布朗运动及其应用

布朗运动及其应用【摘要】：布朗运动作为一个简单的、连续的随过程，其发展随着物理和金融模型随机行为的发展在不停地进行着。这种随机行为的典型例子是气体分子的随机运动和资产定价的波动。布朗运动的应用很广泛，例如，图像中的噪声建模，分形生成，晶体生长和股票市场的模拟。本文开始对布朗运动包括其发现和之后的发展进行了概括性的介绍并探索了布朗运动和正态过程的关系以及布朗运动的一些性质布朗运动有许多有意思的性质，其中包括连续性和轨道几乎处处不可微的性质。并且无论对这种性质理解得多么透彻，这个性质看上去仍然很像布朗运动的性质，最后会对布朗运动在金融领域某些方面的应用进行探索。【Abstract】：Brownianmotion(WienerProcess)isasimplecontinuousstochasticprocessthatiswidelyusedinphysicsandfinancemodelingrandombehaviorthatevolvesovertime.Examplesofsuchbehavioraretherandommovementsofamoleculeofgasorfluctuationsinanasset’sprice.Brownianmotionhasawiderangeofapplications,includingmodelingnoiseinimages,generatingfractals,growthofcrystalsandstockmarketsimulation.This

article

willfirstconcentrateonintroducingBrownianmotionincludingitsdiscoveryanddevelopmentgenerally.ItalsostudiestherelationshipbetweenBrownianmotionandNormalprocessaswellasitsproperties.Brownianmotionhasanumberofotherinterestingproperties.Oneisthatrealizations,whilecontinuous,aredifferentiablenowherewithprobability1.Realizationsarefractals.Nomatterhowmuchyoumagnifyaportionofgraphofarealization,theresultstilllookslikearealizationofaBrownianmotion.FinallythearticlewilllookintosomeapplicationsofBrownmotioninthefinancialworld.【keywords】：Brownianmotion；Normalprocess；continuous；differentiable；目录第1章 引言 3第2章 关于布朗运动的概念和定义 32.1 基础概率知识 32.2 随机过程基础概念 4第3章 随机游动与布朗运动 63.1简单随机俳佪的数学表达及分布 63.2简单随机过程逼近布朗运动 73.2.1由Chapman-Kolmogorov方程逼近 73.2.2中心极限定理的方法： 8第4章 布朗运动概率密度及其性质 94.1有限维布朗运动的联合概率密度函数 94.1.1两个随机向量的概率密度转换公式 94.1.2有限维布朗运动的联合概率密度函数: 94.2布朗运动的性质 104.2.1布朗运动的正向马尔可夫性 104.2.2轨道性质：布朗运动的几乎所有轨道都不是有界变差 124.3 布朗运动与正态过程 13第5章 布朗运动的应用 155.1布朗运动在金融市场的应用 155.2首中时与最大值 155.3带有漂移的布朗运动 165.4几何布朗运动 21结语 22第1章 引言布朗运动（Brownianmotion）最初是由英国生物学家布朗（R.Brown）于1827年根据观察花粉微粒在液面上作“无规则运动”的物理现象而提出的，在布朗之后，这一问题一再被告提出，为此有许多学者进行过长期的研究。一些早期的研究者简音的把它归结为热或电等外界因素引起的。1905年，爱因斯坦依据分子运动论的原理提出了布朗运动的理论。就在差不多同时，斯莫卢霍夫斯基也作出了同样的成果。他们的理论圆满地回答了布朗运动的本质问题。爱因斯坦（Einstein）首次对这一现象的物理规律给出了一种数学描述，使这一课题有了显著的发展，这方面的物理理论工作在Smoluchowski，Fokker，Planck，Burger，FurthOrnstein，Ublenbeck等人的努力下迅速发展起来了，但数学方面却由于精确描述太困难而进展缓慢。PaulLevy从1910起数十年的工作，对Brown运动的研究有着深远的影响，他的著作《Processessstochastiquesetmouvenmentbrownnien》（1948年第一版，1965年第二版）至今仍对这方面的研究工作有许多启示与参考价值。直到1918年才由维纳（Wiener）对这一现象在理论上做出了精确的数学描述，构造出了一个概率空间（Wiener空间）及其上的随机过程来刻画Einstein的物理严格意义下的Brown运动。因而Brown运动也叫做Wiener过程。Wiener的论文“Differentialspace”，J.Mathandphoys。2.131-174是Brown运动研究的里程碑，可以这样说，由Einstein首创的Brown运动的数学模型，由Levy与Wiener大地发展深化了。这些工作使之成为现代概率论的重要部分。至今，由于大量的数学家与自然科学家的工作，Brown运动及其泛涵的研究不断深入发展，它已成为随机过程的两大基石之一，它不仅渗透到偏微分方程、调和分析、计算方法、控制等各数学领域，而用在生物、化学、物理、力学、工程、经济管理、金融等学科中Brown运动也成为不可缺少的研究工具，它是“噪声”与“涨落”等随机现象的典型，并提供处理的参考模式。第2章 关于布朗运动的概念和定义2.1 基础概率知识Definition2.1.1测度空间:设F为由Ω的某些子集构成的非空集类，若满足：若A∈F，则AC是A的补集，即AC=Ω-A；若An∈F，n∈N，则n则称F为σ域（σ代数），称（Ω，F）为可测空间。容易验证，若F为σ域，则F对可列次交、并、差等运算封闭，即F中的任何元素经可列次运算后仍属于F.例：集类F0=｛

∅，A，Ω｝，F1=｛Ø，A，AC，Ω｝及F2=｛A:∀A⊂Ω｝是σ域，但集类A=｛

Ø，A，Ω｝不是σ通常最关心的是包含所木研究对象的最小σ域.设A为由Ω的某些子集构成的集类.一切包含A的σ域的交，记为σ(A)，称σ(A)为由A生成的σ域，或称为包含A的最小σ域。概率空间是概率论的基础，概率的严格定义基于这个概念。它是是一个总测度为1的测度空间，下面是概率空间的定义。definition2.1.2概率空间：设（Ω，F）为可测空间，P是一个定义在F上的集函数，若满足：P(A)≥0,∀A⊂FP(Ω)=1;（规一性）若Ai∈F,i=1,2,…,且AiAj=∅，∀i≠jP(n=1∞Ai则称P为可测空间（Ω，F）上的一个概率测度（probabilitymeasure），简称概率（probability）.称（Ω，F，P）为概率空间（probabilityspace），称F为事件域.若A∈F，则称A为随机事件（randomevent），简称为事件，称P(A)为事件ADefinition2.1.3条件概率与条件分布函数：设随机变量(X,Y)及任一随机事件B∈F IB(ω)=1,即IB是B的示性函数.显然P(B)=E(IB(ω)).称E(IB(ω)|Y)≜P(B|Y)为事件B关于随机变量Y的条件概率，此时P(B|Y)是随机变量且是Y的函数，对于任意x∈R，取B=(ω:X≤x),称F(x|Y)≜P(X≤x|Y)=E(I(X≤x)|Y)为X关于Y2.2 随机过程基础概念如果我们把一系列的随机变量按时间的演化放在一起，则得到一个随机过程。Definition2.2.1随机过程：设对每一个参数t∈T，X(t，ω)是一个随机变量，称随机变量族XT=｛X(t，ω),t∈T｝为一随机过程（stochasticprocess）或称随机函数.其中T⊂R 用映射来表示XT， X(t，ω)，T×Ω→R，即X.(.)是定义在T×Ω上的二元单值函数，固定t∈T，X(t,.)是定义在样本空间Ω上的函数，即一随机变量.对于ω∈Ω，X(.,ω)（t在T中顺序变化）是参数t∈T的一般函数，通常称X(.,ω)为样本函数，或称随机过程的一个实现，说是一条轨道.记号X(t，ω)有时也写为Xt(ω)或简记为X(t)或Xt XT的取值也可以是复数，Rn或更一般的抽象空间.Xt(t∈T)可能取值的全体所构成的集合称为状态空间，记作S.S中的元素称为状态。Definition2.2.2独立增量过程：对t1<t2<…<tn，ti∈T，1≤i≤n，若增量 Xt1，Xt2-Xt2，Xt3-相互独立，则称｛Xt，t∈T｝为独立增量过程（processwithindependentincrement）.若对一切0≤s≤t，增量Xt-Xs的分布只依赖于t-s，则称XT有平稳增量.有平稳增量的独立增量过程简称为独立平稳增量过程.常见的泊松（Possion）过程和维纳（Wiener）过程就是两个最简单也是最重木的独立平稳增量过程。Definition2.2.3马尔可夫过程： 一随机过程，若已知现在的t状态Xt，那么将来状态Xu(u>t)取值（或取某些状态）的概率为过去状态Xs(s<t)取值无关，或更简单地说，已知现在，将来与过去无关（条件独立），则称此性质为马尔可夫性（无后效性或简称马氏性）.具有这种马尔可夫性的过程称为马尔可夫过程.精确定义： 随机过程｛Xt，t∈T｝，若对任意t1<t2<…<tn<t，xi，1≤i≤n，及A⊂R，总有 P(Xt∈A|Xt1=x1，Xt2=x2，…，Xtn=xn)=P(Xt则称此过程为马尔可夫过程（Markovprocess），简称马氏过程.Definition2.2.4布朗运动：标准Brown运动。或者简称Brown运动，又称Wiener过程，是定义在某一概率空间（Ω，F，P）上的满足下列条件的随机过程｛Wt(ω)，t≥0｝，ω0=0;具有独立增量过程：对任意的0≤t0<t1<…<tn,Wt1-Wt0，Wt2-Wt1增量服从正态分布：Wt-Ws服从N(0,t-s)的正态分布,∀t≥s≥具有连续的样本轨道：存在一个零概率集N∈F，使得对任意的ω∈Nc，Wt(ω)作为t的函数关于t连续。definition2.2.5n维布朗运动：{Wt=(W1t,W2t,…,Wnt),t对∀0≤t1<t2<…<tm，Wt1-Wt0,Wt2-Wt1对s≥0,t>0,增量Wt-Ws为n维正态分布，其概率密度函数为P(t,ω)=1(2πt)n2exp(-||x||2其中||x||=(1(3) 对每一ω∈Ω，Wt(ω)是tDefinition2.2.6正态过程：如果随机过程｛Xt,t∈T｝对任意ti∈T(i=1,2,…n);Xt1,Xt2,…,Xtn的联合分布为n维分布，则称｛Definition2.2.7布朗桥：｛Wt,t≥0｝为标准布朗运动，不妨设W0=0，W00t=Wt-tW1,则称｛W00t，0≤t≤1｝为布朗桥。第3章 随机游动与布朗运动3.1简单随机俳佪的数学表达及分布简单随机俳佪的数学表达考虑一个粒子在d-维空间格点（记为Zd）中的随机运动：粒子每隔单位时间相互独立地走一步，每一步可沿任意一个坐标方向走一个单位长.设粒子沿第k个坐标轴正向或负向走一个单位的概率分别是pk与q k=1d于是第k步粒子的位移是一个随机变量： xk(ω)=e1,概率为p1；-e其中e1,…,ed分别表示沿第1,…,d个坐标方向的单位向量，pk，qk≥0（0≤k≤d）. 为了要容纲所有的（无限个）相互独立的xk(ω)（k=1，2，…）,我们中要取Ω=｛（ω1，ω2,…,ωn,…）;ω0∈Zd,ωk∈{±e1,±e2,…,±ed}，k≥ P(ω，ω0∈A0，ω1∈B1,…,ωn∈Bn)=P0(A0)k=1n其中n≥0，P0（.）是Zd上任何一个概率分布，它代表随机俳佪的初始值ω0的分布；Bk⊂｛±e1,±e2,…,±ed｝，P(e所决定的概率，于是在Ω，F，P）中的坐标过程即可取为 xk(ω)=ωk （k=1，2，…令 ξn(ω)=ω0+k=n就是所得到的简单随机俳佪的数学表达.简单随机俳佪的分布设简单随机俳徊在时刻m的位置为x，在地刻n+m的位置为y，则经过n个单位时间它的位移是y-x这个事件的概率分布服从多项分布： pn(y-x)=nk1,h1,其中和号取遍满足以下条件的各项： k1+h1+k2+h而ki与hi分别表示在n步中沿ei的正向与负向所走的步数nm1,m2,…,m2d表示将n个元素分成2d堆，各有m1,m2,…,m2d个元素的分法数，它等等于n!m1!,m2!,…,md!P(ξn1=x1=x0∈Zdp03.2简单随机过程逼近布朗运动设X(t0)表示一个粒子作Brown运动中的x方向分量，x0为粒子在时刻t0的位置，即X(t0)=x0.设p(x,t|x0).表示在给定X(t0)=x0的条件下X(t+t0)的条件概率密度.我们假设所给的转移概率是平稳的，从而p(x,t|x0)不依赖于起始时刻t0.因为p(x,t|t0)是X的密度函数，故p(x,t|x0)≥0, -∞∞进一步，我们要求对充分小的t，X(t+t0)与X(t0)=x0非常接近，即 limt由物理原理，爱因斯坦证明了p(x,t|x0)必然满足偏微分方程 ∂p∂t=D∂2p∂2t. 上述方程称为扩散方程，D称为扩散系数.D的估计根据公式D=2RT/Nf来确定，其中R为气体（液体）常数，T为温度，N为Avogadro数，f为摩擦系数.3.2.1由Chapman-Kolmogorov方程逼近（*）式可以根据简单随机游动逼近的方式导出.考虑对称随机游机（即P(Xn=-1)=P(Xn=1)=12）,每次移动△x，其中xn表示粒子在第n时刻运动的方向，Sn=（X1+…+X2）△x表示在时刻n粒子的位置.以pk(n)表示时刻n△t时粒子处于位置k△x的概率，则由Chapman-Kolmogorov pk(n+1)=12pk+1(n)+12pk-1(n) 这方程也可以改写为 pk(n+1)-pk(n)=12[pk+1(n)-2pk(n)+12pk-1(n)]. 刻式左边是时间的一阶差分，而右边是位置变量的二阶差分.通过适当的极限过程让单位转移时间趋于0，同时让步长适当收缩到0，我们可以由上式得到（*）.特别，设转移时间间隔为△t，步长为△x，则上式可写为 pk△xn+1△t-pk△x(n△t)△t=然后令△t→0，△x→0而保持△t=(△x)2.再令n→∞，k→∞，使k△x→x，n△t→t，则pk△xn△t→p(x,t|x3.2.2中心极限定理的方法：设X(t)表示粒子在时刻t时的位置.粒子转移时间间隔和步长分别为△t和△x，Xk表示在时刻k△x时转移方向，则 X(t)=△x(X1+X2+…+p[t△t]), 其中[z]表示z的整数部分.由于EXi=0，Var(Xi)=1,故在(5.7)中，EX(t)=0,Var(X(t))=(△x)2[t△t],现令△x，△t→0，但趋于0的方式应保持方差不能趋于0或∞，即要求(△x)2=c2△t（因为若△x=△t，则Var(X(t))→0，从而由概率论知识得X(t)几乎等于0.如果△t=(△x)3，则Var(X(t))→∞，这也是不合实际情况的.因为由物理上粒子运动的连续性，不可能在很短时间内运离出发点.因此合理的假设只能是(△x)2=c2△t，其中c>0）.X(t)~N(0,c2t). 此外，由于在不相交时间间隔内的随机游动是独立的.因此我们可以知道Brown运动有独立增量.最后，由于在任何一段时间内随机游动位置变化的分布只依赖于区间的长度，故Brown运动应有平稳增量.第4章 布朗运动概率密度及其性质4.1有限维布朗运动的联合概率密度函数4.1.1两个随机向量的概率密度转换公式已知若Y=(Y1,Y2,…,Yn)是n维随机变量，g(y1,y2,…,yn)是它的概率密度函数，现有Xi=fi(Y1,Y2,…,Yn)(i=1,2,…,n)是Y的函数且存在唯一的反函数Yi=hi(X1,X2,…,Xn)若fi，hi有连续的偏导数，则X=(X1,X2,…,Xn)的概率密度函数为：f(x1,x2,…,xn)=gy1,y 其中J=α4.1.2有限维布朗运动的联合概率密度函数:设｛Wt,t≥0｝为标准布朗运动.令x0=0，t0=0.对0≤t0<t1<…<tn有（Wt1,Wt2,…为：f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)=i=1np(xi-xi-1其中p(x;t)=12πtexp{-证明：利用布朗运动的独立性.令Y1=Wt1- Y2=Wt2 ⋮ Yn=Wtn-即Wti=fi(Y1,Y2,…,Yn)=Y1+Y2+…+Yn=Wt1-Wt0+W所以Wti是独立增量过程，Y1,Y2,…,Y且Yi=Wti-Wti-1故（Y1,Y2,…,Yn）的联合密度函数是：g(y1,y2,…,yn)=i=1n12π(ti-ti-1Wti=fi(Y1,Y2,…,Yn)，并且存在唯一的反函数Yi=hi(Wt1,Wt2并且fi和hi有连续的偏导所以由前面引入的随机向量变换的概率密度公式，得(Wt1,Wt2,… f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)=g(y1,y2,…,yn)|J|. （4.4）这里的|J|=1于是有|J|=1;所以f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)=g(y1,y2,…,yn)=i=1n12πti-即得证.由上述定理很容易得出，在Wt1=x0的条件下，p(x;t2-t1|x0)=12π(t2-t1)exp{-x-x022t同样，在Wt0=x0下， p(x,t|x0)=p(x-x0,t)=12πtexp{-x-x022t}. 所以P(Wt0+t>x0|Wt0=x0)=P(Wt0+t≤x0|Wt0=x上式表明，给定初始条件Wt0=x0，对于任意的t>0,布朗运动在t0+t时刻的位置高于或低于初始位置的概率相等，均为1/2,4.2布朗运动的性质4.2.1布朗运动的正向马尔可夫性对0≤t0<t1<…<tn，在给定Wt1,Wt2,…,Wtn-即f=fWtn|Wtn-1=an-1(xn|证明：先求出所需要的概率密度函数： 设p(x;t)=12πexp{ =1\*GB3①Wt1,Wt2,…,W f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)==i=1np(xi-xi-1; =2\*GB3②Wt1,Wt2,…,f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)==i=1n-1p(xi-xi-1; =3\*GB3③Wtn-1,Wt 由t0<tn-1<tn，且W0=0，其中t0=0，x0=0 得：Wtn-Wtn-1与Wtn-1 故f(xn-1,xn;tn,tn-1)=p(xn-xn-1;tn-tn-1)p(xn-1-x0;tn-1-t0) =p(xn-xn-1;tn-tn-1)p(xn-1;tn-1). （4.12） =4\*GB3④Wtn-1的概率密度函数： f(xn-1;tn-1)=p(xn-1;tn-1). （4.13）于是有f =f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)f( =p(xn-an-1;tn-tn-1)=12πtn-tn-1exp-x fWtn|Wtn-1=an-1(xn|an-1)=f(xn-1所以fWt即布朗运动具有正向马尔可夫性。4.2.2轨道性质：布朗运动的几乎所有轨道都不是有界变差命题4.2.1：设0=t0<t1<⋯<tn=t，记λ=maxi1≤k≤n limλ→0i=1n(Wti-Wti-1)2m.s.其中m.s.表示均方收敛.证明：只需证：limλ→0E[由正态分布知：E[((Wti-Wti-1)4)]=3(ti-ti-1)2, E[((Wti-Wti-1)2)]=ti-ti-1, 于是有：E=E[(i =Var[i=1 =i=1nVar[(Wti-Wti-1)2] （因为W =i=1 =i =2i ≤2max =2λt→0（λ→0）.命题4.2.2=2\*ROMAN：定义随机过程列如下：ξn(k2-n):=i=1k(Wi2n-Wi-1而在每一小区间[(k-1)2-n，k2-n]上ξn为线性函数.则∀ limn→∞supt∈[0,T]|ξnt-t|=0, a.s..命题的证明：只需证明∀t=k2-n，（k=0，1，2，…,2n，n=1，2，…），有 limn→∞ξn因为E(ξnt-t)2=Var=2i=12=2∙2nt∙(12n)2=t2n-1所以E[n=1∞(ξnt=n=1∞t2n-1<∞. 从而n=1∞(ξn由此ξnt→t.命题4.2.3：布朗运动的几乎所有的轨道都是无限变差的. 证明：设（Ω，F，P）是｛Wt，t>0｝的概率空间.设0=t0<t1<⋯<tn=t，记λ=max用反证法证：假设命题=3\*ROMANIII不成立，则存在集合A∈F使得：∀ω∈A有n=1∞|Wt则有n=1≤maxi=λn=1∞|Wtiω-这与命题2的结论相矛盾，故假设不成立.所以得到结论：对任意给定的小区间，几乎对所有轨道ω，Wt关于t都不是有界变差函数。实际上布朗运动还有更强的性质：布朗运动在任意一点t≥0，几乎对所有的轨道ω均不存在有限的导数.4.3 布朗运动与正态过程正态过程：如果随机过程｛Xt,t∈T｝对任意ti∈T(i=1,2,…n);Xt1,Xt2,…,Xtn的联合分布为下面的定理4.3.1是判断一个正态随机过程是否为布朗运动的充分必要条件：定理4.3.1 设｛Wt，t≥0｝是正态过程，轨道连续，W0=0，∀s，t>0有 E(Wt)=0, E(WsWt)=t∧s，则｛Wt，t≥0｝是布朗运动，反之亦然. 证明：=1\*GB2⑴ （⇐）先证充分性，设0<s≤t，0<t1<t2<⋯<tn，已知｛Wt，t≥0｝是布朗运动， 则（Wt1,W f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)=i=1n12π(ti故Wt1,Wt2,…,且Wt～N(0,t)；Ws～N(0,s)；Wt-Ws～N(0,t-s)且Ws与Wt-Ws之间相互独立.E[Wt]=0,且轨道连续，W0=0则E[WsWt]=E[(Wt-Ws+Ws)Ws]=E[(Wt-Ws)Ws]+E[Ws =E(Wt-Ws)∙E(Ws)+Var(Ws) =0+s=s.充分性得证.=2\*GB2⑵ （⇒）再证必要性.已知｛Wt，t≥0｝是正态过程，轨道连续，W0=0， 则对∀0<s<t，有Wt～N(0,t)；Ws 于是计算Wt-Ws的均值和方差： E[Wt-Ws]=E[Wt Var[Wt-Ws =EWt2+EWs2 =t+s-2s=t-s； 故Wt-独立性：∀0<s E[(Wt1- =E[Wt =E[Wt1Wt2]-E[Wt1Ws =t1-s1-t1+s1=0.多维正态分布不相关与相互独立等价.综上：ω0=0;对任意的0≤t0<t1<…<tn,Wt1-Wt0，Wt2-WWt-Ws服从N(0,t-s)的正态分布,∀t≥s≥0｛Wt，t≥0｝轨道关于t连续.故｛Wt，t≥0｝是布朗运动.利用上面定理可以得到以下一些有用的结论：设｛Wt，t≥0｝是布朗运动，则(1)｛Wt+s-Wt，t≥0(2)｛1λWλt，t≥0｝(3)｛tW1t，t≥0｝，其中{W1t(4)｛Wt0+s-Wt0，0仍为布朗运动.第5章 布朗运动的应用5.1布朗运动在金融市场的应用将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。同时不会出现惊人相似的反复。随机现象的数学定义是：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。描述股价行为模型之一的布朗运动之维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式；而马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程。随机过程是建立在概率空间上的概率模型，被认为是概率论的动力学，即它的研究对象是随时间演变的随机现象。所以随机行为是一种具有统计规律性的行为。股价行为模型通常用著名的维纳过程来表达。假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。维纳过程说明只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关。股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(theweakformofmarketefficiency)相一致，也就是说，一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。5.2首中时与最大值首中时：设｛Wt，t≥0｝是布朗运动，不妨设W0=0.令Ta=｛t：t>0，Wt=a｝，则Ta表示首次击的时间（首中时）.下面探索T对任意t>0，Mt=max0≤s≤tWs表示[0,t]上的最大值. ｛Ta≤t｝=｛故有 P(Ta≤t)=P(Mt≥a)=P(max0≤s≤tWs≥a).为求P(Ta≤tP(Wt≥a)=P(Wt≥a|Ta≤t)∙P(显然，P(Wt≥a|Ta>t)=0，又由布朗运动的对称性知，在(Ta≤t)的条件下，即WT P(Wt≥a|Ta≤t)=P(Wt<a|Ta≤t)=故P(Ta≤t)=2P(Wt≥a). 于是，当a>0时，有P(Ta≤t =2 =2(1-Φ(at)). 而当a>0时，由于布朗运动的对称性，显然P(T-a≤t)=P(Ta≤t P(Ta≤t)=22π|a|t+∞e-u22d这就得到了首中时的分布.5.3带有漂移的布朗运动定义（带有漂移的布朗运动）：设{Wt，t≥0}为布朗运动，记X(t)=Wt+μt，μ为常数，称{X(t)带有漂移的布朗运动的背景是一个质点在直线上作非对称的随机游动，具有一定趋向，于不规则微观运动中又有一定宏观规则存在，如分子热扩散，电子不规则运动等。定理5.3.1 设Wt为一维Brown运动.其概率空间为（Ω，F，P）令Q(dω):=eWT-T2P(dω). 证明在Q-下，Wt-t为Brown运动，利用此事实计算P(证明：（1）先证在Q-下，Wt-t为Brown已知Wt为Brown运动，则a.ω0=0;b.对任意的0≤t0<t1<…<tn,Wt1-Wt0，Wt2-Wc.Wt-Ws服从N(0,t-s)的正态分布,∀t≥s≥d.Wt关于t是连续函数。 则=1\*GB3① W0-0=0-0=0； =2\*GB3② Wt-t也是关于t的连续函数； =3\*GB3③ 下面证明在Q-下Wt-t-(Ws-s)服从正态分布由于在P下，有∀0≤t≤T，WT-Wt与Wt 则EP(e=-∞+∞=et2. EP(Wt∙=-∞=e=et2[0+t]=tet2 于是有EP(Wt=EP(=tet2∙eT-t2=teT2 先证EQ[(Wt-t)∙(W证明：设对任意0<s<t<T有EQ[(Wt-t)∙(Ws=e-T2∙EP[eWTWtWs]-EP[eWTt=e-T2∙{EP[eW=e-T2∙{EP[eW=e-T2∙{EP[eWT-Wt∙e由于EP[eW=EP[eWT-Wt]EP[e=e=eT和EP[eW=EP[eWT-Wt]EP[e=e=eT2∙故EQ[(Wt-t)∙(Ws-s)]=e-T2{eT2∙(t-s)s+e得证.再证在Q-下，Wt-t充A={ω:WQ(Wt-t≤x)=AdQ=e-T2∙E=e-T2∙EP=e-T2∙EP[eWT-Wt]∙E=e=e=-∞=-∞即在Q-下，Wt-t于是根据以后结果有：EQ[Wt-t-(Ws-s)]=E=e-T2{EP[eWT=e-T2∙[(teT2-se=0.D=D=t+s-2=t+s-2s=t-s.这就证明了在Q-下Wt-t-(W=4\*GB3④ 下面证明对任意的0≤t0<t1<…<tn，(Wt1-t1)-(Wt0-证明：先求(Wt1-t1)-(W对∀0≤t0<t1<…<tn，有设Ai={ω:Wti-Q(Wt=Ai=e-T2∙=e=-∞=-∞a1-∞a2⋯-∞因此在Q-下，(Wt1-t1)-(W另外∀0≤sE=E=e=e-T2∙eT-t2=0.且由于Wt-t-(W得EQW故E=EN维联合正态分布中不相关与独立等