2021-2022高三摸底测试数学知识全覆盖黄金8套仿真模拟（8）-备战2022年新高考全真数学模拟试卷（适用新高考地区）解析版

高考模拟试卷系列新高考2021-2022学年度高三摸底测试数学仿真模拟（8）时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合M，N，再根据交集定义即可求出.【详解】，，.故选：D.2．已知i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解.【详解】，所以.故选：A点睛：复数、共轭【分析】根据表格算出答案即可.【详解】故选：C点睛：文化题、函数3．已知直线和平面，若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分不必要【答案】B【分析】由线面关系可知，不能确定与平面的关系，若一定可得，即可求出答案.【详解】,不能确定还是，，当时，存在，，由又可得，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.4．如图是函数的导函数的图象，则下列说法一定正确的是（）A．是函数的极小值点B．当或时，函数的值为0C．函数的图像关于点对称D．函数在上是增函数【答案】D【分析】通过导函数的图象，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性以及函数的极值即可得到选项．【详解】由题意可知，，所以函数是减函数，不是函数的极小值点；当或时，函数的值为0不正确；当，时，，所以函数是增函数，故选项C不正确，正确，故选：．【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性以及函数的极值的关系，是基本知识的考查．5．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率的一个等比中项为，则双曲线的渐近线方程为A． B．C． D．【答案】D【分析】根据等比中项的性质列方程，化简后求得，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】由题意得，所以，，所以双曲线渐近线方程为.故选：D．【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.6．2020年国庆中秋双节期间，全国高速公路从2020年10月1日00：00至10月8日24：00期间高速行车免费，探亲流和旅游度假流叠加，高速路网流走高．重要城际走廊、大中城市收费站出入口、热门景点周边等主要节点在车流高峰时段出现波动性缓行或拥堵现象．通过对某一路口在具体时刻的瞬时速度进行观测统计发现，时刻和瞬时速度的关系如下：（单位：时）456789（单位：速度）908483807568由表中数据得到的线性回归方程为：，则由此可预测此路口10时的瞬时速度为（）A．66 B．67 C．68 D．69【答案】A【分析】先求出，的平均数，由回归直线过样本中心，求出参数，得到线性回归方程，再将代入可得答案.【详解】由题意，所以，则，即线性回归方程为：路口10时的瞬时速度为：故选：A7．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能.其计算式子为，其中，为静电常量，、分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知，，，且，则的近似值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将，，代入，结合化简计算可得出的近似值.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．已知点，抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线的准线，为抛物线上一点，过作，点为垂足，过作的垂线，与交于点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意画出图形，结合抛物线的定义，转化说明的最小值就是的距离的最小值.【详解】解：由题意可知，直线为，根据抛物线的定义可得，所以为的垂直平分线，所以,所以，当且仅当三点共线取等号，所以的最小值为故选：D【点睛】此题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想计算能力，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．下列结论中，所有正确的结论有（）A．若，则 B．若，则C．当时， D．若，则【答案】CD【分析】利用特殊值法可判断AB选项的正误，利用基本不等式可判断CD选项的正误.【详解】A．若，如，，则不成立，故A错误；B．，则，，取，则，故B错误；C．因为，则，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，但，所以，，故C正确；D．由重要不等式可得，所以，，则，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：CD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．小王于2016年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2020年底，他没有再购买第二套房子.下图是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中不正确的是（）A．小王一家2020年用于饮食的支出费用跟2017年相同B．小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的3倍C．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍D．小王一家2020年用于房贷的支出费用比2017年减少了【答案】ACD【分析】根据条件可知2017年，2020年用于房贷的支出费用相同，由此可计算出2017年，2020年的家庭收入情况，然后即可分析各选项是否正确.【详解】由于小王选择的是每月还款数额相同的还贷方式，故可知2020年用于房贷方面的支出费用跟2017年相同，D错；设一年房贷支出费用为，则可知2017年小王的家庭收入为，2020年小王的家庭收入为，，小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了50%，C错；2017、2020年用于饮食的支出费用分别为，A错；2017、2020年用于其他方面的支出费用分别是，B对．故选：ACD．11．点C，D是平面内的两个定点，，点A，B在平面的同一侧，且.若AC，BC与平面x所成的角分别为，，则下列关于四面体ABCD的说法中，正确的是（）A．点A在空间中的运动轨迹是一个圆B．面积的最小值为2C．四面体ABCD体积的最大值为D．当四面体ABCD的体积达最大时，其外接球的表面积为【答案】ABD【分析】由题意画出图形，过作平面的垂线，分析可知在以为轴线，以为母线的上底面圆周上，判断正确；写出三角形的面积，求出的最小值，可得面积的最小值判断；当最大，且平面时，四面体体积取最大值，求出最大值判断；求出四面体的体积达最大时其外接球的半径，进一步求得外接球的表面积判断．【详解】解：如图，与平面所成的角为，过作平面的垂线，则与所成角为，则在以为轴线，以为母线的上底面圆周上，故正确；同理，在以为轴线，以为母线的上底面圆周上，则，由图可知，，即，则，故正确；当最大，且平面时，四面体体积取最大值为，故错误；当四面体的体积达最大时，，，，求得，满足，可得，则三角形所在截面圆的圆心为中点，设四面体外接球的球心为，则平面，则，，在中，求得，即四面体外接球的半径为，其表面积为，故正确．故选：．12．设其中表示不超过的最大整数.如，.以下结论正确的是（）A．是偶函数 B．是周期函数C．的最小值是 D．的最大值是点睛：陌生函数性质探究【答案】BC【分析】由解析式判断的关系，利用三角函数的性质可得，根据函数的性质写出的分段函数形式，即可知最值，进而判断各选项的正误.【详解】A：，错误；B：，正确；C、D：，，知：最小值为，最大值为，即C正确，D错误；故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．的展开式中的系数为___________.【答案】【分析】求得的展开式通项，即可求得项，得出系数.【详解】的展开式通项为，当时，，当时，，所以的展开式中的项为，其系数为.故答案为：.14．已知圆与轴的负半轴交于点，若为圆上的一动点，为坐标原点，则的取值范围为__________．【答案】【分析】求得，设，由向量数量积的坐标表示，结合正弦函数的值域，可得所求范围.【详解】由题意可得，设，则，由，取得最大值1，则取得最大值2；由，取得最小值，则取得最小值0；故取值范围是，故答案为：.15．已知函数，且，则__________．【答案】【分析】对的取值分奇数、偶数求得，再利用分组求和法求和即可．【详解】当为奇数时，.当为偶数时，.所以【点睛】本题主要考查了分类思想及分组求和方法，考查计算能力，属于中档题．16．已知函数，，若，，则的最小值为___________.【答案】【分析】先证明据，结合，求出，令，根据函数的单调性求出代数式的最小值即可．【详解】，即，①，，②，又在，上单调递增，故由①②得，故，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，故，故答案为：．【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解；第三步：比较方程的根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较区间端点的函数值与极值的大小．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在中，且，，均为整数.（1）求的大小；（2）设的中点为，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1），不能是钝角，且若，与矛盾，可得；（2）由（1）结合两角和与差的正切公式，以及，均为整数，可得，再利用正弦定理结合平面向量求出，进而得出答案．【详解】（1），不能是钝角，若，，且在内单调递增，又，都大于，与矛盾，即（2），又，即由，均为整数，且，可得则；由正弦定理，可得又的中点为，则，即即解得，故【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换，考查同角三角函数的关系，考查正弦定理以及平面向量的应用，解决本题的关键点是充分利用且，，均为整数，结合两角和与差的正切公式以及同角三角函数的关系，得出所求的比值，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．18．数列是等比数列，前n项和为，，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）时，化简可得，利用等比数列的通项，计算即可求得；（2）由利用错位相减法计算即可求得.【详解】解：（1）由当时，两式相减，得.∵是等比数列，∴又（2），，得两式相减，得.19．如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）证明，，可证得线面垂直；（2）以O为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．【详解】（1）证明：连接.∵，为的中点，∴∵，∴.∵，为的中点，∴∵，∴.∴，.∵平面，∴平面.（2）以O为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，.则，.设平面的法向量，则.令则，即.易证平面，故取平面的法向量.因为二面角的平面角为锐角，所以【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．20．已知过圆：上一点的切线，交坐标轴于、两点，且、恰好分别为椭圆：的上顶点和右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的左顶点，过点作直线、分别交椭圆于、两点，若直线过定点，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）根据题设条件，可得上顶点和右顶点的坐标，进而可得椭圆方程；（2）根据题意设出直线的方程与椭圆联立，得到，转化为证明，利用韦达定理即得证.【详解】（1）直线的方程为，则直线的斜率.所以：，即，，椭圆方程为：；（2）①当不存在时，，，因为，所以.②当存在时，设，，：，联立得：.所以，，又已知左顶点为，，又，所以，所以.综上得证.【点睛】本题考查了直线和椭圆综合问题，考查了学生综合分析，转化、数学运算的能力，属于较难题.21．中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：月份x12345体重超重的人数y640540420300200若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？（2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为，传给B队员的概率为.记，，为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.（i）若，B队员控制球的次数为X，求；（ii）若，，，，，证明：为等比数列，并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与的大小.附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；.附2：参考数据：，.【答案】（1）可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下；（2）（i）（ii）证明见解析；.【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并由此进行预测.（i）利用相互独立事件概率计算公式，计算出分布列，进而计算出.（ii）证明部分：法一：通过证明证得为等比数列；法二：通过证明证得为等比数列.求得数列的通项公式，由此判断出.【详解】（1）由已知可得：，，又因为，，所以，所以，所以，当时，，所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下.（2）（i）由题知X的可能取值为：0，1，2；；；；的分布列为：所以.（ii）（法一）由，，两式相加得：.因