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#=27+9t+1(t+1)=12+101+27例：给出x3在x=0(1)4的值，计算0.53。当x=0.5时，t=(0.5一0)/1=0.5，根据Newton向前插值公式，分别求得小%户于0+六t=0+卜0.5:0.5

P(x)=f+Af0t+A2ft(t-1)=0.5+2 0 2!2x0.5x(0.5-1)=-0.25A3fP(X)=P(X)+/t(t-1)(t-2)=-0.25+3 2 33T6x0.5x(0.5-1)(0.5-2)=0.1253!A4fP(x)=P(x)+L0t(t-1)(t-2)(t-3)=0.125+0=0.1254 3FT 注意：上例中由于f(x)的四阶导数为零，则有P(X)=P(X),即R(x)=0，所以P(X)=0.125是43 3 3精确结果。例：利用差分证明，13+23+...+n3=[n(n+1)]22解：令g(解：令g(n)=n(n+1)2Ag(n)=g(n+1)-g(n)

(n(n+1)(n+2) 2 n(n+1)―2—(n+1)(n+2) n(n+1))((n+1)(n+2) n(n+1)、TOC\o"1-5"\h\z+ 一 2 -2—人 2 -2-)(n+1〉2 八)2n2+4n+2(n+1〉2 八)工工左边工工Ag(i-1)=Ag(0)+...Ag("1)i=1 i=1=g(1)-g(0)+g(2)-g(1)+...+<?Og(n-1)=g(n)-g(0)n(n(n+1)2—2—ng(0)=0n(n+1)「故13+23+...+n3=[ ]2o-2-课堂练习：1.已知函数表：TOC\o"1-5"\h\zx 0 1 4 3 6f(x) 0 -7 8 5 14求求0,1,4,3,6］及4次Newton插值多项式。2．已知x0 1 2 3f(x)1 3 9 27写出牛顿向前插值公式和向后插值公式。解：先构造差商表。

4次Newton插值多项式:x(x-1)(x-4)2390x(x-1)(x-4)(x-3)=1+x(x-1)(x-4)2390x(x-1)(x-4)(x-3)=1+2t+2t(t-1)+431(t-1)(t-2)牛顿向后插值公式：18 12 8P(x)=P(x+th)=27+ t+ t(t+1)+t(t+1)(t+2)

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