人教版八年级上册《因式分解》例题与讲解

14.3因式分解因式分解定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法是相反方向的变形:?如(a+b)(a——b2.即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是b)““和化积”，故能够用整式乘法来查验因式分解的正确性.谈重点因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式

.

(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示

，否则不是因式分解.(3)因式分解中每个括号内如有同类项要归并，因式分解的结果要求必须将每个因

式分解彻底

.【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是

(

).A.a(x+y)=ax+ay2y—4y+4=y(y—4)+4210a—5a=5a(2a—1)y2—16+y=(y+4)(y—4)+y2.公因式(1)定义要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时:看系数，二看字母，三看指数.解技巧多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.确定公因式的方法数的最大条约数作为公因式的系数.二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幕.最后还要根据情况确定符确定多项式的公因式的方法确定一个多项式的公因式时，确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数),取各项系对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；【例

2】把多项式

6a3b2—

3a2b2—

12a2b3

分解因式时，应提取的公因式是

(

).22A.3ab

B.3ab33C.3ab

D.3ab提公因式法定义一般地，如果多项式的各项有公因式，能够把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.⑵提公因式的步骤①确定应提取的公因式；⑶—27a2b+9ab2—18ab;(4)2x(a-2b)—3y(2b—a)—4z(a—2b).②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式.警误区提公因式要彻底

(1)所提的公因式必须是

“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；

⑵如果多项式的首项系数是负数，应先提出

“一”号

.可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”.【例3】用提公因式法分解因式：2

2

33

2(1)12xy

—

18xy

—

24xy

；

(2)5x

—

15x+5

；⑶—27a2b+9ab2—18ab;(4)2x(a-2b)—3y(2b—a)—4z(a—2b).用平方差公式分解因式因式分解的平方差公式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积22=(a+b)(a—b).?a即—b这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来.平方差公式的特点左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积?凡是切合平方差公式左边特点的多项式都能够用这个公式分解因式.【例4】把下列多项式分解因式：(1)4x2—9;(2)16m2—9n2;322(3)ab—ab;(4)(x+p)—(x+q).用完全平方公式分解因式因式分解的完全平方公式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方?即a2+2ab+b2=(a+b)2,a2—2ab+b2=(a—b)2.这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来.(2)完全平方公式的特点左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项为哪一项平方项幕的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号.【例5】把下列多项式分解因式：22(1)x2+14x+49;(2)(m+n)2—6(m+n)+9;22(4)—x2—4y2+4xy.3ax+6axy+3ay;十字相乘法如果多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，也不能分组分解时，可采用此法。二次三项式：多项式ax2bxc，称为对于x的二次三项式，其中ax2称为二次项，bx为一次项，c为常数项?比如X，2-2X-3和x25x6都是，这里要确定四个常数，一般要借助“画十字交错对于x的二次三项式.(2)它的特点是“拆两端，凑中间”线”的办.法来确定2axbxc匸A虚线框部分可在底稿纸进行2分解结果：axbxc=(a1xc1)(a2xc2)22【例6】(1)分解因式：x5x6(2)分解因式：x-7x61-11X21X3=51-6I+(-1)+(-6)=-7________________________________________解：原式=(x2)(x3)解：原式=(x_1)(x_6)(3)分解因式：3x2-11x10x-5yy+6y1X-21(-6)+(-5)=-11解：原式(~3y)^(-2y/=(x2)(3x5)=-5y解匸原式=(屮即)(十3]')点拨二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，常数项的分解二次项系数的分解和随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点,习，积累经验，才能提高速度和正确性.要适合增加练【例7】分解因式：(1)X2+3X+2(2)x2-2x-152(3)3x■8x-3?分组分解法

1'7'-如果多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，则考虑分组分解。(1)分组后能直接提公因式【例8】分解因式：aman?bm?bn解：原式=(aman)(bmbn)=a(mn)?b(mn)*每组之间还有公因式！=(mn)(ab)【例9】分解因式：2axTOay'5by-bx222a-2abb-c(2)分组后能直接运用公式【例10】(1)分解因式：x2_y2axay基本方法煤車隨力因式分解的一般步骤根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法，其一般步骤可归纳为：先考虑可否提公因式，再考虑可否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法?以上步骤可用口诀归纳如下：

.

对于一个还能持续分解的多

项式因式仍旧用这一步骤频频进行“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法频频试，检查是否能持续”

?9.运用公式法分解因式易出现的错误在分解因式时，多项式的项数假如两项，且含有平方项，则考虑用平方差公式进行分解因式.若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式或十字相乘法.在应用公式法分解因式时常出现的错误是：对公式的构造特点掌握不熟，理解不透彻，易出现符号、项数上的错误，二次项、一次项系数搞错，把两个公式混杂等.【例11】把下列各式分解因式：233322(1)18xy—50y；(2)axy+axy—2axy.解：【例

12】下列各式能用完全平方公式分解因式的是

(

)?21

a2①4x2—

4xy—y2;②x2+~x+

;③一1

—

a一一；④

m2n2+4

—

4mn;

⑤a2—

2ab+4b

2;⑥x2525

4—8x+9.A?1

个

B?2

个

C.3

个思维拓展创新应用运用分解因式解决着手操作题这类题目主要考察着手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图等?不单考考察查动想手象能能力力，，还往往与面积、对称性质联系在一同?此类题目就是经过拼图，用不同的表式示子图形面积，以达到把多项式分解因式的目的.【例13】某同学剪出若干个长方形和正方形卡片，如图(1)所示，选用图(1)中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形如图(2)，根据拼成的图形的面积，把多项式a2+(2)4ab+3b2分解因式.图⑵1?用提公因式法因式分解am+an;2?用公式进行因式分解：2(1)m+2m+1;(3)(a+b)—4a3.用十字相乘法分解因式2⑴x+7X+10；4?利用分