对数的概念-高一上学期数学人教A 版（2019）必修第一册

4.3.1对数的概念2学习目标：1.理解对数函数的概念，理解对数的运算性质.重点：对数的概念与运算性质.难点：运算性质和换底公式的应用.核心素养：数学运算、数学建模.2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或

常用对数.3.了解对数在简化运算中的作用.3作者：湛江市第五中学钟景荣问题1设2010年某市工业总产值为a亿元,如每年平均增长8%,那么经过多少年工业总产值是2010年的2倍？作者：湛江市第五中学钟景荣即1.08x=2.a(1+8%)x=2a.解：设经过x年国民生产总值是2010年的2倍,则有x=？底数指数幂这是已知底数和幂的值,求指数的问题.即在指数式ax=N中,已知a

和N.求x的问题.(这里a>0且a≠1)这就是本章要学习的对数.4一、对数的定义x

=logaN,一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作其中a叫做对数的底数,N叫做真数.二、两种特殊的对数(1)以10为底的对数叫常用对数(commonlogarithm),并把log10N记作lgN.(2)以无理数e(e=2.71828…)为底的对数叫自然对数(naturallogarithm),并把logeN记作lnN.“log”是拉丁文logarithm(对数)的缩写.

通过查询互联网,进一步了解无理数e、常用对数和自然对数.logaN底5根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,且a≠1时,三、对数与指数之间的关系==log指数幂对数真数底NxN底数指数幂底数对数真数底数还是底数指数换对数幂和真数互换由于1.08x=2,所以x=log1.082.由于42=16,得

log416=2.四、对数的基本性质由指数与对数的关系，得到如下结论：(1)0和负数没有对数;(2)loga1=0;logaa=1.请你课后利用指数与对数的关系证明这两个结论.xaa6作者：湛江市第五中学钟景荣解：(1)log5625=4;(6)e2.303=10.ax=NlogaN=x

(3)(5)10-2=0.01;例1

把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)54=625;(2)2-6=;(3)()m=5.73.(4)=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.(2)

log2=-6

;(4)()-4=16;71.把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：解：(1)log28=3;(3)(5)102.3=n;(4)32=9;(1)23=8;(2)

;(3).(4)log39=2;(5)lgn=2.3;(6)log3=-4.(2)

lnm=;(6)3-4=.ax=NlogaN=x

8例2求下列各式中x的值：=4-2(2)因为logx8=6,所以x6=8.又因为x>0,所以(3)lg100=x;(4)–lne2=x.对数的底数大于0且不等于1.(3)因为lg100=x,所以10x=100=102,于是x=2.(4)因为-lne2=x,所以lne2=-x,e2=e-x,于是x=-2.对数式化指数式,再利用幂的性质.(1)log64x=-;(2)logx8=6;解：(1)因为log64x=-,所以x=9作者：湛江市第五中学钟景荣3.

求下列各式的值：解：(1)设log525=x,则所以x=-3,即lg0.001=-3.(4)设lg0.001=x,则10x=0.001=10-3,所以x=2,即log525=2.5x=25=52.(2)log0.41=0.(1)log525;(2)log0.41;先设对数值，然后对数化指数.(3)ln;(4)lg0.001.(3)设ln=x,则ex==e-1,所以x=-1,即ln=-1.10４.求下列各式中x的值：=33=27.(2)因为logx49=4,所以x4=49,∵x>0,x2=7,∴x=-5.(3)因为lg0.00001=x,所以10x=0.00001=10-5,对数式化指数式，再利用幂的性质.(1);(2)logx49=4;(3)lg0.00001=x;(4)ln=-x.解：(1)因为

,所以∴x=.(4)因为ln=-x,所以∴x=-

.11★附加题：证明左边=右边则logaN=logax.所以x=N.对数恒等式：5.计算下列各式的值：解：(1)(2)

证明：证明：设,

即ax=NlogaN=x

(1);(2);12作者：湛江市第五中学钟景荣6.求下列各式中x的值：(2)log2[log3(log4x)]=0.解：(1)因为logaa=1,(2)

因为loga1=0,log3(log4x)=1.提示：什么数的对数是0？什么数的对数是1？loga1=0;logaa=1.所以3x2+2x-1

=2x2-1,化简得x2+2x

=0,解得

x

=0或x=-2,当x=0时，2x2-1=-1，式子无意义，当x=-2时，2x2-1=7，3x2+2x-1

=7，符合题意.∴x=-2.又因为logaa=1,log4x=3.所以x=43=64.(1)

;13作者：湛江市第五中学钟景荣课堂总结一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作其中a叫做对数的底数,N叫做真数.二、两种特殊的对数(1)以10为底的对数叫常用对数,并把l