方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式

方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式第1页，共43页，2023年，2月20日，星期五§10.4方向导数与梯度及泰勒公式

10.4.1方向导数与梯度内容小结与作业10.4.2方向导数与梯度的性质及应用10.4.3黑塞矩阵与泰勒公式第2页，共43页，2023年，2月20日，星期五10.4.1方向导数与梯度1.方向导数的概念偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率.对于二元函数有在几何上，它们分别表示平面曲线及在点处的切线的斜率.第3页，共43页，2023年，2月20日，星期五(x0,y0)处沿某指定方向的变化率.下面我们来考虑二元函数在点定义若函数在点处沿方向u(方向角为存在下列极限:记作则称为函数在点

P处沿方向u的方向导数.第4页，共43页，2023年，2月20日，星期五方向导数的几何意义表示曲线C在点处的切线的斜率.

特别:•当u

与x轴同向•当u

与x轴反向第5页，共43页，2023年，2月20日，星期五那么函数在该点沿任意方向向量u的方向导数都存在，设函数在点处可微，定理10.4.1且有其中为向量u

的方向余弦.因函数在点处可微，则证明2.方向导数的计算第6页，共43页，2023年，2月20日，星期五这就证明了方向导数存在，且一般地，当函数可微时，有且所以当自变量从点沿u方向移动时，第7页，共43页，2023年，2月20日，星期五三元函数在点沿方向u

(方向角为)的方向导数定义为定理10.4.1的逆命题不成立.

f(x,y)在原点沿任意方向的方向导数存在,但不可微.第8页，共43页，2023年，2月20日，星期五方向导数的性质第9页，共43页，2023年，2月20日，星期五例1.求函数在点沿方向的方向导数.解：又的方向余弦为故第10页，共43页，2023年，2月20日，星期五例2.

设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数故第11页，共43页，2023年，2月20日，星期五3.梯度向量的定义因为新向量G第12页，共43页，2023年，2月20日，星期五同样可定义二元函数在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.称为函数f(P)在点P

处的梯度(gradient),向量记作gradf或f,即nabla第13页，共43页，2023年，2月20日，星期五例3.求函数在点处的梯度以及函数在该点处沿方向的方向导数.解：故又故第14页，共43页，2023年，2月20日，星期五如果采用向量的记号，我们容易给出一般n元函数的方向导数与梯度的定义.设f(x)是n元函数(通常我们只考虑二元函数和三元u是n元向量,u0是u对应的单位向量,函数的情况)，则f(x)在点x处沿u的方向导数和梯度分别定义为第15页，共43页，2023年，2月20日，星期五10.4.2方向导数与梯度的性质及应用1.函数的最速上升方向与最速下降方向定义10.4.1设f(x)是上的连续函数，d

是n

维非零向量，如果存在，使得对于一切，恒有则称d为函数f在x0处的上升方向;恒有如果对于则称d为函数f在x0处的下降方向.第16页，共43页，2023年，2月20日，星期五定理10.4.2设f(x)在点x0

处可微,u是一个n维非零向量，如果个上升方向；的一个下降方向．则u是f(x)在点x0

处的一如果则u是f(x)在点x0

处定理说明:方向导数的符号决定函数的升降.

第17页，共43页，2023年，2月20日，星期五结论1梯度方向是函数值上升最快的方向(最速上升方向),负梯度方向是而函数值下降最快的方向(最速下降方向)沿梯度方向,方向导数达到最大值问题：

函数值沿什么方向上升最快?沿什么方向下降最快？第18页，共43页，2023年，2月20日，星期五若函数在点处取最大值，则函数沿任何方向都不可能上升，于是由定理10.4.2知特别地另一方面因此即函数在最大值点处的梯度为零向量；同理可得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量.结论2函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．第19页，共43页，2023年，2月20日，星期五设在处取最大（小）值，则即类似地，若三元函数在处取最大（小）值，则第20页，共43页，2023年，2月20日，星期五例4.设一座山的高度由函数给出,如果登山者在山坡的点处，此时登山者往何方向攀登时坡度最陡？解：坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向，即求使高度函数在点处的方向导数最大的方向.因为梯度与的夹角,所以最大即沿梯度方向函数上升最快.又因所以在点处沿向量方向攀登时坡度最陡.第21页，共43页，2023年，2月20日，星期五例5求函数在点(2,1)处函数值下降最快的方向．定理10.4.3设f(x)是上的连续函数，d

是n

维非零向量，如果则d是f(x)在点x0

处的一个上升方向；如果则d是f(x)在点x0

处的一个下降方向.d与f(x0)成锐角d与f(x0)成钝角解：所以函数在点处的最速下降方向为第22页，共43页，2023年，2月20日，星期五2.梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量

设f(x)是n元可微函数,等值面第23页，共43页，2023年，2月20日，星期五对于n=2的情形:是函数f(x,y)过点(x0,y0)的等值线在该点处,它与等值线的切线垂直.在点(x0,y0)处的一个法线方向向量.等值线n=2结论:与等值面在点x0

处的切平面垂直，所以是等值面S在点x0

处的一个法线方向向量.第24页，共43页，2023年，2月20日，星期五对于n=3的情形:是函数f(x,y,z)的等值面在点(x0,y0,z0)处的一个法线方向向量.在该点处,它与等值线的切平面垂直.等值面第25页，共43页，2023年，2月20日，星期五10.4.3黑赛矩阵与泰勒公式1.黑赛矩阵

设n元函数f(x)在点x处对于自变量的各分量的二阶连续，偏导数二阶导数或黑塞矩阵第26页，共43页，2023年，2月20日，星期五例6.

解：计算函数的梯度与黑塞矩阵,并求以及因，则又则所以第27页，共43页，2023年，2月20日，星期五例7.

解：设皆为n维行向量，b为常数，求n维线性函数在任意点x处的梯度和黑塞矩阵.设，于是因所以第28页，共43页，2023年，2月20日，星期五当时，二维线性函数写成向量形式是于是第29页，共43页，2023年，2月20日，星期五例8.

解：设Q

为n阶对称矩阵，皆为n维行向量，c为常数，求n维二次函数在任意点处的梯度和黑塞矩阵.设则于是第30页，共43页，2023年，2月20日，星期五又因所以第31页，共43页，2023年，2月20日，星期五写出二维二次函数的梯度和黑塞矩阵.第32页，共43页，2023年，2月20日，星期五2.泰勒公式若函数在点的某一邻域内具有一阶连续偏导数,且是这邻域内的一点,则有近似公式：如果要使这个函数有更高的精度,先须讨论二元函数的泰勒公式.一元函数的泰勒公式:第33页，共43页，2023年，2月20日，星期五记号(设下面涉及的偏导数连续):

一般地,

表示表示第34页，共43页，2023年，2月20日，星期五定理10.4.4的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任

一点,

则有其中①②①称为f

在点(x0,y0)的n

阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项

.第35页，共43页，2023年，2月20日，星期五证:

令则

利用多元复合函数求导法则可得:

第36页，共43页，2023年，2月20日，星期五一般地,

由

的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.

第37页，共43页，2023年，2月20日，星期五说明:(1)余项估计式.因f

的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,则有第38页，共43页，2023年，2月20日，星期五(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D

上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上第39页，共43页，2023年，2月20日，星期五例9.

求函数解:

的三阶泰勒公式.因