专题11 不等式、推理与证明、复数-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)

专题11不等式、推理与证明、复数1．【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|iz+3A．45 B．42 C．25【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为z=1+i，所以iz+3z故选：D.2．【2022年全国甲卷】若z=−1+3i，则zzA．−1+3i B．−1−3i C．【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】zz故选：C3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,bA．a=1,b=−1 B．a=1,b=1 C．a=−1,b=1 D．a=−1,b=−1【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为a,b∈R，a+b+2ai=2i，所以故选：A.4．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件x+y⩾2,x+2y⩽4,y⩾0,则z=2x−y的最大值是（A．−2 B．4 C．8 D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数z=2x−y为y=2x−z，上下平移直线y=2x−z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以zmax故选：C.5．【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中a，bA．a=1,b=−2 B．a=−1,b=2 C．a=1,b=2 D．a=−1,b=−2【答案】A【解析】【分析】先算出z,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】zz+a由z+az+b=0,得1+a+b=0故选:A6．【2022年新高考1卷】若i(1−z)=1，则z+z=A．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法可求z，从而可求z+z【详解】由题设有1−z=1i=ii故选：D7．【2022年新高考2卷】(2+2i)(1−2iA．−2+4i B．−2−4i C．6+2i【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求(2+2i【详解】(2+2i故选：D.8．【2022年北京】若复数z满足i⋅z=3−4i，则z=A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．【详解】由题意有z=3−4ii故选：B．9．【2022年浙江】已知a,b∈R,a+3i=(b+i)iA．a=1,b=−3 B．a=−1,b=3 C．a=−1,b=−3 D．a=1,b=3【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求a,b.【详解】a+3i=−1+bi，而a,b故选：B.10．【2022年浙江】若实数x，y满足约束条件x−2≥0,2x+y−7≤0,x−y−2≤0,则z=3x+4y的最大值是（A．20 B．18 C．13 D．6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线3x+4y−z=0过A时z有最大值.由{x=22x+y−7=0可得{x=2故zmax故选：B.11．【2022年浙江】已知a,b∈R，若对任意x∈R,a|x−b|+|x−4|−|2x−5|≥0，则（

）A．a≤1,b≥3 B．a≤1,b≤3 C．a≥1,b≥3 D．a≥1,b≤3【答案】D【解析】【分析】将问题转换为a|x−b|≥|2x−5|−|x−4|，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x∈R，有a|x−b|≥|2x−5|−|x−4|恒成立．设f(x)=a|x−b|，g(x)=|2x−5|−|x−4|={1−x,x≤即f(x)的图像恒在g(x)的上方（可重合），如下图所示：由图可知，a≥3，1≤b≤3，或1≤a<3，1≤b≤4−3故选：D．12．【2022年新高考2卷】（多选）若x，y满足x2+yA．x+y≤1 B．x+y≥−2C．x2+y【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为ab≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y由x2+y2−xy=1可变形为x因为x2+y2−xy=1变形可得x−y=43+23故选：BC．1．（2022·北京四中三模）在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算法则求复数的代数形式，根据复数的几何意义确定对应点的象限.【详解】，所以复数在复平面上的对应点为，该点在第三象限.故选：C.2．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数，是的共轭复数，则（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法可求，进而可求.【详解】∵，所以.故选：B．3．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】化简方程求出复数的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部.【详解】因为，所以，所以复数的虚部为，故选：A.4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））观察下列等式，，，，，根据上述规律，（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据，，，，观察其规律，可得.【详解】，，，，根据上述规律，得.故选：B.5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若复数满足，则（

）A． B．C．1 D．【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算求得复数z，继而可得其共轭复数.【详解】由题意，得，故，故选：A6．（2022·四川眉山·三模（文））由若干个完全一样的小正方体无空隙地堆砌（每相邻两层堆砌的规律都相同）成一个几何体，几何体部分如图所示.用下面公式不能计算出该几何体三视图中所看到的小正方体或全部小正方体个数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】计算正视图或左视图看到的小正方形的个数是相同的，再计算俯视图中看到的小正方形的个数和几何体的全部小正方体个数即可.【详解】从正视图或左视图可以看出小正方形的个数为从俯视图可以看到小正方形的个数为几何体的全部小正方体个数为故选：D.7．（2022·北京·北大附中三模）已知，下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.【详解】解：对于选项A，因为，而的正负不确定，故A错误；对于选项B，因为，所以，故B错误；对于选项C，依题意，所以，所以，故C正确；对于选项D，因为与正负不确定，故大小不确定，故D错误；故选：C.8．（2022·山东泰安·模拟预测）已知，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】【分析】对原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解.【详解】由，得，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.故选：A.9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．不存在【答案】A【解析】【分析】由题设条件可得，从而利用换底公式的推论可得，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值【详解】又，则当且仅当即时取等号故选：A10．（2022·全国·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】B【解析】【分析】将已知的式子，然后判断函数，，的单调性，从而可得，即，再利用基本不等式可求得结果【详解】因为，所以．设，，易知在上单调递增，故，即，又，，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为2．故选：B．【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题11．（2022·北京·101中学三模）设m为实数，复数（这里i为虚数单位），若为纯虚数，则的值为______．【答案】【解析】【分析】先根据为纯虚数计算出的值，再计算，最后计算的值【详解】，为纯虚数故答案为：12．（2022·全国·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】根据题意得，再化简整理利用基本不等式求解即可.【详解】，当且仅当，即，时取得等号．故答案为：.13．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数，则的最大值为_________．【答案】【解析】【分析】将分母变为，分别利用基本不等式即可求得最大值.【详解】（当且仅当，时取等号），的最大值为.故答案为：.14．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为，则满足的最小正整数的值为______.（参考数据：，）【答案】9【解析】【分析】根据图形变化规律分析出的通项公式，然后求和确定