整体法与隔离法在斜面问题中的应用

整体法与隔离法在斜面问题中的应用黄陂二中李欢在高中物理中，解决力学问题时，选择研究对象是解决物理问题的首要环节．在很多物理问题中，研究对象的选择方案是多样的，研究对象的选取方法不同会影响求解的繁简程度．对于连结体问题，通常用隔离法，但有时也可采用整体法．如果能够运用整体法，我们应该优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；不计物体间相互作用的内力，或物体系内的物体的运动状态相同，一般首先考虑整体法．对于大多数动力学问题，单纯采用整体法并不一定能解决，通常采用整体法与隔离法相结合的方法．斜面连接体问题主要是指在三角形木板、楔形木块等斜面体上放置小滑块，研究滑块及斜面体的受力、运动情况，这类问题联系的基本概念、基本规律很强，应试时稍有疏忽就会出错，因此高考中经常编拟这方面的题。所以，在斜面连接体问题中整体法与隔离法的应用就显得更加重要了。并且学生对于此类问题也比较头痛。因此，我们有必要对此类问题进行仔细分析，归纳，找到此类问题的突破口。以下就是我对于此类问题的看法和分析。对于斜面连接体的问题，难点莫过于地面对斜面体的摩擦力如何分析。就此我从简单到复杂，逐一来分析下这类问题。我将这类问题划分为两大类，一是整体除了受地面的作用力以外不受其他的外力的情况和受到其他外力的情况。首先来看第一种：如图：质量为m物体放在质量为M斜面体上，斜面的倾角为θ，物体与斜面体之间的动摩擦因数为μ。斜面体静止在地面上。下面再分为三种情况来讨论。（1）.μ=0时：物体将会沿斜面加速下滑。先用隔离法来分析：我们直接可以对斜面体进行FFfθGN平向左的摩擦力，才能使斜面体静止在地面上。并且f=Nsinθ=mgcosθsinθ。再用整体法来分析：由于物体有沿斜面向下的加速度。所以用整体法受力分析如图：地面对斜面体的摩擦力要用来提供物体Ff(mFf(m+M)g水平向左。物体的加速度a=gsinθ水平方向加速度a=gcosθsinθ所以f=ma=mgcosθsinθ。从上面分析来看，用整体法和隔离法来解决这个问题都不是很难，原因是这种情况比较简单，我们继续往下来看。（2）μ≥tanθ时：物体将静止在斜面上。此时用隔离法分析，直接对斜面体分析，将无法得出我们想要的结果，首先要对物体分析，如下左图：因为物体受三力平衡，所以N和f的合力与mg等大反向FFfNMgNfmg因为f和N是f和N的反作用力，f和N的合力竖直向上，所以f和N的合力竖直向下，因此地面对斜面体没有摩擦力。但是，这种情况用整体法会显得非常简单，由于整体都处于平衡状态，整体就只受到竖直向下的重力和地面对斜面体的支持力两个力。此时，斜面体同样不受到地面的摩擦力。Fafθa(m+M)g由此可以看出在这种情况中，整体法比隔离法要简单得多。比如，在此情景中，给物体一个向下的初速度，当μFafθa(m+M)g我们不仅要会分析摩擦力的方向，还要会求大小。物体的加速度大小a=μgcosθ-gsinθ水平方向加速度a=acosθ地面对斜面体的摩擦力方向水平向右f=ma=μmgcosθcosθ-mgsinθcosθ如果我们给物体一个向上的初速度，物体就将会减速上滑，物体就会有向下的加速度，所以地面对斜面体就会有水平向左的摩擦力。分析方法同上。(3)μ＜tanθ时，物体将会加速下滑。分析到此，我们可能已经知道，整体法要简单些了，为更深刻理解这类问题，不妨还是用隔离法分析下。先对物体分析如下左图。再对斜面体分析，如下右图。yyFxFfNMgNfmg由物体的受力分析可得：N=mgcosθf=μmgcosθ此时斜面体受力较多，我们用正交分解，f在x轴方向分力向左，大小为μmgcosθcosθN在x轴方向分力向右，大小为mgcosθsinθ因为μ＜tanθ，即：sinθ＞μcosθ.则，mgcosθsinθ＞μmgcosθcosθ所以地面对斜面体的摩擦力水平向左，且F=mgcosθsinθ-μmgcosθcosθFaFaFa(m+M)g物体的加速度a=gsinθ-μgcosθ水平方向加速度a=acosθ地面对斜面体的摩擦力方向水平向左F=ma=mgcosθsinθ-μmgcosθcosθ以上就是整体除受到地面的作用力以外不受其他外力的情况，从以上的分析可知，这种类型的问题，用整体法较为简单一些。通过以上这些例子，我们可以得出，地面对斜面体的摩擦力的方向由物体的加速度的方向来决定。其摩擦力的大小提供了物体水平方向的加速度。我们再来分析第二种类型，也就是物体除了受到地面的作用力之外还受到其他外力的情况，这种类型相比较前一种就要复杂得多。如图：质量为m物体放在质量为M斜面体上，斜面的倾角为θ，物体与斜面体之间的动摩擦因数为μ。斜面体静止在地面上。我们还是分几种情况来分析当μ=0时。这种情况与前面的第一种情况一样，无论我们在物体上施加怎样的力，只要物体不离开斜面体，物体对斜面体就只有压力，所以地面对斜面体一定有摩擦力，而且摩擦力一定等于压力在水平方向的分力。当μ=tanθ时，我用一道具体的题目来分析。一斜块M静止于粗糙的水平面上，在其斜面上放一滑块m，若给m一向下的初速度v0，则m正好保持匀速下滑，如图所示，现在m下滑的过程中再加一个作用力，则以下说法正确的是()A．在m上加一竖直向下的力Fa，则m将保持匀速运动，M对地仍无摩擦力的作用B．在m上加一沿斜面向下的力Fb，则m将做加速运动，M对地有水平向左的静摩擦力C．在m上加一水平向右的力Fc，则m将做减速运动，在m停止前M对地仍无摩擦力的作用D．无论在m上加上什么方向的力，在m停止前M对地都无静摩擦力的作用FF（m+M）g解析：物体刚开始可以匀速下滑，所以μ=tanθ，即sinθ=μFF（m+M）g如果施加的力是F，物体会将继续匀速向下运动。所以整体依然处于平衡状态。对整体受力分析如图：可以看出地面对斜面体的摩擦力依然为零。如果施加的力是F,物体将会加速下滑。根据牛顿第二定律可得：F+mgsinθ-μmgcosθ=ma因为μ=tanθ所以a=对整体受力分析如下图：FFFF(m+M)g将物体加速度分解可得，a=acosθ=cosθ水平方向所需要的外力大小为F=ma=Fcosθ而从受力分析图中可知，力F在水平方向的分力大小刚好为Fcosθ，所以地面对斜面体没有摩擦力。NfFmg如果施加的力是FNfFmg对物体分析的目的是为了确定物体的运动状态。物体原来匀速下滑，加了力F以后，有受力分析可知，物体将会减速下滑。设加速度大小为a,根据牛顿第二定律可得：Fcosθ+f-mgsinθ=maf=μ(mgcosθ+Fsinθ)FaFaFaFa(m+M)g解得：a=（cosθ+μsinθ）再对整体进行受力分析：a=acosθ=(cosθ+μsinθ）水平方向所需要的外力大小为F=ma=F(cosθcosθ+μsinθcosθ)=F所以力F刚好提供了这个加速度，由此我们可以得出这种情况下地面对斜面体没有摩擦力。通过分析上面三种情况，我们在物体上施加了三种不一样的力，但是最终地面对斜面体都没有摩擦力，会不会是巧合呢？我们不妨随便再设一个力，设力与斜面的夹角为β，如下图所示：对物体受力分析，设加速度为a,根据牛顿第二定律可得：Fcosβ+μ(mgcosθ-Fsinβ)-mgsinθ=maFβa=（cosβ-μsinβFβ将物体加速度分解可得，a=acosθ=（cosβ-μsinβ）cosθ水平方向所需要的外力大小为FFθ+β(m+M)gF=ma=F（cosβFFθ+β(m+M)g=F(cosβcosθ-sinβsinθ)在用整体法分析，如图：力F在水平方向的分力为Fcos(θ+β)Fcos(θ+β)=F(cosβcosθ-sinβsinθ)所以，以上的情况并不是巧合，当μ=tanθ时，无论在物体上施加怎样的力，只要物体还在下滑，不管是加速，减速，还是匀速，地面对斜面体都没有摩擦力。以上我是用整体法分析的，可以看出，要用到较多的数学知识，过程也很麻烦。我们可以尝试用隔离法分析试下。不管我们对物体施加怎样的力，只要物体还在下滑，物体对斜面体一定有压力和沿斜面向下的摩擦力。开始物体匀速下滑，所以对斜面体受力分析如下左图：前面我们分析过，由于物体匀速下滑，N和f的合力一定是竖直向下的。并且，此时的摩擦力为滑动摩擦力，所以一定有：f=μN,也就是说f和N的比值是个定值为μ。FfNfNMgFfNfNMgFfNMg通过两种方法的比较，很显然隔离法在此道题目中更加简单。根据这种方法，我们再来分析其他的情况。Nf当μ＜tanθ时，Nf因为物体在沿斜面下滑，所以物体与斜面间还是滑动摩擦力，即f和N的比值还是为μ。但是与上面不同的是，由于μ＜tanθ，所以此时N和f的合力斜向左上方。FFFNfMg因为N和f的合力斜向左上方，导致N和f的合力是斜向右下方，所以，想要让斜面体静止在水平地面上，地面就一定对斜面体有水平向左的摩擦力。当μ＞tanθ时，分析方法与（3）完全相同。给物体一个向下的初速度，此时物体将会减速下滑。如果再加上另一个外力，只要物体还在继续下滑，物体就会受到沿斜面向上的滑动摩擦力，但由于μ＞tanθ，此时N和f的合力斜向右上方，那么斜面体受到物体的压力N和摩擦力f的合力是斜向左下方，所以地面就一定对斜面体有水平向