浙江高考数学二轮复习练习专题限时集训16导数应用Word版含答案

专题限时集训(十六)导数的应用(对应学生用书第149页)[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )A．－4B．－2C．4D．2[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处获得极小值，∴a＝2.]2．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，若对于随意实数x，有f(x)－f′(x)＞0，则( )A．ef(2017)B．ef(2017)C．ef(2017)D．ef(2017)

f(2018)f(2018)f(2018)与f(2018)大小不可以确立fxexfx－exfxfx－fxA[令g(x)＝ex，则g′(x)＝e2x＝ex，由于f(x)－f′(x)＞0，所以g′(x)＜0，所以函数g(x)在R上单一递减，所以g(2017)＞g(2018)，即ff，所以ef(2017)＞f(2018)，应选A.]e2017＞e2018x2e3．已知函数f(x)＝x2－kx＋lnx，若x＝2是函数f(x)的独一一个极值点，则实数k的取值范围为()【导学号：68334148】A．(－∞，e]B．[0，e]C．(－∞，e)D．[0，e)x－ex2x－2xex21x－kxxeeA[f′(x)＝x4－k－x2＋x＝x2(x＞0)．设g(x)＝x，x－x则′( )＝2，则()在(0,1)内单一递减，在(1，＋∞)内单一递加．gxxgxexg(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e,联合g(x)＝x与y＝k的图象可知，要知足题意，只要k≤e，选A.]4．(2017·金华十校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1＜x2，则对于x的方程3(f())2＋2af(x)＋＝0的不一样实根个数为()xbA．3B．4C．5D．6A[f′( )＝3x2＋2ax＋，原题等价于方程32＋2ax＋＝0有两个不等实数根x1，2，且x1xbxbx＜x，x∈(－∞，x)时，f′(x)＞0，f(x)单一递加；x∈(x，x)时，f′(x)＜0，f(x)单一2112递减；x∈(x，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单一递加．∴x为极大值点，x为极小值点．∴方212程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等实根，f(x)＝x1或f(x)＝x2.∵f(x1)＝x1，∴由图知f(x)＝x1有两个不一样的解，f(x)＝x2仅有一个解．应选A.]1x(sinx＋cosx)在区间0，π5．函数f(x)＝e上的值域为( )22【导学号：68334149】1x1xxπA[f′(x)＝2e(sinx＋cosx)＋2e(cosx－sinx)＝ecosx，当0＜x＜2时，f′(x)＞0，π∴f(x)是0，2上的增函数．π1π∴f(x)的最大值为f2＝2e2，1f(x)的最小值为f(0)＝2.∴f(x)的值域为.]二、填空题6．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．y＝－2x－1[由于f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝lnx－3x，所以f′(x)1，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝x－3＝－2x－1.]7．已知函数f(x)＝mx－1－2lnx(∈R)，(mx0∈[1，e]，使得f(x0)<(0))＝－，若起码存在一个xmgxxgx建立，则实数m的取值范围是________．－∞，2[由题意，不等式f()<(x)在[1，e]上有解，∴<2lnxmlnx，即<在[1，e]上exgmx2xlnx1－lnx有解，令h(x)＝x，则h′(x)＝x2，当1≤x≤e时，h′(x)≥0，∴在[1，e]上，h(x)max＝(e)＝1m12的取值范围是2e，∴<，∴<，∴－∞，.]h2ememe8．已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，若直线x＋y＋m＝0对随意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线，则a的取值范围为________．132a＜3[f(x)＝x－3ax(a∈R)，则f′(x)＝3x－3a，若直线x＋y＋m＝0对随意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线，则直线的斜率为－1，f′(x)＝3x2－3a与直线x＋y＋m＝0没有交点，又抛物线张口向上则必在直线上边，即最小值大于直线斜率，则当x＝0时取最小值，－3a＞－1，则a的取值范围为a＜1.]3三、解答题9．(2017·诸暨市高中毕业班教课质量检测)已知函数f(x)＝ex－(x－1)(∈R)．xaa(1)若函数f(x)在x＝0处有极值，求a的值及f(x)的单一区间；1(2)若存在实数x0∈0，2，使得f(x0)＜0，务实数a的取值范围．[解](1)f′(x)＝(x＋1)ex－a，由f′(0)＝0?a＝1.3分此时′( )＝(＋1)ex－1.fxx当x＞0时，x＋1＞1，ex＞1?f′(x)＞0；当x＜0时，x＋1＜1,0＜ex＜1?f′(x)＜0，6分∴f(x)在(－∞，0]上单一递减，在[0，＋∞)上单一递加.7分x法一：f(x)＝xe＋a(1－x)，若在x∈0，1上存在x0，有f(x0)＜0，2∵xex＞0，(1－x)＞0，需a＜0，10分又f′(x)＝(x＋1)ex－a，当a＜0时，f′( )＞0恒建立，x∴f(x)在10，2上单一递加，13分∴只要minf，f1＝f(0)＝a＜0，2综上，a＜0.15分x1法二：f(x)＝xe－a(x－1)＜0在x∈0，2上有解，x1即xx－1)，＜xe在∈0，上有解，9分e＜(2axax－1xx1xe设h(x)＝x－1，x∈0，2，则′( )＝exx2－x－2＜0，hxx－∴h(x)在10，2上单一递减.13分h(x)在10，上的值域为(－e，0)，2∴a＜h(0)＝0.15分10．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不一样零点，求c的取值范围；求证：a2－3b>0是f(x)有三个不一样零点的必需而不充分条件．[解]

(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得

f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由于

f(0)

＝c，f′(0)

＝b，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为

y＝bx＋c.

2分当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，所以f′(x)＝3x2＋8x＋4.22令f′(x)＝0，得3x＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－3.f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的状况以下：x(－∞，－2)－2222－2，－3－3－3，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)c32c－273222所以，当c＞0且c－27＜0时，存在x1∈(－4，－2)，x2∈－2，－3，x3∈－3，0，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.3232由f(x)的单一性知，当且仅当c∈0，27时，函数f(x)＝x＋4x＋4x＋c有三个不一样零点.(3)证明：当＝4a2－12b＜0时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b＞0，x∈(－∞，＋∞)，此时函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单一递加，所以f(x)不行能有三个不一样零点．当＝4a2－12b＝0时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b只有一个零点，记作x0.当x∈(－∞，x0)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(－∞，x0)上单一递加；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(x0，＋∞)上单一递加．所以f(x)不行能有三个不一样零点.10分综上所述，若函数f(x)有三个不一样零点，则必有＝4a2－12b＞0.故2－3>0是f(x)有三个不一样零点的必需条件．ab当a＝b＝4，c＝0时，a2－3b＞0，f(x)＝x3＋4x2＋4x＝x(x＋2)2只有两个不一样零点，所以a2－3b>0不是f(x)有三个不一样零点的充分条件．所以a2－3>0是f(x)有三个不一样零点的必需而不充分条件.15分b[B组名校冲刺]一、选择题1．已知函数y＝(x)对随意的xππ知足f′( )cosx＋(x)sin＞0(此中′( )是函∈－，f22xfxfx数f(x)的导函数)，则以下不等式建立的是()ππππA.2f－3＜f－4B.2f3＜f4C．f(0)＞2fπ3D．f(0)＞2fπ4fxA[令g(x)＝cosx，则fxx－fxxg′(x)＝cos2xfxx＋fxxx∈ππf′(x)cosx＋f(x)sinx＝2，由对随意的－，知足cosx22ππ＞0，可得g′(x)＞0，即函数g(x)在－2，2上为增函数，f－πf－π则g－π－π34π＜π，3＜g4，即cos－3cos－4ππ即2f－3＜f－4.应选A.]2．已知函数f(x)＝ax2＋bx－lnx(a＞0，b∈R)，若对随意x＞0，f(x)≥f(1)，则()A．ln＜－2B．ln≤－2ababC．lna＞－2bD．lna≥－2b1A[f′(x)＝2ax＋b－x，由题意可知f′(1)＝0，即2a＋b＝1，由选项可知，只要比较lna＋2b与0的大小，而b＝1－2a，所以只要判断lna＋2－4a的符号．结构一个新函数g(x)＝2－4＋lnx，则g1x1x1)为增函数，当x′( )＝－4，令′( )＝0，得＝，当＜时，(x4411＞4时，g(x)为减函数，所以对随意x＞0有g(x)≤g4＝1－ln4＜0，所以有g(a)＝2－4alna＝2b＋lna＜0?lna＜－2b，应选A.]3．已知函数f( )＝lnx－ax2＋x有两个不一样零点，则实数a的取值范围是( )xA．(0,1)B．(－∞，1)C.－∞，1＋e1＋ee2D.0，2e[令g(x)＝lnx，h(x)＝ax2－x，将问题转变为两个函数图象交点的问题．当a≤0时，g(x)和h(x)的图象只有一个交点，不知足题意；2x＋lnx当a＞0时，由lnx－ax＋x＝0，得a＝x2.令r(x)＝x＋lnxx2，则12x＋xx－－1＋x·x－x2lnx′( )＝41rxxx当0＜x＜1时，r′(x)＞0，r(x)是单一增函数，x＋lnx当x＞1时，r′(x)＜0，r(x)是单一减函数，且x2＞0，∴0＜a＜1.∴a的取值范围是(0,1)．应选A.]4．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )【导学号：68334150】A．(－∞，0)B.0，12C．(0,1)D．(0，＋∞)B[∵f(x)＝x(lnx－ax)，∴f′(x)＝lnx－2ax＋1，由题意可知f′( )在(0，＋∞)上有两个不一样的零点，x令lnx＋1′( )＝0，则2＝，fxaxlnx＋1，则g′(x)＝－lnx令g(x)＝xx2，g(x)在(0,1)上单一递加，在(1，＋∞)上单一递减．又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，1∴只要0＜2a＜1?0＜a＜2.]二、填空题5．(2017·金华十校调研)已知x∈(0,2)x1k的ek＋2x－xx取值范围为________．[0，e－1)[依题意，知k＋2x－x2＞0，即k＞x2－2x对随意x∈(0,2)恒建立，进而k≥0，x1xxexe2e2x－1＋2(xxxxxxxkex1)＝(x－1)x2＋2.令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1,2)上单一递加，当x∈(0,1)时，f′( )＜0，函数f()在(0,1)上单一递减，所以k＜(x)min＝(1)＝e－1，故实数xxffk的取值范围是[0，e－1)．]6．已知函数g(x)知足g(x)＝g′(1)ex－1－g(0)x＋21x2，且存在实数x0使得不等式2m－1≥g(x0)建立，则的取值范围为________．m[1，＋∞)[g′(x)＝g′(1)ex－1－g(0)＋x，当x＝1时，0－1x12xg(0)＝1，由g(0)＝g′(1)e，解得g′(1)＝e，所以g(x)＝e－x＋2x，则g′(x)＝e－1＋，当＜0时，′( )＜0，当x＞0时，′( )＞0，所以当x＝0时，函数()获得最小xxgxgxgx值g(0)＝1，依据题意将不等式转变为2m－1≥g(x)min＝1，所以m≥1.]三、解答题7．已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f(1)＝0，′( )＝lnx＋1－3，f′(1)＝－2.fxx故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.4分(2)当∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于lnx－ax－＞0.xx＋1设g(x)＝lnax－，x－x＋112ax2＋－ax＋1则g′(x)＝x－x＋2＝xx＋2，g(1)＝0.8分①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)单一递加，所以g(x)＞0；②当

a＞2时，令

g′(x)＝0得x1＝a－1－

a－

2－1，x2＝a－1＋

a－

2－1.由x2＞1和

x1x2＝1得

x1＜1，故当

x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)单一递减，所以g(x)＜0.综上，

a的取值范围是

(－∞，

2].

15分8．设函数

2f(x)＝ax－a－ln

1ex，g(x)＝x－ex