连续分段函数不定积分的求法

Vol.11,No.Nov.,

STUDIESINCOLLEGEMATHEMA 3余英 (南昌航空大学数学与信息科学学 江西南 摘要 对连续分段函数的不定积分进行比较深入的研究,通过构造例子,阐述连续分段函数不定积分的四种求法,即狭义上限函数法广义上限函数法方程(组)法和差分方程法.连续函数;分段函数;不定积分 现忽视区间产生分段点处所求原函数不连续的情况.文[1]了下列不定积分的错误解法:∫1-sin2xdx=|sinx-cosx|dx=(sinx-cosx)dx=±(sinx+cosx)+1sinx+cosx+C 1∫1-sin2xdx

5π(k∈Z)-sinx-cosx+C2,2kπ+4<x≤2kπ+4由可导必连续,记C1=C,解得C2= +C,所sinx+cosx+ 2kπ-3π<x≤2kπ+π ∫1-sin2xdx

π<

(k∈Z)-sinx-cosx+C+22 4 4x=2kπ-

) 有无穷多段,而每段上积分常数都可能有所不同,因此要用与段数个数相当的积分常数来表示不定积分(2)确定积分常数的方法不正确.要用所有的分段点来确定积分常数仅用部分分段点确定的间的关系求出不定积分的方法1该方法也适用于一般函数的不定积分1仿闭区间上连续函数的上限函数为其原函数的证明2-3]它是上限函数法的理论基础.定 设函数f(x)在区间I上连续,x0∈I或为I的端点,xf(x)dx=x0f(x)dx+ 3收稿日期:2006-05-02修改稿:2008-09- 200811特别地,fxI上的连续分段函数时,

,Fx)

x

ftdt据上述定理就可以得出连续分段函数的不定积分F(x)在求下一段原函数时利用上一段原函数F(x)在该段起点的值可简化求解过程1 fx)Ix0则按(1)fx)Ix-2k 2k≤x<2k+1 求不定积分fxdxfx)例

2-x+2k 2k+1≤x<2k+2

(k∈Z) f(x)是以2为周期在(-∞,+∞)上连续的周期函数.取x0=0,由 |1+(2x

1)|1

=100f(x)dx=0(x-0)dx+1(2-x)dx= 02kx<2k+1fx) (x-2k)F(x)=

f(x)dx=

f(x)dx

2

(t-2k)dt=k+(

-2kt)|

+kk2k+1x<2k+2k (x-2k-2)F(x)

f(x)dx=kf(x)dx

(t-2k)dt

(2-t+2k)dt=

+k+ (02k)

2

2k+所以fxdx=

+k+ 2k≤x<2k+1-(x-2k-2) +k+1+ 2k+1≤x<2(k+1)x x≤0

(k∈Z)例 求不定积分f(x)dx,其中f(x) ln(1+x) 0<x≤e-1cos(x-e+1) x>e- x f(x)在(-∞,+∞)上连续,取x0=0.则当x≤0时,F(x)=0tdt=2xx0<x≤e-1,Fx)0ln(1+tdt=x+1ln(1+x)-xxx>e-1,Fx)=F(e-1)+e-1cost-e+1dt=sinx-e+1)+12+ x≤0所 f(x)dx

(1+x)ln(1+x)-x+ 0<x≤e-1sin(x-e+1)+1+ x>e-1设f(x)为区间I上的连续分段函数,x0为I的端点且x0 I.若f(x)在I上可积,则按(1)式就可以求出f(x)在I上的不定积分.这种方法称为广义上限函数法,仅适用于无穷区间或开区数(即原函数)就是这种情形的特例.例 求不定积分f(x)dx,其中f(x)

1<x≤213- 2<x<3-116 f(x)仅在开区间(1,3)上连续.取x0=1(或为3亦可), F(x)=x

=t-1d

x=|1x|1

x-1 =4- 3

<x≤2)F(x)=F(2)

3-td

=2- | x (2<x<3)x-f(x)dx=F(x)+C + 1<x≤x-4- 3-x+ 2<x<34[4 求不定积分f(x)dx,其中f(x) 1-|x| -1≤x≤1 0 其他 当x<-1时,F(x)

-

f(t)dtx

0·dt=0- -1x<0,Fx)=F-1)

-

(1+t)dt=0+(t+t)| -1=

+x+120x≤1,Fx)=F(0)

x(1-t)dt=2

+(t-t2)|

=-

+x+12xx>1,Fx)=F(1)+00·dt=21

x<-1f(x)dx=F(x)+C

+x+2+ -1≤x<0 2+x+2+ 0≤x<1+1 xΕ分段求积法就是先求出分段连续函数各段上的不定积分,再根据原函数在各段间的连续性确定. 方程(组)fxIn,n+1意常数之间的n个方程,通过解方程组)就可以确定任意常数之间的关系,求出不定积分.这种求连续分段函数不定积分的方法称为方程(组)法.例5[5 求不定积分M3(x)dx,其中M3(x)是三次样条函数,0 xΕ2M3(x)

-x3 + -2x2

4 x2 3-x2

0≤x<1M3(-x)当≤ (

(

x<0x2x3

4 ≤ -2 ,M3x=0; -2<x -1 ,M3x=6+x() M3 =-2-x+3

+2x+3 -1< 2008113C1 x≤-23x4+

+x2+4

+C2 -2<x≤-1M3(x)dx

26-3+3+C3 -1<x≤0 28x -3+3+C4 0<x≤1x

+3-x+

+43

+C5 1<x≤2 x>C2-C1=2 C3-C2=-1 C4-C3=0 C5-C4=-1 C6-C5=2 记C1=C,解得C2=2+ C3=C4=13+ C5=3+ C6=25+ 3 x≤-2 3x4

3+x+4x+ 2x

+ -2<

≤-1 所 M3(x)dx

-6

3+3+24+ -1<x≤02 8-3+3+24+ 0<x≤1x3x -24

-x

+4x+

+ 1<

≤225+ x>2. fxIn那么按分段求积法可以得到任意常数之间的n个差分方程,通过解差分方程就可以确定任意常数之间的关系,求出不定积分.这π例6[1 求不定积分∫1-sin2xdπ 1-sin2xdx |sinx-cosx|dx=2|cos(x+)|dx (x+π)dx=2sin(x+π)+C1k 2kπ-3π≤x<2kπ+ os(x+π)dx= 2sin(x+π)+C2k 2kπ+π≤x<2kπ+π4π利用原函数x2kπ-

2kπ+

4 4处的连续性C2k-C1k=22 C1k=C2k-1+222故C2k-C2k-1=42,此为一阶差分方程.记C20=C,解得C2k=4 +C,于222222C1k=4(k- +C+ =(4k- +1162[(4k-2)+sin(x+π)]+ 2kπ-3π<x≤2kπ+∫1-sin2xdx (k∈Z)2[4k-sin(x+π)]+ 2kπ+π<x≤2kπ+ sinx 2kπ≤x<2kπ+2cosx+1 2kπ+π≤x<(2k+2例 求不定积分f(x)dx,其中f(x)

sinx (2k+1)π≤x<2kπ

f(x)dx

cosx-1 2kπ+3π≤2<2(k+2-cosx+C1k 2kπ≤x<2kπ+2x+sinx+C2k 2kπ+π≤x<(2k+2-cosx+C3k (2k+1)π≤x<2kπ+2-x+sinx+C4k 2kπ+3π≤x<2(k+利用原函数在x=2kπ,2kπ+π,(2k+1)π和2kπ+

C1

-C2

=2kπ+π+1 2处的连续性 C1k-C4k-1=1-2kπ,C3k-C2k=(2k+1)π-1,C4k-C3k=2kπ+3π1C4k-C4k1=2此为一阶差分方程C40=CC4k=2kπ+C于C3k=C-3π-1 C2k=C-2kπ- C1k=C+1- -cosx+1-2π+ 2kπ≤x<2kπ+2x+sinx-2kπ-5π+ 2kπ+π≤x<(2k+ 所 f(x)dx -cosx-2-1+ (2k+1)π≤x<2kπ+2-x+sinx+2kπ+ 2kπ+3π≤x<2