林初中2022届中考数学压轴题专项汇编专题21等腰三角形的存在性

林初中2022届中考数学压轴题专项汇编专题21等腰三

角形的存在性代几综合篇破解策略以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示：口等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A,B为圆心、AB长为半径的圆上（不与线段AB共线）.口AABB图1D图2C解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算．如图2,若AB=AC,过点A作ADLBC,垂足为D,则BD=CD,NBAD=NCAD,从而利用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题.口（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．有时候将几何法和代数法相结合,可以使得解题又快又好．例题讲解例1如图，正方形ABCD的边长是16,点E在AB边上，AE=3,F是BC边上不与B,C重合的一个动点，把AEBF沿EF折叠，点B落在B,处.若△CDB/恰为等腰三角形，则DB,=.AEDB，□BFC解16或45①如图1,当CB/=CD时，点F与点C重合，不符合题意，舍去；②如图2,当DB/=CD时，DB/=16；口③如图3,当DB/=B’C时，过点B作GH〃AD,交AB于点G,交CD于点H.显然G,H分别为AB,CD的中点.口由题意可得B,E=13,DH=BG=8,所以EG=5,从而B/G=B’E2—EG2=12,B/H=4,所以DB,=BH2—DH2=45.AEaB’□DB图1C(F)②如图2所示：当DB,=CD时，则DB,=16(易知点F在BC上且不与点C、B重合).口③如图3所示：当B/D=B'C时，过B,点作GH〃AD,则NB/GE=90°.□图3当B'C=B'D时，AG=DH=d12DC=8.□由AE=3,AB=16,得BE=13.口由翻折的性质，得B'E=BE=13.「.EG=AG—AE=8—3=5,「.B'G=B'E2EG212,「.B,H=GH—B,G=16—12=4,「.DB'=B'H2DH245例2如图，在4ABC中，NACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为口1cm/.连接PQ,设运动时间为t()(0<t<4),解：如图，过点P作PHLAC于H,・・・NC=90°,,・・AC，BC,・・・PH〃BC,・・・4APHs^ABC,「•□phbc=dAPAB,口*/AC=4cm,BC=3cm,・・AB=5cm,・••口PH3=q5tt35・・・PH=3-t,AH=d4(5t)5・・・QH=4931829t18t25t,PQ=(4t)2(3t)25555在AAPQ中，口①当AQ=AP,即t=5-t时，解得：t1=D5；2②当PQ=AQ,即18225t18t25=t时，解得：t2=,t3=5；口18240t18t25=5-t时，解得：t4=0,t5=；口(2)在y轴上是否存在点P,直线PD与矩形对角线AC交于点M,使得4DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设直线AC的解析式y=k某+b,又・・・OA=1,OC=2,口.・・A(0,1),C(2,0)代入函数解析式求得：k=直线AC的函数解析式：y=a(2)若DC为底边，口1,b=121某125213・M的横坐标为4=,口82133则点M的坐标为(，)口81615,直线DM解析式为：y=某口285・P(0,)；8若DM为底，则CD=CM=・・.AM=AN=5.・・N(53,43,43,1),45(5+2),4可求得直线DM的解析式为y=(5+2)某一・・・P(0,一口5(5+2))434若CM为底，则CD=DM=・,•点M的坐标为(口43,)5545某+,33・直线DM的解析式为y=—・,•点P的坐标为(0,口5)3555)，(0，－(5+2))，(0，)843综上所述，符合条件的点P的坐标为(0,例4已知抛物线y=—某2+m某一n的对称轴为某=—2,且与某轴只有一个交点.(1)求m,n的值；口(2)把抛物线沿某轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C,求新抛物线C的解析式；口(3)已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为(0,1),问：在抛物线C上是否存在点D,使^BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1);抛物线的对称轴为某=一2,「・m=-4.口;抛物线与某轴只有一个交点，.・・m2—4n=0.从而n=4.口yBHOPD某口(2)原抛物线的表达式为丫=一某2—4某一4=一(某+2)2.所以抛物线C的表达式为丫=某2—1.口(3)假设点D存在，设点D的坐标为(d,d2—1).如图，作DH^y轴于点H,则DH2=d2,BH2=(d2—2)2.若ABPD是等边三角形，则有解得d=3或d=23.3231,),33DH222=3,即d=3(d—2),BH所以满足条件的点D存在，分别为D1(3,2),D2(-3,2),D3(D4(-231,).33例5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=i12某一3某一8与某轴交于A,B两点，与2y轴交于点C,直线l经过原点0,与抛物线的一个交点为口，与抛物线的对称轴交于点E(3,-4),连结CE,若P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，4OPQ是等腰三角形.口yOAECDlB某口11解由抛物线丫=某2—3某一8=(某一8)(某+2)，口22可得点A,B,C的坐标分别为(一2,0),(8,0)(0,一8).所以CE=(3—0)2(—48)2=5=OE,口(2)原抛物线的表达式为丫=一某2—4某一4=一(某+2)2.所以抛物线C的表达式为丫=某2—1.口(3)假设点D存在，设点D的坐标为(d,d2—1).如图，作DH^y轴于点H,则DH2=d2,BH2=(d2—2)2.若ABPD是等边三角形，则有解得d=3或d=23.3231,),33DH222=3,即d=3(d—2),BH所以满足条件的点D存在，分别为D1(3,2),D2(—3,2),D3(D4(—231,).33例5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=i12某一3某一8与某轴交于A,B两点，与2y轴交于点C,直线l经过原点0,与抛物线的一个交点为口，与抛物线的对称轴交于点E(3,—4),连结CE,若P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(