山东省泰安市2019年中考试卷（数学解析版）

2019年山东省泰安市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出

来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1.（4分）在实数|-3.14|,-3,-石，乃中，最小的数是（）

A.-百B.-3C.1-3.141D.兀

选

2.（4分）下列运算正确的是（）

428236224

A.八八/B.aa=aC.（2a）=6aD.a+a=a

【解析】A、故此选项正确；

B、a4。？：/，，故此选项错误；

C、（2^）3=8一,故此选项错误；

D、a2+a2=2a2,故此选项错误；

选A.

3.（4分）2018年12月8EI,我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入

近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）

A.4.2x109米B.4.2x108米c.42x107米D.4.2X10,米

【解析】42万公里=420000000〃?用科学记数法表示为：4.2xl（）8米，

选8.

4.（4分）下列图形：

【解析】①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确;

②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确：

③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；

④不是轴对称图形，故本选项错误.

选A.

5.（4分）如图，直线I"/%，Zl=30°,则N2+N3=（）

180°C.210°D.240°

【解析】过点后作石//4,

1,7/12，EF//1,,

.-.EF//1,//12,

/.Zl=ZAEF=30°,ZFEC+Z3=180°,

Z2+Z3=ZAEF+ZFEC+Z3=30°+180°=210°,

选C.

6.（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示:

A.众数是8B.中位数是8C.平均数是&2D.方差是1.2

【解析】由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8,故A选项正确；

10次成绩排序后为：6,7,7,8,8,8,9,9,10,10,所以中位数是g(8+8)=8,故8选项正确;

平均数为,(6+7x2+8x3+9x2+10x2)=82,故C选项正确；

方差为J1(6-8.2)2+(7-8.2尸+(7-&2>+(8-8.2)2+(8-8.2)2+(8-8.2)2+(9-8.2)2+(9-8.2)2+(10-8.2)2+(10-8.2)21=1.56>故

。选项错误；

选。.

5x+4..2(x—1),

7.(4分)不等式组2x+53x-2的解集是()

------------------->1

32

A.凡,2B.X...-2C.-2<%,,2D.-2,,x<2

,5x+4..2(x-l)①

【解析】■2x+53x-2,[②，

由①得，X...-2,

由②得，x<2,

所以不等式组的解集是-2,,x<2.

选£).

8.（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65。方向航行30亚珈至8港，然后再沿北偏西40。方向航行至C

港，C港在A港北偏东20。方向，则A,C两港之间的距离为（）km.

A.30+30石B.30+10^C.10+30^D.3073

【解析】根据题意得，ZCAB=65°-20°,ZACB=40°+20°=60°,AB=30夜，

过B作BE_LAC于E,

ZAEB=NCEB=90°,

在RtAABE中，ZABE=45°,AB=300,

AE=BE=—AB=30km,

2

在RtACBE中，ZACB=60°,

:.CE=^-BE=\0>j3km,

/.AC=AE+CE=30+106，

「.A,。两港之间的距离为（30+10G）k%,

选B.

9.（4分）如图，A48C是。的内接三角形，ZA=119°,过点C的圆的切线交8。于点尸，则NP的度

数为（）

A.32°B.31°C.29°D.61°

【解析】如图所示：连接。C、CD,

PC是。的切线，

..PCLOC,

40cp=90°,

NA=119。，

/.ZODC=1800-ZA=61°,

OC=OD,

.\ZOCD=ZODC=6l0,

/.ZDOC=180°-2x61°=58°,

/.ZP=90°-ZDOC=32°；

选A.

A

10.（4分）一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两

个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

5555

【解析】画树状图如图所示：

共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，

二.两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为"=3；

255

选C.

1234

1234512345123451234512345

11.（4分）如图，将。沿弦43折叠，A3恰好经过圆心O,若。的半径为3,则的长为（）

B.7tC.2万D.34

【解析】连接。4、。8,作于C,

由题意得，OC=—Q4,

2

Z.OAC=30°,

OA=OB,

NOBA=NO4C=30。，

:.ZAOB=\20°,

AB的长=""丑=2/r,

180

选C.

12.（4分）如图，矩形A8C。中，AB=4,4）=2,E为AS的中点，F为EC上一动点,P为"'中点,

连接P3,则的最小值是（）

A.2B.4C.叵D.272

【解析】如图:

当点尸与点C重合时，点P在2处，$=£><,

当点产与点E重合时，点P在8处，EP2=DP2,

.•.6E//CE且耳号=*E

当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP

由中位线定理可知：PtP//CES.P；P=-CF

；.点P的运动轨迹是线段PR,

.•.当6时，心取得最小值

矩形A8C。中，AB=4,A£）=2,E为相的中点,

:.XCBE、MDE.AfiCq为等腰直角三角形，。々=2

ZADE=ZCDE=ZCP.B=45°,ZDEC=90°

ND&R=90°

ZDPtP,=45°

ZP2f>B=90°,即

的最小值为BE的长

在等腰直角8c［中，CP}=BC=2

.•.期=2及

.•.P3的最小值是2后

选O.

二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

13.（4分）已知关于x的一元二次方程Y-（2A-l）x+公+3=0有两个不相等的实数根，则实数A的取值

范围是左<-口.

—4—

【解析】.•.△=（2左一1尸一4（公+3）=-4k+1-12>0,

解得上<-□；

4

答案：k<——■.

4

14.（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，

称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄

金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋

比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y

9x=1ly

两，根据题意可列方程组为_

(10y+x)-(8x+y)=13-

【解析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得:

［9x=lly

［（10y+x）—（8x+y）=13'

答案•俨="

［（10y+x）-（8x+y）=13，

15.（4分）如图，NAO3=90。，ZB=30°,以点。为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C,交OB

于点O,若。4=3,则阴影都分的面积为-TV.

—4-

【解析】连接0C,作CHLO8于H,

NAOB=90°,/B=30°,

ZOAB=60°,AB=2OA=6,

由勾股定理得，08=JAB?-OA?=36,

OA=OC,ZOAB=60°,

「.AAOC为等边三角形，

ZAOC=60°,

/.ZCOB=30°,

13

:.CO=CB,CH=-OC=—，

22

rrn曰/4/r7八gKXn604X3?1.1_/T3304x323

・•・阴影都分的面积=—77^——-x3x3ox^-+-x3V3x-一一——=-

36022223604

答案：力.

4

16.（4分）若二次函数y=f+法-5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程/+公-5=2x-13的解为

内=2j_%2=4__.

【解析】二次函数y=V+区一5的对称轴为直线x=2,

b八

­=2,

2

得b=-4,

贝！If+灰一5=2x-13可化为：x2—4x—5=2x—13,

解得，玉=2,%=4.

故意答案为：％=2,々=4.

17.（4分）在平面直角坐标系中，直线/:丫=五+1与y轴交于点A，如图所示，依次作正方形

正方形GA)B2c2，正方形GA87G,正方形C3A1B4C49.......9点A，4，4，Ai*........在直线/上，点

则前〃个正方形对角线长的和是—夜(2"-1)_.

点A的坐标为(。，1)，点4的坐标为(1,2),点A的坐标为(3,4),点A的坐标为(7,8),

/.ox,=1,G&=2,GA=4»GA=8,...,

.•.前〃个正方形对角线长的和是：V5(OA+G4+C2A+C3A+~+C,TA,)=&(1+2+4+8+—+2"T),

设S=l+2+4+8+...+2"T,则2s=2+4+8+...+2"-'+2",

则2S-S=2"-1,

.-.S=2"-1,

.­.1+2+4+8+...+2"-1=2"-1,

.•.前〃个正方形对角线长的和是：72x(2--1),

答案：&(2"-1),

18.(4分)如图，矩形A8C。中，AB=3娓,BC=12,£为AD中点，歹为回上一点，将4止尸沿防

折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕所的长是_2岳

【解析】如图，连接EC,

四边形ABC。为矩形，

•.ZA=ZD=90°,BC=AD=\2,DC=AB=3屈,

E为4)中点，

・,.AE=DE=-AD=6

2

由翻折知，/SAEF=AGEF,

;.AE=GE=6,ZAEF=ZGEF,ZEGF=ZEAF=90°=ZD,

/.GE-DE,

二.EC平分NOCG,

/.Z.DCE=ZGCE,

ZGEC=90°-NGCE,ZDEC=90°-ZDCE,

Z.GEC=/DEC,

.・.Z.FEC=ZFEG+NGEC='x180。=90。，

2

・,.ZFEC=/D=90°,

又ZDCE=ZGCE,

AFECsbEDC,

：.-F-E=-E-C-，

DEDC

EC=y/DE2+DC2=而+=府=3M,

FE_3回

...=>

63V6

FE=2A/15,

答案：245.

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

19.（8分）先化简，再求值：3一9+三）+3-1-竺二匕，其中“=0.

a+\a+\

【解析】原式=（*+篇）+（磊4«-1

a+1

/一8々+16a2-4a

a+\a+\

_（a-4）2〃+1

a+\〃（〃一4）

_a-4

-------，

a

当4=夜时，

原式=也r=1-2应.

夜

20.（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根

据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：

组别分数人数

第1组90<工,1008

第2组80<工，90a

第3组708010

第4组60<x,,70b

第5组50<片,603

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）求出a,8的值；

（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；

（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？

【解析】（1）抽取学生人数10+25%=40（人），

第2组人数40x50%-8=12（人），

第4组人数40x50%-10-3=7（人），

a=12,b=7；

3

（2）360°x—=27°,

40

.­.“第5组”所在扇形圆心角的度数为27。；

（3）成绩高于80分：1800x50%=900（人），

成绩高于80分的共有900人.

21.(11分)已知一次函数y=^+8的图象与反比例函数y=》的图象交于点A,与x轴交于点8(5,0),

X

若08=AB,且5⑷产孩•

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)若点尸为x轴上一点，A4BP是等腰三角形，求点P的坐标.

【解析】(1)如图1,过点A作AOLx轴于

仇5,0),

/.08=5,

?.—x5xAD=—，

22

AD=3,

OB=AB,

AB=59

在R3ADB中，BD=y/AB2-AD2=4,

/.00=03+80=9,

/.49,3),

将点A坐标代入反比例函数y=生中得，机=9x3=27,

x

.•.反比例函数的解析式为y=2,

X

(9攵+6=3

将点49,3),8(5,0)代入直线>二丘+6中，「，八

[5%+/?=0

k=-

4

..<,

3

b7=—

/.直线AB的解析式为y=^x--；

(2)由(1)知，AB=5,

AABP是等腰三角形，

.•.①当/W=依时，

PB=5,

.•.尸(0,0)或(10,0),

②当钻=AP时，如图2,

由(1)知，BD=4,

易知，点P与点8关于AD对称，

:.DP=BD=4,

.•."=5+4+4=13,P(13,0),

③当尸3=A尸时，设P(a,0),

A(9,3),8(5,0),

:.AP2=(9-a)2+9,3P2=(5-4,

(9—d)~+9=(5-a)~

65

a=—,

8

0),

8

即：满足条件的点P的坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或(①，0).

8

22.(11分)端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进

A、3两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是8种粽子单

价的1.2倍.

(1)求A、3两种粽子的单价各是多少？

(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、8两种粽子共2600个，已知A、8两种粽子的进价不

变.求A种粽子最多能购进多少个？

【解析】(1)设3种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为I.2x元/个，

根据题意，得：幽+幽=1100,

x1.2x

解得：x=2.5,

经检验，尤=2.5是原方程的解，且符合题意，

1.2x=3.

答：A种粽子单价为3元/个，8种粽子单价为2.5元/个.

(2)设购进A种粽子加个，则购进8种粽子(2600-⑼个，

依题意，得：3»/+2.5(2600-w)„7000,

解得：/«,,1000.

答：A种粽子最多能购进1000个.

23.(13分)在矩形中，AE_L8D于点E,点P是边AD上一点.

(1)若BP平分ZABD,交AE于点G,PFLBD于点F,如图①，证明四边形AGFP是菱形；

(2)若PELEC,如图②，求证：AEAB=DEAP-,

(3)在(2)的条件下，若AB=1,BC=2,求AP的长.

【解答】（1）证明：如图①中,

四边形A8CO是矩形，

ZBAD=90°,

AE1.BD,

ZAED=90°,

.•.NBAE+NEAD=90。,/LEAD+ZA£>E=90°,

1.ZBAE=ZADE,

ZAGP=/BAG+ZABG,ZAPD=ZADE+ZPBD,ZABGZPBD,

ZAGP=ZAPG,

AP=AGf

PALAB,PFLBD,BP平分ZABD,

:.PA=PF,

PF=AG,

AE.LBD9PF±BD,

PF//AG,

四边形AGFP是平行四边形，

PA=PF,

厂.四边形4GEP是菱形.

（2）证明：如图②中，

ZAED=NPEC=90°,

，ZAEP=/DEC,

ZEAD+ZADE=90°,ZADE+ZCDE=90°,

；.NEAP=/EDC,

/.\AEP^\DEC,

AE_AP

'~DE~~DC'

AB=CD,

:.AEAB=DEAP-.

(3)解：四边形A4C。是矩形，

/.BC=AD=2fNBA。=90。，

:.BD=^AB2+AD2=45，

AE±BD,

.■.SMBD=^BDAE=^ABAD,

32后

5

DE=4AD2-AE2=竽,

AEAB

2指.

-xl

"=5=一

4石2

W

24.(13分)若二次函数y=ar2+fer+c的图象与x轴、y轴分别交于点43,0)、8(0,-2),且过点C(2,-2).

(1)求二次函数表达式；

(2)若点尸为抛物线上第一象限内的点，且曲=4,求点P的坐标；

(3)在抛物线上(A8下方)是否存在点使NA8O=ZA8M?若存在，求出点”到y轴的距离；若不

存在，请说明理由.

【解析】(1)二次函数的图象经过点4(3,0)、3(0,-2)、C(2,-2)

2

a--

9a+3Z?+c=03

<0+0+。=一2解得：

3

4。+2方+c=-2

c=-2

94

•・二次函数表达式为广铲「丁一2

(2)如图1,设直线8P交x轴于点C,过点P作尸。_Lx轴于点£>

94

设P”，一产一一r-2)(/>3)

33

24

.・.。0=1,PD=-t2——1-2

33

设直线族解析式为》=丘-2

把点尸代入得：kt-2=-t2--t-2

33

/.直线BP:y—(―t——)x—2

当y=0时，(：,一；)％—2=0,解得：x~~~2

3

/.C(——,0)

t-2

t>3

—2>1

<3,即点C一定在点A左侧

t-2

S由=+Si=3AC08+《AC叩=gAC(O8+PD)=4

摔U(2+|Y-2)=4

解得：：=4,t2=-1（舍去）

4_3.2工16-10

——2=—

33333

.・•点P的坐标为%）

（3）在抛物线上（A8下方）存在点"，使NA8O=NA3M.

如图2,作点。关于直线A3的对称点石，连接。后交于点G,连接8石交抛物线于点M,过点E作

即，y轴于点尸

二.AB垂直平分。石

BE=OB,OG=GE

ZABO=ZABM

A(3,0)、B(0,-2),/AOB=90°

/.OA=3,OB=2,AB=4o^+O^=x[Vi