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1初等矩阵§2.52一、矩阵的初等变换定义2.12以下三种变换称为矩阵的行(列)初等变换(1)交换矩阵的两行(列)(2)用一个非零数乘矩阵的某行(列)各元素(3)矩阵的某行(列）的k倍加于另一行(列)的对应元素上3矩阵的等价关系及性质定义2.13两矩阵的等价性质(1)、（2）、（3）4定义

n阶单位矩阵

E，经过一次初等变换所得到的矩阵，称为

n阶初等矩阵.二、初等矩阵及其性质i行i列j行j列5i

行i

列67初等矩阵的逆矩阵还是同类型的初等矩阵：8(2)对A施以某种初等列变换,相当于用同种的n阶初等矩阵右乘A.(1)对A施以某种初等行变换,相当于用同种的m阶初等矩阵左乘A.定理

设A为阶矩阵，证略.例19定理任意一个矩阵

A

经过有限次初等变换，的矩阵，称之为A的等价标准形.

证略.总可以化为形如

10例1

将下列矩阵化为等价标准形.(1)解1112对矩阵A施以初等行变换,相当于左乘一个初等矩阵；对矩阵A施以初等列变换,相当于右乘一个初等矩阵.任意一个矩阵

A总可以经过有限次初等变换，化为等价标准形推论113推论1推论214推论2若A为n阶可逆矩阵，推论315若方阵A可逆，则它的等价标准形必为单位矩阵.初等阵是可逆的，且其逆阵仍为初等阵，于是其中均为初等矩阵，定理n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示成

一些初等矩阵的乘积.

16二、用初等变换求逆矩阵其中均为初等矩阵，或其中均为初等矩阵，设A可逆，则可逆阵可经过若干次初等行变换化为单位矩阵.表明：表明：如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵E，那么同样地用这些初等行变换就把单位矩阵E化为

17利用初等变换求逆阵的方法：可逆阵可经过若干次初等行变换化为单位矩阵.表明：表明：如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵E，那么同样地用这些初等行变换就把单位矩阵E化为

18

解例21920即初等行变换求解矩阵方程21例3解222324例4解设矩阵A和B满足关系式：

其中

求矩阵X.

2526于是因此27或解例4设矩阵A和B满足关系式：

其中

求矩阵X.28列变换

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