人教版高中数学必修二考点练习：几何体的表面积和体积

几何体的表面积和体积一、表面积.现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积..已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（）1+2n 1+4n 1+2n 1+4nA.~B.-1 C. D.~2n 4nn2n.若圆台的高是12,母线长为13,两底面半径之比为8：3,则该圆台的表面积为.圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,求圆台的表面积..如图，正方形ABCD的边长为1,CE所对的圆心角/CDE=90°,将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为 ..如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为）A.20nB.24nC.28nD.32n.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是二、体积.已知某圆台的上、下底面面积分别是n,4n,侧面积是6n,则这个圆台的体积是.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16%：3n,则圆锥的体积是（）128n 64nA,^—B,-C.64nD.128\；2n.如图所示，已知三棱柱ABC—A1B1cl的所有棱长均为1,且AAJ底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为（ ）A-UB.乎C岩D.苧.如图，已知ABCD-A1B1clD1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1-D1EF的体积.

.如图，已知ABCD—A1B1clD1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1的中点，求三棱锥A1—EBFD1的体积.口. C..正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为［3,D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为（）3A.3 B.21 D?2-.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点，则三棱锥A—DED1的体积为.n.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为36,点E,F分别为棱B1B,C1C上的点（异于端点），且EF〃BC,则四棱锥A1-AEFD的体积为.

.如图，在三棱柱A1B1C1—ABC中，已知D,E,F分别为AB,AC,AA1的中点，设三棱锥A—FED的体积为匕，三棱柱A1B1C1—ABC的体积为V2,则匕：丫2的值为.DB.一个水平放置的圆柱形储油桶（如图所示），桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的4,则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是 ..如图，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面A1B1EF,这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为.儿 cB.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求，禾盖，，的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该

术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V=1LL2h.它实际上是36将圆锥体积公式中的圆周率n近似取为3.那么，近似公式V另L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率n近似取为（）TOC\o"1-5"\h\z人157 「25A.而 B.T八23 「22C.亍 D.y.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF〃AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.B舁均为正三角形，EF〃B舁均为正三角形，EF〃AB,EF=2,则该多面体的体积为（）15.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且^ADE,△BCFAWC.|D.2C.|乙C.C.20n.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上，A1E=D1F=4.过点E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值..如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E,F依次是AB,AC的中点，AD±BC,EH±BC,FG±BC,D,H,G为垂足，若将A1BC绕AD旋转180°,求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.三、其他量的计算.若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是 ..如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.参考答案几何体的表面积和体积一、表面积.解如图，设底面对角线AC=a,BD=b，交点为O,对角线A1C=15,B1D=9,，a2+52=152,b2+52=92,Aa2=200,b2=56.CaCX,/BD\a2+b2200+56•该直四楼柱的底面是菱形，♦・AB2=(2)+(2y2=4= 4 =64,，AB=8.，直四棱柱的侧面积S=4x8x5=160..答案A解析设圆柱底面半径、母线长分别为r解析设圆柱底面半径、母线长分别为r,1，由题意知L,S侧=12=轨2r.S.2nr2S.2nr2(2n+1)1+2n^表= , =~二S 4n2r2 2n侧S表=8侧+2nr2=4欣r+2nr2=2nr2(2n+1)3.答案216n解析设圆台上底与下底的半径分别为r,R,由勾股定理可得R—L”32—122=5.解析•・•r：R=3:8,，r=3,R=8.S侧=n(R+r)l=n(3+8)x13=143n,则表面积为143n+九义32+九义82=216兀同理可得SB=40cm.所以AB=SB—SA=20cm.所以S表=S侧+S上+S下=九义(10+20)乂20+九义102+九义202=1100n(cm2)..答案5n解析由题意知，形成的几何体是组合体：上面是半球、下面是圆柱，•・•正方形ABCD的边长为1,ZCDE=90°,，球的半径是1,圆柱的底面半径是1,母线长是1,，形成的几何体的表面积S=九义12+2九义1*1+2义4加义12=5兀.答案C解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4n，圆锥的母线长l=\；'（2\：3）2+22=4,所以圆锥的侧面积为S铢,=1x4nx4=8n,圆柱的侧面积S =4nx4=16n,锥侧2 柱侧所以组合体的表面积S=8n+16n+4n=28n,故选C..答案8解析如图①是棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为24±其面积为8.图① 图②二、体积1.解析设圆台的上、下底面半径分别为厂和凡母线长为l，高为h,贝US上=nr2=n,S下=nR2=4n./.r=1,R=2,S侧=n(厂+R)l=6n. Al=2,Ah=聒,1 7x'3n..V=3n(12+22+1x2)x\3=3..答案B解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l,由题意知2r=\；l2+12,即l=\：2r,AS=nrl=\,；2nr2=16\；2n,解得r=4.侧Al=4%&圆锥的高h=---ll2—r=4,TOC\o"1-5"\h\z、，， . 1 1 64nA圆锥的体积为V=1Sh=3042x4=61n.答案A解析V =V -V -V =g-*—2=艰.三棱锥B—ABC1 三棱柱ABC—A14cl 三棱锥A—A14cl 三棱锥Q—ABC 4 12 12 12.解由V -V ，:S =3EA-AD=7a2,三棱锥A1一D1EF 三棱锥F—A1D1E AA1DjE2 1114又三棱锥F—ADE的高为CD=a,AV "xax1a2=aa3,11 三棱锥F—A1D1E3 4 12AV =1aa3.三棱锥4—D1EF 12

.解因为EB=BF=FD1=D1E=、J42+1)2=当a,D1F//EB，所以四边形EBFD1是菱形.连接EF,则△EFB/△FED1.因为三棱锥A1—EFB与三棱锥A1—FED1的高相等，所以V =2V =2V .四棱锥A1—EBFD1 三棱锥A1—EFB 三棱锥F—EBA1又因为S =1EA.-AB=1a2,所以V =1aa3，△EBA121 4 三棱锥F—EBA112所以V =2V =1a3.四棱锥A1—EBFD1 三棱锥F—EBA16.解析：选C由题意可知AD±BC,由面面垂直的性质定理可得AD，平面DB1C1,又AD=2sin60°=\；3,所以VA-B1DC1=|AD•S△B1DC1=1x\''3x|x2x\'3=1..答案6解析V =V解析三棱锥A—DED1 三棱锥E—DD1A8.解析：设正四棱柱的底面边长为a,高为h,则a2h=36.又四棱锥A1-AEFD可分割为两个三棱锥A1-AED,A1-DEF且这两个三棱锥体积相等,则UVA1-AEFD=2VA1-AED=2VE-ADA1=2x|S^ADA1xa=2x1x2axhxa=3a2h=1x36=12.答案：129.答案9.答案124h解析设三棱柱的高为h，•/F是AA1的中点，，三棱锥F—ADE的高为^,:D,E分别是AB,AC的中点，，S△ADE=4S△ABC，h V 6S△ade'h 1••V=-S .V=S .h，二—= -=—,V13S△ade2，V2S△ABCh V2 S△ABC-h24..答案1c解析设圆柱桶的底面半径为尺，高为h，油桶直立时油面的高度为％,由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为90°，

则(；nR2—1R2)h=nR2x，所以h=4~2n..答案3：4(或4：3)解析设三棱台的上底面面积为S0,则下底面面积为4S0,高为h，则一 1 . . 7一L台施-A4「3(So+4So+2S0)h=3S0h，L柱fec—A1B£=S°h7 4设剩余的几何体的体积为丫，则丫=3S0h—S0h=3S0h,所以体积之比为3：4或4：3..答案D解析设圆锥的底面半径为厂，Li1 L2h则圆锥的底面周长L=2nr,..r=加，・•丫=3加底h=丘添人L2h 7 22令12n=264L2h，得n=丁，故选D..解如图，连接EB，EC,AC.V =1x42x3=16.四棱锥E—ABCD3^AB=2EF，EF〃AB，,SAeab=2S△bef.1 =V1 =V =TV三棱锥F—EBC 三棱锥C—EFB2三棱锥C—ABE=2V三棱锥E—ABC~=2x2V=4.四棱锥E—ABCD・•・多面体的体积V=V四棱锥e―ABCD+V三棱锥F—EBC=16+4=20.14.解析：选A如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，氏连接DG，CH，1 、.巧 2容易求得EG=HF=2，AG=GD=BH=HC=甘，则△BHC中BC边的高h=^._1=3,S=S =」J^v1二工2一,V=V -4-V -4-V =2V _1=3•・q△AGD△bBHC2X2 4， VE-ADG^VF-BHC^VAGD-BHC2VE-ADG^VAGD-BHC<23X4十X21-2X应4X解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为16.解：（1）交线围成的正方形EHGF如图所示.（2）如图，作EM±AB，垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8,因为四边形EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH=\：EH2—EM2=6,AH=10,HB=6.故S四边形A1EHA=2x(4+10)x8=56,S四边形EB1BH=|x(12+6)x8=72.因为长方体被平面a分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为76也正确）.17.解所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的，二S锥表=nR2+nRl1=4n+8n=12n,S柱侧=2n'l2=2n-DG-FG=21\/3n,•・所求几何体的表面积S=S锥表+S柱侧=12n+2、.,=2(6+也)兀由V =nn-BD2XAD=nnx22x2\,r3=驾二,圆锥3 3