用Mathematica研究自然对数底数e

文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.作者：陈龙ee一、引言7近似值位数会越来越多。另外一个奇妙有趣的无理数是e，它取自瑞士数学家欧拉(Euler，1707-1783)的英文字头。欧拉首ee与爪被认为是数学中最重要的两个超越数(transcendentalnumber，若一数为f(x)=0之根，其中f为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数(algebraicnumber)，否则称为超越数)。e、爪及i(i为虚数单位)三者间存在e爪i=_1的关系。本文主要介绍e的一些知识以及用Mathematica二、欧拉数enni!1!2!n!nni!1!2!n!应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。定理1.设数列{a}为单调且有界，则当n)w时，a)a(a为一有限数)。nnni!n122首先，对a=xn1，显然{a}为单调递增数列。其次，a=2，a=ni!n122aa222232n_1nn多数学的公式中出现，所以不可避免的需要给它一个特别的符号。欧拉似乎是第一个体会到此数之重要性文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.的数学家，他并以e来表示此数。后来符号e就被广为采用，后人并称e为欧拉数(Euler’snumber)以纪念他。由于e为n)的时a之极限，故e可表示为n i!i=0以下说明如何以a来求e之近似值，事实上a收敛至e的速度极快。这里借助一几何级数，对任意nn-m+1=a+m(2)若令n)的，则上式为1a<a<a+1。mnmm.m!eae10N[a[10],50]2.71828N[E,50]N[a[10]-E,50]True当然若m取大一些便可再更精确些，如e=2.3536028…。这是欧拉用笔算得到的e之小数前23位。欧拉e数为0.4342944…”。文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.a将上式每项各乘以q!得qqqqqqqq下面我们来看另一种常见的引进e的方法。考虑数列nn则由二项式定理(BinomialTheorem)可得k!nk2!nn!nnn=a3。n又由上面第三个等号的右侧可看出，b的每一项对n递增，且b比b多一正的项，故b为一单调递nn1nn列必有极限。故得证limbb存在。nn接着证明be。对ln，仍由前述第三个等号之右侧可得l2!ln!ll。若先固定n，而令l，则上式左侧趋近于b，而右侧趋近于a。即此时有ba，而又有ba，nnnnnnn，由夹逼定理，便得blimbe。也就是我们得到下述重要的极限结果：nn(4)文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.nnnnnn0n)wnn)wnn)wn我们发现e这个奇妙的数居然可用两种完全不同的方式来导出，事实上尚有许多方式皆可导出e。中学学的对数以10为底，称为常用对数，记作lgN。但科学上常用的对数却以一个无理数e=2.71828…为底，称为自然对数，记作lnN或logN。早在公元17世纪纳皮尔(J.Napier)发明对数时，其目的是简化天文数据的计算，将乘法转化为加法来计算。他希望将每个正实数N表示为某个给定的正实数a的幂：N=an。如果N=an，M=am，则真数)N与指数(即对数)n之间的对应关系。但要使得表中相邻两个真数比较接近，就应当取低a接近1。比如取a=1.001。指数(对数)n123…91020…mmanmnOut[1]：=2.593742.704812.716922.718152.718272.718282.71828nOut[2]：=2.853122.731862.719642.718422.71832.718282.71828文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.OutOutan而增大，A随着n的增大而减小。nnpic1=Plot[(1+10^(-x))^(10^x),{x,1,4},PlotStyle{RGBColor[0,0,1]}]Graphicspic2=Plot[(1+10^(-x))^(10^x+1),{x,1,4},PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}]Graphicspic3=Plot[E,{x,1,4},PlotStyle{RGBColor[0,0,1]}]GraphicsShow[pic1,pic2,pic3]Graphics无限接近，趋于共同的极限e=2.71828…，以这个e为底的对数称为自然对数。上面是通过对数表的编制来说明自然对数是怎样自然产生的。虽然当初纳皮尔编制对数表的时候还没有这样明确地提出自然对数，但他一开始编制的决不是以10为底的常用对数表，他以0.99999为底编制的对数表从本质上接近于自然对数表。只是到后来，为了使用的方便，才采用换底公式将已编成的对数表改成了以10为底的常用对数表。在科学中广泛应用以e为底的自然对数的更直接的理由是：它使涉及到对数的微分和积分公式变得最为简单。Do[Print[Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}]0.4139270.4321370.4340770.4342730.4342920.4342940.434294aDo[Print[10^Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}]文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.Do[Print[Log[1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}]0.9531020.9950330.99950.999950.9999950.999999以看到当x)0时，A(x)趋于一个极限值A(A=1)。上述的①、②也是e的计算中的一种方法。下面再介绍几种方法。由于无理数e值是x无限增大时，x的极限，通常书写为：x)土w时，x)e或 (x)(x)x)土w(x)x)x)Limit[(1+x)^(1/x),x0]N[Limit[(1+x)^(1/x),x0],50]2、泰勒级数法欧拉认为，一切函数均可展开为无穷级数。在此，利用指数函数的泰勒级数xx2x3xn2!3!n!xx2x3xn2!3!n! (5)e=1++++…++…1!2!3!n!泰勒级数是无穷级数，实际计算时必然只能取它的前n项，导致截断误差但因为无穷级数(5)收敛迅速(极快地趋近于某一定值)，所以计算起来相当顺利，且实际截断误差比较用Mathematica计算en=100taylor=N[Sum[1/k!,{k,0,n}],50]3、数值积分法利用定积分出j1exdx这个积分的数值，再加上1也就得到了e的值。00文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.y=ex与x轴所包围着的曲边梯形T的面积。为此，用一组平行于y轴的直线i012n-1n成这些小曲边梯形的面积之和。如果取n很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它的上方的边界i-1i1n-1iiSii1(y+y)h。将所有这些梯形面积加起来就得到2i-1iiii-1ix=a+(|i-1)|(b-a)/n。将第i个小曲边梯形的上边界y=f(x)=ex(x三i三x)近似地看作经过三i-1(2)