第1章-第4节-数列在日常经济生活中的应用

§4数列在日常经济生活中的应用学习目标1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．知识点一单利、复利思考1第一月月初存入1000元，月利率0.3%，按单利计息，则每个月所得利息是否相同？答案按单利计息，上一个月的利息在下一个月不再计算利息，故每个月所得利息是一样的．思考2第一月月初存入1000元，月利率0.3%，按复利计息，则每个月所得利息是否相同？答案不同．因为按复利计息，上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金，所以每个月的利息是递增的．梳理一般地，(1)单利是指：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和为a(1＋rx)．(2)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的．利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和a(1＋r)x.知识点二数列应用问题的常见模型1．整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，到期本息合计为an，则an＝A(1＋np)．其本质是等差数列已知首项和公差求第n项问题．2．定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，则到第n期末时，应得到本息合计为：nA＋eq\f(nn＋1,2)Ap.其本质为已知首项和公差，求前n项和问题．3．分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止．其本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取，到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．1．复利在第二次计息时，将上一次的本利和当作本金．(√)2．增长率＝eq\f(增长量,增长前的量).(√)3．同一笔钱，相同的利率，用单利计息和用复利计息收益是一样的．(×)类型一等差数列模型例1第一年年初存入银行1000元，年利率为0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和为________元．考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题答案1036解析设各年末的本利和为{an}，由an＝a(1＋nr)，其中a＝1000，r＝0.72%，∴a5＝1000×(1＋5×0.72%)＝1036(元)．即第5年末的本利和为1036元．反思与感悟把实际问题转化为数列模型时，一定要定义好数列，并确认该数列的基本量包括首项，公比(差)，项数等．跟踪训练1李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题解设第n个月存入的100元到期利息为an，则a1＝100×2.7‰×36，{an}是公差为100×2.7‰的等差数列．∴数列{an}的前36项和S36＝36a1＋eq\f(36×35,2)d＝36×100×2.7‰×36＋18×35×100×2.7‰＝179.82，3年共存入本金100×36＝3600(元)．∴到期一次可支取3600＋179.82＝3779.82(元)．类型二等比数列模型例2现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是________万元．考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案8×1.0255解析定期自动转存属于复利问题，设第n年末本利和为an，则a1＝8＋8×0.025＝8×(1＋0.025)，a2＝a1＋a1×0.025＝8×(1＋0.025)2，a3＝a2＋a2×0.025＝8×(1＋0.025)3，∴a5＝8×(1＋0.025)5，即5年末的本利和是8×1.0255.反思与感悟在建立模型时，如果一时搞不清数列的递推模式，可以先依次计算前几项，从中寻找规律．跟踪训练2银行一年定期储蓄存款年息为r，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q，按单利计算利息．银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应大于________．考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案eq\f(1,3)[(1＋r)3－1]解析设储户开始存入的款数为a，由题意得，a(1＋3q)>a(1＋r)3，∴q>eq\f(1,3)[(1＋r)3－1]．类型三分期付款例3用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题解购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(n－1,5)))(万元)(n＝1,2，…，10)．因而数列{an}是首项为4，公差为－eq\f(1,5)的等差数列．a5＝4－eq\f(5－1,5)＝3.2(万元)．S10＝10×4＋eq\f(10×10－1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))),2)＝31(万元)．因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．反思与感悟建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则．不易理解时就先试行规则，从中观察归纳找到规律．跟踪训练3某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还()A.eq\f(a1＋γ,1＋γ5－1)万元 B.eq\f(aγ1＋γ5,1＋γ5－1)万元C.eq\f(aγ1＋γ5,1＋γ4－1)万元 D.eq\f(aγ,1＋γ5)万元考点等比数列的前n项和应用题题点等比数列的前n项和应用题答案B解析根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x万元，则x[(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a(1＋γ)5，∴x·eq\f(1－1＋γ5,1－1＋γ)＝a(1＋γ)5故x＝eq\f(aγ1＋γ5,1＋γ5－1)(万元).1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程断续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()A．65只B．66只C．216只D．36只考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案B解析设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂，则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，∴{an}是首项为1，公比为6的等比数列．∴a7＝a1·q7－1＝66.2．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数是()A．32B．31C．64D．65考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案D解析可递推下去，4小时后分裂成18个并死去一个，5小时后分裂成34个并死去一个；6小时后分裂成66个并死去一个，65个存活．3．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有()A．6只B．5只C．8只D．7只考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案A解析依题意除去一只羊外，其余n－1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列．设a1＝7，d>0，Sn－1＝65－10＝55，∴(n－1)a1＋eq\f(n－1n－2,2)d＝55，即7(n－1)＋eq\f(n－1n－2d,2)＝55，∴(n－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7＋\f(n－2d,2)))＝55.∵55＝11×5且(n－1)为正整数，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7＋\f(n－2d,2)))为正整数．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－1＝5，,7＋\f(n－2,2)d＝11.))解得n＝6.1．数列应用问题的常见模型(1)一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(d为常数)．(2)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型．(3)如果容易找到该数列任意一项an＋1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题.2．数列综合应用题的解题步骤(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题.(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答．(4)还原——将所求结果还原到实际问题中．一、选择题1．夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山脚气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为()A．1600米 B．1700米C．1800米 D．1900米考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题答案B解析从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n，则14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，所以山的高度为h＝(18－1)×100＝1700(米)．2．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近()A．860个 B．1730个C．3072个 D．3900个考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案C解析由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a1＝3，q＝2，由27－(－34)＝61，eq\f(61,6)＝10eq\f(1,6)，可得，a11＝3·210＝3072，故选C.3．一个卷筒纸，其内圆直径为4cm，外圆直径为12cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)()A．14m B．15mC．16m D．17m考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案B解析纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·eq\f(4＋12,2)＝480×3.14＝1507.2(cm)≈15m，故选B.4．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg0.97＝－0.0132，lg0.5＝－0.3010)()A．22 B．23C．24 D．25考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案B解析依题意有(1－3%)n<0.5，所以n>eq\f(lg0.5,lg0.97)≈22.8，故选B.5．某人从2009年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，至2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为()A．a(1＋r)7B.eq\f(a,r)[(1＋r)7－(1＋r)]C．a(1＋r)8D.eq\f(a,r)[(1＋r)8－(1＋r)]考点等比数列的前n项和应用题题点等比数列的前n项和应用题答案B解析2009年存入钱为a元，2010年本息和为a＋a(1＋r)，2011年本息和为a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2，2012年本息和为a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3，2013年本息和为a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3＋a(1＋r)4，2014年本息和为a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3＋a(1＋r)4＋a(1＋r)5，2015年本息和为a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3＋a(1＋r)4＋a(1＋r)5＋a(1＋r)6，故选B.6．某厂在2010年年底制定生产计划，要使2020年年底的总产量在原有基础上翻两番(变为原来的四倍)，则年平均增长率为()A．－1B．－1C．－1D．－1考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案A解析设年增长率为x,2010年总产量为1，到2020年年底翻两番后的总产量为4，故1·(1＋x)10＝4，∴x＝－1.二、填空题7．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本息和．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案78ar解析依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝78ar.8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2016年的垃圾量为________吨．考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案a(1＋b)a(1＋b)7解析2009年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2009年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2016年是从2009年起再过7年，所以2016年的垃圾量是a(1＋b)7吨．9．某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是________．考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案eq\r(3,\f(10,9))－1解析设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a×90%×(1＋x)3＝a，∴1＋x＝eq\r(3,\f(10,9))，x＝eq\r(3,\f(10,9))－1.10．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S，为使S最小，电梯应当停在________层．考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案14解析设停在第x层，则S＝[1＋2＋…＋(20－x)]×2＋[1＋2＋…＋(x－2)]＝eq\f(3x2－85x,2)＋421，∴当x＝eq\f(85,6)时取最小值，而x∈{2,3，…，20}，∴当x＝14时取最小值．三、解答题11．家用电器一件，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．考点等比数列的前n项和应用题题点等比数列的前n项和应用题解方法一设每期应付款x元．第1期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x(1＋0.008)11(元)．第2期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x(1＋0.008)10(元)，…，第12期付款没有利息．所以各期付款连同利息之和为x(1＋1.008＋…＋1.00811)＝eq\f(1.00812－1,1.008－1)x，又所购电器的现价及其利息之和为2000×1.00812，于是有eq\f(1.00812－1,1.008－1)x＝2000×1.00812，解得x＝eq\f(16×1.00812,1.00812－1)＝176(元)．即每期应付款176元．方法二设每期应付款x元，则第1期还款后欠款2000×(1＋0.008)－x第2期还款后欠款(2000×1.008－x)×1.008－x＝2000×1.0082－1.008x－x，…，第12期还款后欠款2000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x，第12期还款后欠款应为0，所以有2000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0.∴x＝eq\f(2000×1.00812,\f(1.00812－1,1.008－1))＝176(元)．即每期应还款176元．12．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题解(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列．其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋eq\f(nn－1,2)×50＝25n2＋225n.令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列．其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1.由题意可知an>0.85bn，有250＋(n－1)·50>400×1.08n－1×0.85.由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n＝6，∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.13．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换10000辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比一年多投入a辆．设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设Sn，Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量．(1)求Sn，Tn，并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn；(2)该市计划用7年时间完成全部更换，求a的最小值．考点等比数列的前n项和应用题题点等比数列的前n项和应用题解(1)依题意知，数列{an}是首项为128，公比为1＋50%＝eq\f(3,2)的等比数列；数列{bn}是首项为400，公差为a的等差数列，所以数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(128\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n)),1－\f(3,2))＝256·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1))，数列{bn}的前n项和Tn＝400n＋eq\f(nn－1,2)a.所以经过n年，该市更换的公交车总数Fn＝Sn＋Tn＝256eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1))＋400n＋eq\f(nn－1,2)a.(2)易知Fn是关于n的单调递增函数，依题意得F7≥10000，即256eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))7－1))＋400×7＋eq\f(7×6,2)a≥10000，解得a≥eq\f(3082,21)，又a∈N＋，所以a的最小值为147.四、探究与拓展14.如图是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，设起始正方形的边长为eq\f(\r(2),2)，若共有1023个正方形，则最小正方形的边