2022-2023学年上海市名校高二（上）期末数学试卷及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年上海市名校高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.双曲线x25−yA.(±1,0) B.(±3,0) C.(0,±1) D.(0,±3)2.设直线l的方向向量为d，平面α的法向量为n，则d⊥n是l/​/α的(

)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件3.已知点(1,1)在圆x2+y2+ax+a=0外，则实数A.(−1,+∞) B.(−1,0)

C.(−1,0)∪(4,+∞) D.(−∞,0)∪(4,+∞)4.已知直线x=a与双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线分别交于M，N两点，P为该双曲线上的任意一点P，设O为原点，OP=mA.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知A(1,−2,3)，B两点关于原点对称，则点B的坐标为______．6.两条平行直线4x−3y+5=0和4x−3y−5=0的距离为______．7.已知直线ax+2y−1=0和直线(a+1)x+4y−3=0平行，则实数a的值为______．8.直线5x−y+2=0和直线3x+2y−7=0的夹角的大小为______．9.已知(−2,0)是某双曲线的一个顶点，且该双曲线的离心率为32，则该双曲线的标准方程为______．10.已知A(−1,0)，B(1,0)两点，则满足|PA|−|PB|=2的动点P的轨迹方程为______．11.已知A(−5,2)，B两点关于直线x+y−10=0对称，则点B的坐标为______．12.已知d=(3,4,−12)是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个单位法向量，且l⊥α，则向量n的坐标为______．13.经过点5,15，可作圆x2+y2=r214.已知AB=(a,2b,a−1)，AC=(2a,b+2,−4)，且AB⊥AC，则|BC15.过点A(4,10)分别作斜率为2和3的两条直线，前者交椭圆x25+y29=1于B，C两点，后者交y轴于D16.已知P为直线x+2y−1=0上的一个动点，Q为曲线4x4−2x2y−x三、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)

已知直线l1：ax+y−a=0和直线l2：x−ay+6a−3=0．

(1)求证：对任意实数a，直线l1和l2各经过一个定点(依次设为A和B)，并求A，B的坐标；

(2)设直线l1和l218.(本小题10.0分)

如图，四面体ABCD的各棱长均为2，E，F分别为棱DA，BC的中点，又设DA=a，DB=b，DC=c．

(1)用向量a，b，c的线性组合表示向量BE，DF；

(2)求向量19.(本小题12.0分)

已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为棱AA1，DD1上的点，且EA1=DF=1；如图所示，建立空间直角坐标系O−xyz；利用所学空间向量知识，求：20.(本小题10.0分)

如图，双曲线k2x2−y2=1(k>0)的两条渐近线与圆(x+2)2+y2=5在x轴的上方部分交于A，B两点；

(1)已知A，B两点的横坐标x1和x2恰为关于x的方程(21.(本小题12.0分)

如图1，在平面直角坐标系xOy中，P(0,a)是y轴正半轴上的一点；过P作斜率为−1的直线，交二次函数y=14x2图像于Q，P两点；

如图2，把平面xOy沿y轴折起来，成为一个直二面角Q−OP−R；

如图3，建立空间直角坐标系O−xyz；

(1)如图3，上述二次函数在折叠后有一部分图像位于平面xOy上，设S是该曲线上的一点；如果a=3，试求|SQ|的最小值，并求此时S在空间直角坐标系O−xyz中的坐标；

(2)如图3，如果|QP||PR|=π∠QPR(∠QPR的大小用弧度表示答案和解析1.【答案】B

【解析】解：双曲线x25−y24=1，焦点在x轴上，c=5+4=3，

所以双曲线的焦点坐标为(±3,0)．2.【答案】B

【解析】解：由l/​/α，得d⊥n，则“l/​/α”是“d⊥n”的充分条件，

而d⊥n不一定有l/​/α，也可能l⊂α，则“l/​/α”不是“d⊥n”的必要条件．

故“l/​/α”是“d⊥n”的充分不必要条件，“d⊥n3.【答案】C

【解析】解：∵点(1,1)在圆x2+y2+ax+a=0外，

∴a2−4a>0，且12+12+a+a>0，

解得−1<a<0或a>4．

∴实数a的取值范围为4.【答案】D

【解析】解：由题意可知双曲线x2a2−y2b2=1，渐近线方程y=±bax，设M点在上方，

则M(a,b)，N(a,−b)，设P点坐标为(x,y)，代入OP=mOM+nON，

得x=ma+na=(m+n)a，y=mb−nb=(m−n)b，将P点坐标代入双曲线方程得：

(m+n)2−(m−n)5.【答案】(−1,2,−3)

【解析】解：A(1,−2,3)，B两点关于原点对称，

则点B的坐标为(−1,2,−3)．

故答案为：(−1,2,−3)．

根据已知条件，结合空间点对称的性质，即可求解．

本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题．

6.【答案】2

【解析】解：两条平行直线4x−3y+5=0和4x−3y−5=0的距离为|5+5|42+(−3)2=2．

故答案为：27.【答案】1

【解析】解：∵直线ax+2y−1=0与直线(a+1)x+4y−3=0平行，

∴aa+1=24≠−1−3，

解得a=1．

故答案为：18.【答案】π4【解析】解：设直线5x−y+2=0和直线3x+2y−7=0的夹角的大小为θ，

∵直线5x−y+2=0的斜率为5，直线3x+2y−7=0的斜率为−32，

∴tanθ=|5+321+5×(−32)|=1，可得θ=9.【答案】x2【解析】解：双曲线以两坐标轴为对称轴，且它的一个顶点为A(−2,0)，可得a=2，

双曲线的离心率为32，则有c2=32，∴c=3，b=5，所以双曲线的标准方程为x24−y25=1．10.【答案】y=0(x≥1)

【解析】解：根据题意，两定点A(−1,0)，B(1,0)，则|AB|=2，

若动点P(x,y)满足|PA|−|PB|=2=|AB|，

则点P的轨迹是一条射线：y=0(x≥1)．

故答案为：y=0(x≥1)．

根据题意，由A、B的坐标计算可得|AB|=2，结合题意推出|PA|−|PB|=2=|AB|，分析可得答案．

本题考查曲线轨迹的求法，涉及双曲线的定义，涉及比较两定点间的距离与2的大小，属中档题．

11.【答案】(8,15)

【解析】解：∵A(−5,2)，B两点关于直线x+y−10=0对称，设点B的坐标为(a,b)，

∴b−2a+5⋅(−1)=−1，且a−52+b+22−10=0，

求得a=8，b=15，故点B的坐标为(8,15)，

故答案为：12.【答案】(3【解析】解：∵l⊥α，n是平面α的一个单位法向量，d=(3,4,−12)为l的一个方向向量，

∴d//n，

∴n=19+16+144(3,4,−12)=(313,413,−1213.【答案】4x−3y+25=0

【解析】【分析】本题主要考查点圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系判断，考查点到直线距离公式应用，属于中档题，解答时由题意可知圆x2+y2=r2的圆心为(0,0)，半径为5，设出另一条切线的方程，再根据圆心到直线距离等于半径即可得解．

【解答】

解：由题意，圆x2+y2=r2的圆心为(0,0)，

一条切线的方程为x=5，(0,0)到x=5的距离为5，

则该圆的半径为5，即r=5，

x=5是过(5,15)的一条切线，则过这点的另一条切线的斜率必存在，

设另一条切线的方程为y−15=k(x−5)，即kx−y−5k+15=0，

所以|−5k+15|14.【答案】26

【解析】解：AB=(a,2b,a−1)，AC=(2a,b+2,−4)，且AB⊥AC，

则2a2+2b(b+2)+(a−1)×(−4)=0，即(a−1)2+(b+1)2=0，解得a=1，b=−1，

∵AB=(1,−2,0)，AC=(2,1,−4)，

∴BC15.【答案】12

【解析】解：由椭圆方程可得：椭圆的焦点坐标为(0,2)，(0,−2)，长轴长为6，

由过点A(4,10)分别作斜率为2和3的两条直线，

则两直线方程分别为y=2x+2和y=3x−2，

则直线y=2x+2过椭圆的上焦点E(0,2)，

直线y=3x−2过椭圆的下焦点(0,−2)，

则△BCD的周长为|BD|+|BC|+|CD|=(|BD|+|BE|)+(|CD|+|CE|)=12，

故答案为：12．

由题意可求出两直线方程分别为y=2x+2和y=3x−2，则直线y=2x+2过椭圆的上焦点E(0,2)，直线y=3x−2过椭圆的下焦点(0,−2)，则△BCD的周长为|BD|+|BC|+|CD|=(|BD|+|BE|)+(|CD|+|CE|)，然后求解即可．

本题考查了直线的方程，重点考查了椭圆的性质，属基础题．

16.【答案】5

【解析】解：直线x+2y−1=0可化为：y=−12x+12，对于曲线4x4−2x2y−x3+2x2+1=0，

当x=0时，代入得1=0不成立，所以x≠0，

所以4x4−2x2y−x3+2x2+1=0可化为y=2x2−12x+12x2+1，

导数为

y′=4x−12−1x3，所以线段PQ的最小值即为与y=−12x+117.【答案】(1)证明：由直线l1：ax+y−a=0，得y=−a(x−1)，可得直线l1过定点A(1,0)，

由直线l2：x−ay+6a−3=0，得(x−3)−a(y−6)=0，可得直线过定点B(3,6)，

A，B的坐标分别为(1,0)，B(3,6)；

(2)证明：由直线l1：y=−a(x−1)①，直线l2：(x−3)=a(y−6)②，

由①②消去a，可得−(x−1)(x−3)=y(y−6)，

∴−x2+4x−3=y2−6y【解析】(1)由直线方程易得两直线经过的定点坐标，从而可证结论；

(2)由P点满足两直线方程，消去a可得P的轨迹方程，可证结论，可得其标准方程．

本题考查求定点坐标，以及轨迹方程的求法，属中档题．

18.【答案】解：(1)∵E为DA的中点，

∴BE=12(BA+BD)=12(DA−DB−DB)=12DA−DB=【解析】(1)根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义即可得出BE=12a−b,DF=12b+12c；

(2)19.【答案】解：(1)正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为棱AA1，DD1上的点，且EA1=DF=1，

如图所示，建立空间直角坐标系O−xyz，

A(3,3,3)，E(3,3,1)，F(3,0,2)，C1(0,0,0)，

C1E=(3,3,1)，C1F=(3,0,2)，C1A=(3,3,3)，

设平面EFC1的法向量n=(x,y,z)，

则n⋅C1E=3x+3y+z=0n⋅C1F=3x+2z=0，取x=2，则n【解析】(1)建立空间直角坐标系O−xyz，利用向量法能求出点A到平面EFC1的距离；

(2)求出平面EFC1的法向量和平面A1B1C20.【答案】解：(1)由题意可知双曲线的两条渐近线方程为：y=±kx，由y=±kx(x+2)2+y2=5，

消y可得k2x2+(x+2)2=5，即为(k2+1)x2+4x−1=0，

又A、B两点的横坐标x1和x2恰为关于x的方程(k2+1)x2+bx+c=0的两个根，

∴b=4，c=−1；

(2)由A(x1,−kx1)，B(x2,kx2【解析】(1)由条件可得双曲线的两条渐近线方程为：y=±kx，将渐近线方程与圆的方程联立，对照方程(k2+1)x2+bx+c=0可得答案．

(2)由条件|AB|=(x21.【答案】解：(1)设图1中直线QR的方程为y=−x+a，

当a=3时，直线QR的方程为y=−x+3，

联立y=−x+3y=14x2，消去y得，x2+4x−12=0，解得x=−6y=9或x=2y=1，

所以在图3中，点Q的坐标为(0,9,6)，

因为S是二次函数在折叠后位于平面xOy图像上的一点，所以可设S的坐标为(x,14x2,