量子力学习题答案

总结总结量子力学习题答案在0卜附近，钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。解：由德布罗意波粒二象性的关系知：E=hv;p=h/入由于所考虑的电子是非相对论的电子(E(3eV)hc2(0,5k106)),故:keE=P2/(2h)^e 《入=h/p=h/2HE=hc/j2Hc2E=1.24x10-6/^2x0.51x106x3=0.71x10-9m=0.71nm氦原子的动能是£=1.5。，求丁=小时，氦原子的德布罗意波长。解：对于氦原子而言，当T=1K时，其能量为33E=3kT=3x1.381x10-23J.K-ix1K=2.07x10-23J2 2于是有h/J2hEHe1.26nm6.626x10-34J.s1.26nm<2x6.690x10-27kgx2.07x10-23J一维谐振子处于甲(x)=Ae-a2x2/2状态中，其中a为实常数，求:1.归一化系数;2.动能平均值。(J8e-a2x2dx=v'k/a)-8解：1.由归一化条件可知：

f"w*(x)w(x)dx=f"A2e-a2x2dx=1—" —"=A2,•1兀/a=1取相因子为零，则归一化系数A=ai/2/兀1/42.T=1"w*(x)T^(x)dx=A22.T=1"w*(x)T^(x)dx=A2f"e-a2x2—" —"/2(P2/2^)e-a2x2/2dxAzi"一02d2e—a2x2/2(———一)e—a2x2/2dx2^dxA2f"e—a2x2/2—(—a2xe—a2x2/2)dx—" dxA2(—a2xe—a2x2"—f"(—a2xe—a2x2/2)2dx}—" —"A2a4f"x2e—a2x2dx=一A2a4(——)f"xd(e-a2x2)—" 2^ 2a2—"A2a4(—」—)(—xe—a2x2

2a2"—f"e—a2x2dx}=——A2a4(—1)(—立)2a2a卸力若a=，则该态为谐振子的基态,d若a=，则该态为谐振子的基态,d2 1————+—^32x2邛dx23T=——4h解法二：力对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。一维谐振子的哈密顿量为:它的基态能量E=13选择4为参量，则:

o2h

edH0]dH -dd2

dx22d2、_2—(-)—edH0]dH -dd2

dx22d2、_2—(-)——12udx由F-H定理知:dHd可得：1—34h2.2由下列定态波函数计算几率流密度：1(1)V ——eikr1r(2州21—e-ikrr从所得结果说明v表示向外传播的球面波,

1匕表示向内（即向原点）传播的球面波。解：J和J只有r分量12在球坐标中V—f——+e0dr1df+e0rd0 ①-v*Vv)-v*Vv)1111(_e-ikr)一—e-ikrJ=—(vVv*TOC\o"1-5"\h\z2m1 1ih 1d二[一eikr 2mr dr诙「1/1.z1Ah1.z1a匕 [一(———ik—)——(——+ik—)]r2mrr2rrr2r0力k一 力kr=rmr20mr3了.1与r同向。表示向外传播的球面波。/八、: 访/J=(vVv*-V*Vv)22m2 2 2话「1 "1、1"1、"=[_e-ikr (_eikr)——eikr (_e-ikr)]r2mr 5rrr drr0话J—」1、1,1」1、「= [_(--+ik_)-_(---ik_)]r2mrr2 rrr2 r0力k- 力k_=-r=-rmr20 mr3可见，J与r反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。22.3一粒子在一维势场8,X<0U(X)={0,0<x<a8,x>a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：U(X)与t无关，是定态问题。其定蕊一方程-V(x)(x)+U(x)V(x)=EV(X)2mdX2在各区域的具体形式为TOC\o"1-5"\h\zI：x<0 -^LJ^JLv(x)+U(x)v(x)=EV(x) ①2mdx21 1 1II：0<x<a--^--^-V(x)=EV(X) ②2mdx22 2I"：x>a --^--^―V(x)+U(x)V(x)=EV(X) ③2mdx23 3 3由于(1)、(3)方程中，由于U(x)=8,要等式成立，必须(x)=01(x)=03即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程⑵可变为d绅2a）+2mE-v（x）=odx2 方22令k2=2mE,

力2d2vd2v—2-

dx2+k2V(x)=02其解为v(x)=A其解为v(x)=Asinkx+Bcoskx

2根据波函数的标准条件确定系数a,B,m连续性条件，得v(0)=v(0)21v(a)=v(a)⑥nAsinka=0丁A中0「.sinka=0nka=n兀 (n=1,2,3,•一)n兀“••V(x)=Asin——x

2a由归一化条件JV(x)2dx=18得 A2Jasin2n^-xdx=1a m兀 n兀Iae由asin-xxsin_xdx=_o0 a a 2mnnAnA=・・.V(x)==sinmx2 \aa2mE•「k2= 力2二E=兀2方2n2 (n=般,，…)可见£是量子化的。n2ma2对应于E的归一化的定态波函数为n|2.n兀 一F 八/// 、 ।—sin——xehn, 0<x<aV(x,t)=<\aan0, x<a,x>a2.5求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解：v(x)=:0•2axe-2a2x2i\2五31(x)=V1(x)|2=4a2•2^=.x2e一a2x22a3=——•x2e-a2x2v'Kd3(d3(x) 2a3dx[2x-2a2x3]e-a2x2令dmJx)=0,得dx由3(x)的表达式可知，x=0,x=±8时，3(x)=0。显然不是最大几率的位置。11d23d23(x)2a3―1-

dx2[(2-6a2x2)-2a2x(2x-2a2x3)]e-a2x24a3-^[(1-54a3-^[(1-5a2x2-2a4x4)]e-a2x2d23(x) 1 dx24a31=—6—=T—<0,Ee=±a可见x=±1=±:'+是所求几率最大的位置。a｛旦33.2.氢原子处在基态9(r,0,明=，e-“a0,求：小兀a3V'0(1)「的平均值;(2)势能—e2(1)「的平均值;(2)势能—e2的平均值;r(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。解：⑴r=Jr加(r,0,⑺，dT=—卜J2兀J"re一2r/a0r2sin。drd。d①兀a300 004= r3a-2r/a0dra300n!JXne-axdx= 0 an+14 3! 3 ——aa3(2)4200/Ia/0(2)U=(-e2)=-JJ兀J2兀J"1e-2r/a0r2sin0drd0d中r 兀a3000r0=-e-JKJ2兀J"e-2r/a0rsin0drd0d中兀a300 004e2=- e-2r/a0rdra3004e2 1e2a30⑶电子出现在r+dr球壳内出现的几率为3(r)dr=JKJ2兀[w(r,0,⑺]2r2sin0drd0d①——e-2r/a0r2dr

00 a3043(r)=——e-2r/a0r2

a30d3(r) 4 2———(2- r)re-2r/a0dra3a00

尽d3(r)令 =0,nr=0,r=8,r=aTOC\o"1-5"\h\zdr i 2 3o当r=0,r=8时，3(r)=0为几率最小位置\o"CurrentDocument"1 2d23(r) 4小8 4 、 =—(2——r+——r2)e-2ra0dr2a3aa2000e—2d23(e—2dr2r=a0是最可几半径。(4)亍(4)亍=±/2=—捺v28a1aa1a—(r2—)+二二(sine=)+————ararsineaeaesin2ea①2T=—艺jj27Ij8—e-r/a0V2(e-r/a0)r2sinedrded①2旦000%30=—“2JJ2J81e—r/a。-——[r2—(e—r/a0)]r2sinedrded①2|H000即3r2drdr0r2.dr——)e—2r/a0dra04力2 a2a2、 力2=—(2j—a=—2pa4 4 4 2pa200(5)c(p)=Jv*(r)V(r,e,①)d工

pc(p)= 1J8 _e—r/a0r2drJKe一力prcos°sinedeJ2兀d①TOC\o"1-5"\h\z(2兀力)3/20，兀a3 0 0v02兀 J8r2e-r/a0drJKe-tprc0sod(—cose)(2兀%)3/2.、；兀a30 02兀 [8 /%-^jrrcose二 ,Jr2e—r/a0dr-——e%'(2兀力)3/2杭a30 ipr0 02兀 力 ii n! =_J8re-r/a0(e力pr—e一力pr)dr J8x“e-axdx=(2兀力)3/2%；兀a3ip0 0 an+12兀 方1 1 ] ■ [ ； - ； ](2兀%)3/2.、；兀a3ip(——匕p)2 (—+士p)2a方a%0 0

_ 1 4ipV；2arip兀a(上+pl)20a2 22aa3%3兀a(a2p2+h2)20oo0(2ah)3/2h二 0 兀(a2p2+h2)20动量几率分布函数3(3(P)=|c(p)2二8a3h5 0 兀2(ap2+h2)403.5-刚性转子转动惯量为I3.5-刚性转子转动惯量为I/的能量的经典表示式是H二|i,L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：转子绕一固定轴转动：转子绕一固定点转动：解：（1）设该固定轴沿2轴方向，则有L=L2Z哈米顿算符 H=-1L二—吃上21z 21d①2其本征方程为（H与才无关，属定态问题）h2d22Ih2d22I而03)二E则①)d2M明2IEh2弧明令帆令帆2二半，则h2艺他）+m2如明二0dr2取其解为。取其解为。仰）=Ae加中（m可正可负可为零）由波函数的单值性，应有。（①+2兀）=。（①）neim3+2兀）=em中「.m=0,±1,±2,…转子的定态能量为E=也2 （m=0,±1,±2,…）m 2I可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为0=Aeim中mA为归一化常数，由归一化条件卜。*0d中=A2卜mmfTV2k转子的归一化波函数为综上所述，除印=0外，能级是二重简并的。（2）取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为1H= L221H与t无关，属定态问题，其本征方程为1-LY（®2）=EY（。2）21（式中Y（0,⑴设为H的本征函数，E为其本征值）

L2Y(0冲)=2IEY(0冲)令2IE=kh2，则有L2Y(0冲)二九%2Y(0即)此即为角动量L2的本征方程，其本征值为L2=九方2=队Q+1)为2 (2=0,1,2,…)其波函数为球谐函数Y(0,⑴=Npm(cos0)eim中2m 2m2・••转子的定态能量为2(2+1)为22可见，能量是分立的，且是(22+1)重简并的。3-6设t=0时，粒子的状态为V(x)=A[sin2kx++coskx]2求此时粒子的平均动量和平均动能。解：V(%)=A[sin2kx++coskx]=A[+(1—cos2kx)++coskx]22 2A=[1—cos2kx+coskx]2A—[1一i(ei2kx+e—i2kx)++(eikx+e-ikx)]A\；A\；2兀力21一ie-i2kx+ieikx+ie-ikx]・一2v2Si可见，动量p的可能值为0动能差的可能值为0对应的几率3应为nA2对应的几率3应为nA216A216A216A2——)-2兀方16上述人为归一化常数,可由归一化条件，得上述人为归一化常数,可由归一化条件，得A2 ，AA2 ，A2——+4义——16nn动量p的平均值为TOC\o"1-5"\h\z- ＞八、p="p3nnnA2 A2 A2 A2=0+2k%x——•2兀力一2k%x——•2兀力+k力x——•2兀力一k力x——•2兀力=016 16 16 16p2yp2T= =——n32从2^nn八2k2方21k2方2 1=0+ --x2+ x—x2从8 2日85k2方28日37一维运动粒子的状态是Axe-人,当x>00, 当x<0其中九〉0,求：(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的平均动量。解：(1)先求归一化常数,由1=卜,(x)|2dx=~A2x2e一2xdx一8 0…A=2九3/2V(x)=2九3/2xe—九x(X>0)(x<0)gxe-(入+ik)xdx0c(p)=Jg ।e e-ikxv(x)dx=gxe-(入+ik)xdx0-gy2兀 2兀 J Jge-(x+ik)xdxX+ik0,2九3J「=(——)1/21-兀x e-(1+ik)xX+ikz2X火=( )1/2兀1(X+ik)2z2X3、(——)1/2兀(入+i-)2h动量几率分布函数为3(P)=|c(P)\2=兀力 P2、兀 (力2X2+p2)2(X2+而)2⑵p=JgV*(x)-v(x)dx=-iJg一g4入3xe-入x—(xe-入x)dx

dx-i4九3Jx(1-九x)e-2入xdx0-i力4九3Jg(x-九x2)e-2入xdx0-?4入3」4入2=0%或：p=Jg-gpdp=0被积函数是个奇函数3.8.在一维无限深势附中运动的粒子，势阱的宽度为。，如果粒子的状态由波函数甲(尤)=axm—尤)描写，人为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解：一维无限深势阱的的本征函数和本征值为2.n兀—sin x,<0,<0,x>a0,n2n2兀2力22pa2(n=1,2,3,…)粒子的几率分布函数为3(E)=C|2

nC=fng巾*(C=fng巾*(x)v(x)dx一8先把甲(x)归一化，由归一化条件1=f8V(x)

一82dx=faA2x2(a一x)2dx0=A2fax2(a2-2ax+x2)dx0=A2fa(a2x2-2ax3+x4)dx0a5a5a5 a5=A2(———+—)=A2—3 2 5 3030=f。,、2吧x.x(a.x)dxoaaaa5a-[afaxsinn^-xdx-fax2sinn^-xdx]

a3 0a0aaa32工15「a2 n兀TOC\o"1-5"\h\z [- xcos x+a3 n兀 a.n兀 a n兀sin x+——x2cos——xa n兀 a2a2.n兀xsin——x一a2a3n兀rcos x]a文[1-(—1)n]n3兀3240.・.①(E)―C|2— [1—(—1)n]2n n6兀6960 ,n960 ,n6兀60,n—1,3,5,…n―2,4,6,…EJ一gV(x)HV(x)dx—J0V(x)p--V(x)dx

EJ一ga30 2d2a——x(a—x)•[- x(a—x)]dx0a5 2pdx2h30-2J30-2Jax(a—x)dxpa5302a3 a3pa23.9.设氢原子处于状态TOC\o"1-5"\h\z八 1 八 、.:3 /、一\o"CurrentDocument"V(r,0,⑺—R (r)Y(0,①)——R (r)Y (0，①)2 21 10 2 21 1—1求氢原子能量、角动量平方及角动量2分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：在此状态中，氢原子能量有确定值(n—2)pe2 (n—2)s——— s2方2n2 8力2角动量平方也有确定值L―£(I+1)加―2加角动量2分量的可能值为

其相应的几率分别为其平均值为3.11.求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系际.而2=?解：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument" 5 5，工p2=2rT=4k2力2x=f8A2x[sin2kx+—coskx]2dx=0-8 28 1x2— A2x2[sin2kx+—coskx]2dx-8-8 2(A(Ax)2•(Ap)2=(X2X2).(p2-p2)=84.1.求在动量表象中角动量L的矩阵元和4.1.求在动量表象中角动量L的矩阵元和L：的矩阵元。解：(L)—(—)3fe一词'-F(yp-Zp)eMFdt

xp'.p 2兀方 zy1 i-,- 工一—(一)3Je一力p"(yp-zp)e力p-rdt2兀% zy1 --工a a i--( )3Je一力p-，(-诙)(p——-p——)e%p-rdt2兀力 zQp yQpy zaaa1l((-ih)(p--p一)(一)3Je(-p)-rdtzap yap 2兀力yza ac诙(p--p—)5(p-p,)yap zapz y(L2) -Jv*(>-)L2Vdtf f] --xpp p xp1 i-,-八ii--1 i-,-八ii--二(一)3Je一方”(yp—zp)2e力p-rdt2兀% zy1i二(市)3Je-Q(ypzi__一zp)(yp-zp)e力p'rdtyzy1j=(扁)3Je--pr(ypz八，a-zp)(龙)(p--pyyop zza i-，-——)e力prdtOpy=(洗=(洗)(pyOpzaai i(二一%2(p--p一)2(一)3JeJP-p)-rdtyap zap 2兀力zy,aa 二一方2(p p )28(p-p)yap zapz y4.3求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。解：定态薛定谔方程为-1旦32力2dLC(p,t)+匕C(p,t)=EC(p,t)2 dp2 2日即 —1旦32力2d-C(p,t)+(E—四)C(p,t)=02dp2 2^两边乘以A，得力3；C(p,t)+(|E—与)C(p,t)=01dp2 %3p3应R3力d2有C(p")+"2)C(川)=0跟课本曰39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为E=(n+1)%3n 21 L_C(p,t)=Ne-2p2P2H(Pp)e-国nn式中N为归一化因子，即nN=(——P——)1/2n 兀1/22nn!4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。TOC\o"1-5"\h\z1八 1 方232 1解：H=p2+—U32X2=- +—从32X2解：2U 2 2u3x22H =fv*(x)H\y(x)dxpp' p p1i 力232 1 i,,Je一力px(— +—U32x2)e力pxdx2兀力 2u3x22——“2(ip)21J"e:(pp)xdx+1U321J"x2e力("一p)xdx2U力 2兀力," 2 2兀力."p-B(p'-p)+1U32二J"(2)2二e;(*p)xdx2u 2 2劝_"i 3p2

p-b(p'—p)+1.32(-)2 卜二e:("-P)xdx2. 2idp'2一sa伸i=p-d(p'—p)--R32力2 b(p'—p)2. 2 dp'2二p~b(p，—p)—1.32力2J^—d(p，—p)2. 2 dp24.5设巳知在L2和L的共同表象中算符L和L的矩阵分别为<222h<222hF-i0i求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵L和Lxy对角化。解：L的久期方程为x—九力<2—X力-九n一九3+力2入=00：

u八,0：

u八,a1a2a3，九二一方

3・•.L的本征值为0,xLL的本征方程xa1a2a3a1a2a3设为LL的本征函数在L2和L共同表象中的矩阵力<20丫"1(0)力na3(a1由归一化条件1=v+V

0=(a*,0,—a*)(a10=2IaJ2、一a<2V=0对应于L的本征值0。0 X-£(av2_〔血-£(av2=v'2a_1='v：2a3=a1a1由归一化条件1=(a*,12a

1fa1)gaaI1=4aJ2f12梃112对应于L的本征值力当入=-力时，有2力220丫a1)fa1f1a1a0J[a：八3,11)a=-，'''2a2k1n〈a=—v2a23a=a

3 11「-2aaa1I1由归一化条件1=(a*,-%2a*,a*1 1 1fa1)-屈aaI1=4aJ•••归一化的V—力21

望1对应于L的本征值一方x由以上结果可知，从LL2和LL的共同表象变到L表象的变换矩阵为<2v2••.对角化的矩阵为L，22<2—72一正~~2v2v272-v2—、2JI0按照与上同样的方法可得L的本征值为0,九一力JLL的归一化的本征函数为J

(1\(1((1\(12上—J2-1I27从L2和L的共同表象变到L表象的变换矩阵为S=0▼IJ212S=0▼IJ212i312iv2

1iiv212127利睦可使L对角化yTOC\o"1-5"\h\z(00 0]L'=S+LS=0% 0y j100-力75.2转动惯量为I、电偶极矩为力的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。解：取宏的正方向为2轴正方向建立坐标系，则转子的哈密顿算符为八TOC\o"1-5"\h\z八L一. 1八H=——一D-£=—L2—Decos0\o"CurrentDocument"21 21取H(0)=—L2, H'=—Decos0,则21八 八 八.H=H(0)+H由于电场较小，又把H'视为微扰，用微扰法求得此问题。H(0)的本征值为E(())=—梃+1)%2/ 21本征函数为V(0)=y(0,①)\o"CurrentDocument"2 2mH(0)的基态能量为E⑨=0，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知0E（0）一E（0）=Jv*(0)=Jv*(0)HW(0)dT=JY*(-D£cos0)Ysin0d0d300=-DJY*(cos=-DJY*(cos0Y)sin0d0d300二一DJY*mm’4兀 1:——Ysin0d0d3310 4兀D£f-一Y*<3 20Ysin0d0d中10E⑵=EE⑵=E0H'E（0）一E（0）D2£2・2132(2+1)%25.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：E及E01 02现在受到微扰H'的作用，微扰矩阵元为H'=微扰矩阵元为H'=H==a,12 211122b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得nnE(2)nE(2)nE（E（0）一E（0）mnE(i)

01=H==b

11E(i)02=H'=b

E(i)

01=H==b

11E(i)02=H'=b

22E(2)01E—E

m01H'ml一E0mE01a2一E02E⑵02H'—m2E一Em020ma2E-E02 01••・能量至二级修正值为aa2E=E+b+ 1 01E一E01 02E=E+b+

2 02a2E-E02 01课堂上讲过的一些例题：例：证明在LZ本征态Ylm下，<LX>=<Ly>=0证明：方法1<人LxL>=x1=-[L2 +八Y*LYdOlmxlm1=2i[L-L]=1JY*LYdO-2lm+lm1JY*LYdO2lm一lm-2.^0=+=■■得FIT二理同一m(m+I)JY*Y dO+lmIm+1一m(m一I)fY*YdOlmlm―1I人 人I一人L,L」=访Lyz x方法二：11L=L,L」=[LL-LL]

x i力yzi力yzzy1<L>=JY*[LL-LL]YdO

x i力 lmyzzylm=£JY*LLYdO-1-JY*LLYdOi力lmyzlm i力 lmzylm=LJY*L(LY)dO一1-J(LY)*LYdOi力lmyzlm i力zlmylm=1-m%JY*LYdOi力 lmylm1-m力JY*LYdOi力 lmylmm=——<Liym>一一<L>=0iy同理得：<Ly>=0例：巳知空间转子处于如下状态1 2*3Y11(S，吁3Y21(S，⑴试问：（1）%是否是L2的本征态?（2）%是否是Lz的本征态？（3）求L2的平均值；（4）在平态中分别测量L2和Lz时得到的可能值及其相应的几率。(1)L2+=L-Y(S,明+-Y(S,明311 3213G(1+1)%2Y11(1=2加-Y+2Y)+jQ(2、一1311 21J+1)加Y)21平没有确定的L2的本征值，故平不是L2的本征态。(2)(1 2L*=L-Y(S,①)+-Y311 32111 3=%(1Y+2Y21\1311 321)=力中%是Lz的本征态，本征值为o（3）求L2的平均值（方法一）F=fv*(x)FV(x)dx（V 已归一化）先验证归一化：1=c2fv*VdQ=c2f(3Yu+3Y〜1311 321(1 4 2 2 、.-Y*Y+-Y*Y+-Y*Y+-Y*Y dQ、911 11 921 21 911 21 921 11)归一化波函数：3(1 2yY+yY=1=Y+2Y)5511 21+2YdQ21L2=1+*L+dQ=J1=Y+2Y)*/Y+2YdQ21=1JY+2Y)*&2Y+6%22YdQ21 11 21力2YJ2+24%2Y21|2dQ=1[2力2+24力2]=至力255方法二*=-LY+2Y)<511十21利用'F=Z|c|2九nnL22力L22力2+<5v'56%2=26%25(4)I2(4)L2=1I6力2L=方相应几率1z例：求Lx在L2,Lz共同表象，=1子空间中的矩阵表示。令： u1=Y11u2=Y10,u3=Y1-1，则Lx的矩阵元可如下计算：(L)=Ju*LudQ

xij ixji,j=1,2,3TOC\o"1-5"\h\z人 人利用L=+(L+L)利用x2 + —LY=%l(l+1)-m(m±1)Y±Im l,m±1\o"CurrentDocument"1 1,Lu=_(L+L)Y=一力Yx12'+ -11<2 101人人 1工1Lu=-(L+L)Y =一力(Y+Y)x2 2+ -10y2 11 1-11人人 1,Lu=-(L+L)Y =，九Yx3 2 + - 1-