公式代入Ha

(s)，求出所设计的传递函数Hz)；分析滤波器特性，检查其指标是否满足要求。三、试验内容及步骤试验中有关变量的定义:f 通带边界频率；f 阻带边界频率；δ通带波动；At最小阻带衰减；f采样频率；T采样周期c r s上机试验内容：〔1〕f=0.3KHz,δ=0.8Db,f=0.2KHz,At=20Db,T=1ms;c r设计一个切比雪夫高通滤波器，观看其通带损耗和阻带衰减是否满足要求。解：由于是高通，只能承受双线性变换法具体程序如下：wc=2*1000*tan(2*pi*300/(2*1000));wt=2*1000*tan(2*pi*200/(2*1000));[num,den]=bilinear(B,A,1000);[h,w]=freqz(num,den);f=w/(2*pi)*1000;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([0,500,-80,10]);grid;xlabel(”频率”);ylabel(”幅度/dB”)H(z)=0.0304-0.1218z10.1827z2-0.1218z30.0304z4依据运算结果得到高通滤波器系统函数:

1.0000+1.3834z1+1.4721z2+0.8012z3+0.2286z4相应的幅频特性曲线为：从图中可见：其通带损耗和阻带衰减满足要求〔2〕f 0.2kHz，1dB,f 0.3kHz，At25dB,T1ms；c r分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一Butterworth数字低通滤波器，观看所设计数字滤波器的幅频特性曲线，记录带宽和衰减量，检查是否满足要求。比较这两种方法的优缺点。T=0.001;fs=1000;fc=200;fr=300;wp1=2*pi*fc;wr1=2*pi*fr;[N1,wn1]=buttord(wp1,wr1,1,25,”s”)[B1,A1]=butter(N1,wn1,”s”);[num1,den1]=impinvar(B1,A1,fs);脉冲响应不变法[h1,wfreqz(num1,den1);wp2=2*fs*tan(2*pi*fc/(2*fs))wr2=2*fs*tan(2*pi*fr/(2*fs))[N2,wn2]=buttord(wp2,wr2,1,25,”s”)[B2,A2]=butter(N2,wn2,”s”);[num2,den2]=bilinear(B2,A2,fs);双线性变换法[h2,wfreqz(num2,den2);f=w/(2*pi)*fs;plot(f,20*log10(abs(h1)),”-.”,f,20*log10(abs(h2)),”-”);axis([0,500,-80,10]);grid;xlabel(”频率/Hz);ylabel(”幅度/dB”)脉冲响应不变法的低通滤波器系统函数:H(z)= 0.0002z10.0153z2+0.0995z30.1444z40.0611z5+0.0075z6+0.0002z7 1.0000-1.9199z1+2.5324z2-2.2053z3+1.3868z4-0.6309z5+0.2045z6-0.0450z7+0.0060z8-0.0004z9双线性变换法设计的低通滤波器系统函数:H(z)=

0.0179+0.1072z10.2681z2+0.3575z30.2681z40.1072z5+0.0179z61.0000-0.6019z1+0.9130z2-0.2989z3+0.1501z4-0.0208z5+0.0025z6相应的幅频特性曲线为：从图中可见，通带边界和阻带边界分别为200hz,300hz,衰减量也满足为25Db。总结：脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，ω＝ΩΤ，ω与Ω是线性关系：在某些场合，要求数字滤波器在时域上能仿照模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的仿照，一般使用脉冲响应不变法。响应中，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于/2的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设s计的简洁性和滤波器阶数，只有在确定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才承受。双线性变换法的主要优点是SZ平面一一单值对应，s平面的虚轴(jΩ)Z平面单位圆的一周，S平Ω=0处对应于Zω=0处，Ω=∞处对应于Zω=π处,即数字滤波器的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。双线性变换缺点:Ωω成非线性关系，导致：使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。要求模拟滤波器的幅频响应必需是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器(3)利用双线性变换法分别设计满足以下指标的Butterworth型、Chebyshev型和椭圆型数字低通滤波器，并作图验证设fc1.2kHz0.5dB,fr2kHzAt40dBfs8kHz，比较这种滤波器的阶数。局部程序如下，其余只要稍加改动：fs=8000;wc=2*fs*tan(2*pi*1200/(2*fs));wr=2*fs*tan(2*pi*2023/(2*fs));[B,A]=butter(N,wn,”s”);[h,w]=freqz(num,den);f=w/(2*pi)*fs;figure(1);plot(f,20*log10(abs(h)));Butterworth型低通滤波器系统函数：0.0004+0.00310.01292+0.030230.045340.04535+0.03026+0.01297+0.00328+0.00049H(z)=1.0000-2.7991+4.45822-4.54123+3.24044-1.63305+0.57806-0.13707+0.01978-0.00139Chebyshev型低通滤波器系统函数：H(z)=

0.0026+0.0132z10.0264z2+0.0264z30.0132z40.0026z51.0000-2.9775z1+4.2932z2-3.5124z3+1.6145z4-0.3334z5椭圆型数字低通滤波器系统函数：H(z)=

0.0389+0.0363z10.0665z2+0.0363z30.0389z41.0000-2.1444z1+2.3658z2-1.3250z3+0.3332z4Butterworth型数字低通滤波器：Chebyshev型数字低通滤波器：椭圆型数字低通滤波器：在一样指标下：Butterworth9阶，Chebyshev54阶分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一Butterworth型数字带通滤波器f 30kHz，其等效的模拟s滤波器指标3dB2kHzf3kHzAt5dBf6kHzAt20dBf1.5kHz。程序同其次题：wp1=2*pi*2023;wp2=2*pi*3000;ws1=2*pi*1500;ws2=2*pi*6000;[N1,wn1]=buttord([wp1wp2],[ws1ws2],3,20,”s”)[B1,A1]=butter(N1,wn1,”s”);[num1,den1]=impinvar(B1,A1,30000)[h1,w]=freqz(num1,den1);w1=2*30000*tan(2*pi*2023/(2*30000));w2=2*30000*tan(2*pi*3000/(2*30000));wr1=2*30000*tan(2*pi*1500/(2*30000));wr2=2*30000*tan(2*pi*6000/(2*30000));[N,wn]=buttord([w1w2],[wr1wr2],3,20,”s”);[B,A]=butter(N,wn,”s”);[num,den]=bilinear(B,A,30000);f=w/(2*pi)*30000;axis([0,15000,-60,10]);grid;xlabel(”频率/Hz”);ylabel(”幅度/dB”)脉冲响应不变法的带通滤波器系统函数:H(z)=

0.0057z1-0.0122z2+0.0025z30.0089z4-0.0049z51.0000-4.8056z1+10.2376z2-12.2625z3+8.7012z4-3.4719z50.6145z6双线性变换法的带通滤波器系统函数:H(z)=

0.0014-0.0042z20.0042z4-0.0014z61.0000-4.8071z1+10.2473z2-12.2838z3+8.7245z4-3.4849z50.6176z6相应的幅频特性曲线为：利用双线性变换法设计满足以下指标的Chebyshev型数字带阻滤波器，并作图验证设计结果：当1kHzf2kHz时，At18dB；当f500Hz以及f3kHz时，3dB；采样频率f 10kHz。sw1=2*10000*tan(2*pi*1000/(2*10000));w2=2*10000*tan(2*pi*2023/(2*10000));wr1=2*10000*tan(2*pi*500/(2*10000));wr2=2*10000*tan(2*pi*3000/(2*10000));[N,wn]=cheb1ord([wr1wr2],[w1w2],3,18,”s”);[num,den]=bilinear(B,A,10000)[h,w]=freqz(num,den);f=w/(2*pi)*10000;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([0,5000,-120,10]);grid;xlabel(”频率/Hz”);ylabel(”幅度/dB”)带阻滤波器系统函数:H(z)=

0.2192-0.5418z1+0.7732z2-0.5418z30.2192z41.0000-1.1051z1+0.2612z2-0.4256z3+0.4502z4相应的幅频特性曲线为：四：试验思考题1.Ω和ω频特性曲线中可以观看到这种非线性关系？答：在双线性变化法中，模拟频率与数字频率不再是线性关系，所以一个线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器不再保