数学毕业论文-浅谈微积分思想在几何中的应用及咖啡店创业计划书

毕业论文题目：浅谈微积分思想在几何问题中的应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学毕业年限：学生姓名：***学号：************指导教师：**

目录摘要……………………2关键字…………………2Abstract………………2Keywords………………21微积分介绍…………31.1微积分的基本内容……………32微分在几何问题中的应用…………52.1一元微分的几何应用…………52.2多元微分的几何应用…………73积分在几何问题中的应用…………93.1定积分的几何应用……………93.2二重积分的几何应用…………163.3三重积分的几何应用…………17结束语…………………20参考文献………………21浅谈微积分思想在几何问题中的应用***（西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州730070）摘要：微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何问题中的应用。一元微分可以求曲线的长；多元微分可以求曲线的切线、切平面、法线、法平面；定积分可以求曲线的长、图形的面积、立体的体积；二重积分可以求图形的面积、立体的体积；三重积分可以求立体的体积。关键词：一元微分多元微分定积分二重积分三重积分曲线的长面积体积

Applicationofdifferentialcalculusthoughtingeometricproblems.LvDanqin(Collegeofmathematicsandstatistics,NorthwestNormalUniversity,GansuLanzhou730070)Abstract:Applicationofdifferentialcalculusthoughtingeometricproblemsconsistsofadifferential,multipledifferential,integral,doubleintegral,integralrespectivelythreeapplicationsingeometricproblems.Adifferentialcanfindthelengthofthecurve;tangent,multivariatedifferentialcanfindthecurvetangentplane,normal,normalplane;definiteintegralcanbethelengthofthecurve,thegrapharea,volumeofsolid;doubleintegralcanbegraphicsarea,three-dimensionalvolume;threepointscanbeobtainedthree-dimensionalvolume.Keywords:Adifferentialmultipledifferentialntegraldoubleintegralthreeintegralcurvelengthareavolume

1微积分介绍1.1微积分的基本内容1.1.1一元微分定义：设有函数，若存在常数A，使得对于自变量的改变量，函数的改变量可以表示为：，则称在点处可微，并称为在点处的微分，记为或，即=或=.几何意义：表示曲线在点处的切线上的点的纵坐标相应于的增量。1.1.2多元微分多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。定义：设有二元函数，若存在常数A,B使得对于自变量和的改变量和，函数的改变量可以表示为则称函数在点可微，并称为在点处的全微分，记为或，即或.1.1.3定积分定义：设函数在区间上有定义，用分点将区间分成n个小区间，小区间的长度为，记，在每个小区间上任取一点，作乘积和式成为积分和，当（即n无限增大）时积分和的极限如果存在，且此极限与的分法及的取法无关，则称函数在区间上是可积的，并称此极限为函数在区间上的定积分，记作。其中符号“”称为积分符号，称为被积函数，称为积分变量，区间称为积分区间，称为积分下线，称为积分上限。1.1.4二重积分定义：设是定义在平面有界闭区域上的有界函数对区域的任意划分以及任意属于的点，作和式（其中表示的面积）。当时（为的直径），如果不论对怎样划分，点怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数在区域上是可积的，并称该常数为函数在区域D上的二重积分，记作，即。其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，和叫做积分变量，叫做积分区域。1.1.5三重积分定义：设是定义在空间有界闭区域上的有界函数。对区域的任意划分以及任意取法，作和式（其中表示的体积）。当（为的直径），如果不论对怎样划分，点怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数在区域上是可积的，并称该常数为函数在区域上的三重积分，记为，即。其中叫做被积函数，叫做体积元素,叫做积分变量，叫做积分区域。2微分在几何问题中的应用2.1一元微分的几何应用2.1.1求平面曲线的切线若函数在包含的区间上可导，则曲线在点有切线，切线方程为。例1、写出过点而与曲线相切的直线的方程。解:将曲线方程写成函数形式。设所求直线与曲线相切于点,则直线斜率为。根据直线斜率意义可得。将和代入上式得到关于u的方程。整理后得二次方程，解得或，即切点可能是或；所以满足要求条件的切线有两条，用两点式直线方程写出整理后分别为：和如图一图一2.1.2求参数方程曲线的切线设曲线由下列参数方程表示，，函数和都在区间上可导，则对于任意，当时，对应的上的点处有切线，其方程为。这里。也就是说，是曲线在处切线的方向向量。例2、设曲线的参数方程为，求曲线上对应于的点处的切线方程.解：计算得故曲线上对应于处的切线的方向向量为结合，可得点处的切线方程为，整理得2.2多元微分的几何应用2.2.1空间曲线的切线与法平面设曲线的参数方程为，并假设参数方程中三个函数的导数均存在，且在的某一个确定值处，三个导数不同时为零。设取参数时，对应曲线上的点为则有直线的两点式得割线方程为。向量为割线的方向向量，向量同样是割线的方向向量，所以割线方程可表示为。当时，点沿曲线趋于点,因为不同时为零，所以非零向量为曲线在点处的切线方向向量，切线的方程为。向量又称为曲线在点处的切向量，显然向量s又是曲线上的点处的法平面的法向量，所以曲线在点处的法平面方程为。例3、求柱面螺旋线在处的切线方程与法平面方程。解：因为，，。故当时，对应点为所以在点处的切线方程为法平面方程为，或。例4、求曲线在点（1,1,1）处切线方程。解：对方程两边同时对自变量求导数并移项，得的条件下，由克拉默法则，得，，所以，。所以曲线在点（1,1,1）处的切向量为，故曲线在点（1,1,1）处的切线方程为，即。2.2.2曲面的切平面与法线设曲面的方程为，曲面上一点，设函数在点处具有连续的偏导数（即在点处连续），且不同时为零（不全为零）。设曲面上过点的任意一条曲线的参数方程为，设时，对应于曲面上的点，且存在但不完全为零。向量垂直于曲面上过点的任意曲线在该点处的切线。这就是说，过点M0的的所有曲面曲线在点处的切线都在过点且垂直于向量的平面上，所以平面为曲面在点处的切平面，向量即为切平面的法向量。曲面在点处的切平面方程为。又因为曲面在点处的的法向量，所以曲面在点处的法线方程为。例5、设曲面上点处有，求曲面在此点处的切平面方程及法线方程。解：由题意知曲面在给定点处的法向量切平面方程为，即。法线方程为。3积分在几何问题中的应用3.1定积分的几何应用3.1.1求平面曲线的弧长设平面曲线方程具有连续导数，则其弧长微分为，从而曲线位于区间[a,b]中的弧长为。例6、计算曲线的弧长（图二）图二解：由于，故由弧长公式知即曲线的弧长约为。例7、设为心脏线的下半部，求的弧长.解：心脏线下半部分的极坐标方程为，所以。故3.1.2求平面曲线的全长例8、计算星形线的全长。解：因为，。星形线是对称曲线，得3.1.3求曲线包围的面积由曲线，直线所围成的底边在轴上的曲边梯形的面积为。由曲线，直线所围成的底边在轴上的曲边梯形的面积为。由曲线，直线及轴所围成的平面图形的面积为。由曲线，直线及轴所围成的平面图形的面积为。例9、求由曲线所围成的图形面积。解：所围成的图形如图三，记为图三求曲线的交点，解得.所以在区间[0,1]，。在区间，。故所围成图形的面积为。例10、计算包围在双纽线内部及圆外部图形的面积。解：易见双纽线函数的周期为，且根据双纽线函数的定义区间和余弦函数性质知在即部分没有图形，由周期性知在也没有图形。且其图形对称于极轴，从而其图形分布在及之间。设所求图形面积为，则有对称性知应为第一象限部分面积的四倍。下图阴影部分是位于第一象限中的情形。图四（图中q即为θ）先求出两曲线交点:得交点为。从而3.1.4求旋转体的表面积按照定积分的元素法，对于分点，因为,所以可以将弦绕x轴形成的侧面积来代替曲线弧形成的侧面积，从而当函数可导时，（以切线长带弦）对于曲线绕y轴旋转的情况，可得，，。例11、求的曲线绕x轴旋转所成图形的表面积。解：由得3.1.5求立体的体积旋转体体积由连续曲线在区间上围成的曲边梯形绕轴旋转一周形成的旋转体的体积为。由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积为。例12、求，，及围成的图形围绕轴旋转所得的旋转体的体积。解：易见所求旋转体体积等于（即）在区间上围绕轴形成的旋转体与（即）在区间上围绕轴形成的旋转体的体积之差。由图五可知，在区间上，图五所以已知平行截面表达式的立体体积设所给立体垂直于轴的截面面积为，区间上连续，则对应于小区间的体积元素为，因此所求立体体积为。例13、设有一几何体，其底面为xy平面上的圆，而用任何位于区间而垂直于轴的平面去截该几何体，截面都是正三角形。求其体积。解：过轴上区间任意点作垂直于轴的平面与几何体相交，得截面为正三角形，因而其面积为从而知该几何体体积为3.2二重积分的几何应用3.2.1求曲线围成的面积在直角坐标系下当所求区域为型区域时，有；当所求区域为型区域时，则有。例14、用二重积分求曲线及轴在第一象限所围成的区域的面积。解：记所求区域为，其面积为，则在极坐标系下如果，则在极坐标系下有例15、计算心脏线所围成的平面区域的面积。解：因为对任意，，所以心脏线所围区域可表示为，故其面积为3.2.2求立体的体积体积，其中为曲顶柱体的曲顶。例16、计算由三个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积。解：所求立体是一个曲顶柱体，曲顶方程是：。区域，所以3.3三重积分的几何应用（求立体的体积）3.3.1在空间直角坐标系下设积分区域由集合所确定，这里在平面上的投影区域是一个型区域，它对于平行于轴且通过内点的直线与的边界至多交于两点。现设在上连续，在上连续，在[a,b]上连续，则有同样的，当把区域投影到平面或平面上时，也可写出相应的累次积分。例17、计算，其中为由平面与所围的区域。解：在平面上的投影区域是型区域，这里，所以有3.3.2在柱面坐标下柱面坐标系与直角坐标系变量间的关系：，由于变换的函数行列式，所以，三重积分的柱面坐标换元公式为，这里为在柱面坐标变换下的原象。例18、计算，其中是由曲面与为界面的区域。解：在平面上的投影区域D为。按柱面坐标变换，区域可表示为所以有。3.3.3在球面坐标下球面坐标系与直角坐标系变量间的关系：，由于变换的函数行列式，当在上取值时，所以，三重积分的柱面坐标换元公式为，这里为在球面坐标变换下的原象。例19、求由圆锥体和球体所确定的立体体积，其中和为常数。解：在球坐标变换下，球面方程可表示成，锥面方程可表示成。因此求得的体积为。结束语微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何中的应用，这些应用主要包括求曲线的长、求图形的面积、求立体的体积。也许还有其他应用，这就需要我们去探索研究。参考文献[1]龚升.林立军.简明微积分发展史[M].湖南：湖南教育出版社，2021.[2]王宝富.钮海.多元函数微积分（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2021.[3]李启文.谢季坚.微积分学习指导与解题指南（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2021.[4]于新凯.金少华.郭献洲.微积分典型问题分析与习题精选[M].天津：天津大学出版社，2021.[5]张银升.安建业.微积分名师导学[M].北京：中国人民大学出版社，2021.[6]张景中.直来直去的微积分[M].北京：科学出版社，2021.[7]华东师范大学数学系.数学分析（下册第三版）[M].北京：高等教育出版社，2021.[8]贾晓峰.微积分与数学模型（上册）[M].北京：高等教育出版社，2021.[9][美]G.B.小托马士.R.L.芬尼.微积分与解析几何详解（上册）[M].北京：晓园出版社，1994.aganemploymenttribunalclaiEmloymenttribunalssortoutdisagreementsbetweenemployersandemployees.Youmayneedtomakeaclaimtoanemploymenttribunalif:youdon'tagreewiththedisciplinaryactionyouremployerhastakenagainstyouyouremployerdismissesyouandyouthinkthatyouhavebeendismissedunfairly.Formoreinformu,takeadvicefromoneoftheorganisationslistedunder

Furtherhelp.Employmenttribunalsarelessformalthansomeothercourts,butitisstillalegalprocessandyouwillneedtogiveevidenceunderanoathoraffirmation.Mostpeoplefindmakingaclaimtoanemploymenttribunalchallenging.Ifyouarethinkingaboutmakingaclaimtoanemploymenttribunal,youshouldgethelpstraightawayfromoneoftheorganisationslistedunder

Furtherhelp.ationaboutdismissalandunfairdismissal,see

Dismissal.Youcanmakeaclaimtoanemploymenttribunal,evenifyouhaven't

appealed

againstthedisciplinaryactionyouremployerhastakenagainstyou.However,ifyouwinyourcase,thetribunalmayreduceanycompensationawardedtoyouasaresultofyourfailuretoappeal.Rememberthatinmostcasesyoumustmakeanapplicationtoanemploymenttribunalwithinthreemonthsofthedatewhentheeventyouarecomplainingabouthappened.Ifyourapplicationisreceivedafterthistimelimit,thetribunalwillnotusuallyaccepti.IfyouareworriedabouthowthetimelimitsapplytoyouIfyouarebeingrepresentedbyasolicitoratthetribunal,theymayaskyoutosignanagreementwhereyoupaytheirfeeoutofyourcompensationifyouwinthecase.Thisisknownasa

damages-basedagreement.InEnglandandWales,yoursolicitorcan'tchargeyoumorethan35%ofyourcompensation

ifyouwinthecase.Youareclearaboutthetermsoftheagreement.Itmightbebesttogetadvicefromanexperiencedadviser,forexample,ataCitizensAdviceBureau.

TofindyournearestCAB,includingthosethatgiveadvicebye-mail,clickon

nearestCAB.Formoreinformationaboutmakingaclaimtoanemploymenttribunal,see

Employmenttribunals.The(lackof)airupthereWatchmCaymanIslands-basedWebb,theheadofFifa'santi-racismtaskforce,isinLondonfortheFootballAssociation's150thanniversarycelebrationsandwillattendCity'sPremierLeaguematchatChelseaonSunday."IamgoingtobeatthematchtomorrowandIhaveaskedtomeetYayaToure,"hetoldBBCSport."Formeit'sabouthowhefeltandIwouldliketospeaktohimfirsttofindoutwhathisexperiencewas."Uefahas

openeddisciplinaryproceedingsagainstCSKA

forthe"racistbehaviouroftheirfans"during

City's2-1win.MichelPlatini,presidentofEuropeanfootball'sgoverningbody,hasalsoorderedanimmediateinvestigationintothereferee'sactions.CSKAsaidtheywere"surprisedanddisappointed"byToure'scomplaint.InastatementtheRussiansideadded:"WefoundnoracistinsultsfromfansofCSKA."Agehasreachedtheendofthebeginningofaword.Maybeguiltyinhisseemstopassingalotofdifferentlifebecametheappearanceofthesameday;Maybebackinthepast,tooneselftheparanoidweirdbeliefdisillusionment,thesedays,mymindhasbeenverymessy,inmymindconstantly.Alwaysfeeloneselfshouldgotodosomething,orwritesomething.Twentyyearsoflifetrajectorydeeplyshallow,suddenlyfeelsomething,doit.一字开头的年龄已经到了尾声。或许是愧疚于自己似乎把转瞬即逝的很多个不同的日子过成了同一天的样子；或许是追溯过去，对自己那些近乎偏执的怪异信念的醒悟，这些天以来，思绪一直很凌乱，在脑海中不断纠缠。总觉得自己似乎应该去做点什么，或者写点什么。二十年的人生轨迹深深浅浅，突然就感觉到有些事情，非做不可了。Theendofourlife,andcanmeetmanythingsreallydo?而穷尽我们的一生，又能遇到多少事情是真正地非做不可？Duringmychildhood,thinkluckymoneyandnewclothesarenecessaryforNewYear,butastheadvanceoftheage,willbemoreandmorefoundthatthosethingsareoptional;Juniorhighschool,thoughttohaveacrushonjustmeansthattherealgrowth,butoverthepastthreeyearslater,hiswritingofalumniinpeace,suddenlyfoundthatisn'treallygrowup,itseemsisnotsoimportant;Theninhighschool,thinkdon'twanttogiveventtooutyourinnervoicecanbeinthehighschoolchildrenofthefeelingsinaperiod,butwaseventuallyinfarctionwhengraduationpartyinthethroat,lateragainstoodonthepitchhehassweatprofusely,lookedathisthrownabasketballhoops,suddenlyfoundhimselfhasalreadycan'trememberhisappearance.Baumgartnerthedisappointingnews:Missionaborted.rplaysanimportantroleinthismission.Startingattheground,conditionshavetobeverycalm--windslessthan2mph,withnoprecipitationorhumidityandlimitedcloudcover.Theballoon,withcapsuleattached,willmovethroughthelowerleveloftheatmosphere(thetroposphere)whereourday-to-dayweatherlives.ItwillclimbhigherthanthetipofMountEverest(5.5miles/8.85kilometers),driftingevenhigherthanthecruisingaltitudeofcommercialairliners(5.6miles/9.17kilometers)andintothestratosphere.Ashecrossestheboundarylayer(calledthetropopause),ecanexpectalotofturbulence.Weoftencloseourselvesoffwhentraumaticeventshappeninourlives;insteadoflettingtheworldsoftenus,weletitdriveusdeeperintoourselves.Wetrytodeflectthehurtandpainbypretendingitdoesn’texist,butalthoughwecantrythisallwewant,intheend,wecan’thidefromourselves.Weneedtolearntoopenourheartstothepotentialsoflifeandlettheworldsoftenus.生活发生不幸时，我们常常会关上心门；世界不仅没能慰藉我们，反倒使我们更加消沉。我们假装一切仿佛都不曾发生，以此试图忘却伤痛，可就算隐藏得再好，最终也还是骗不了自己。既然如此，何不尝试打开心门，拥抱生活中的各种可能，让世界感化我们呢？Wheneverwestarttoletourfearsandseriousnessgetthebestofus,weshouldtakeastepbackandre-evaluateourbehavior.Theitemslistedbelowaresixwaysyoucanopenyourheartmorefullyandcompletely.当恐惧与焦虑来袭时，我们应该退后一步，重新反思自己的言行。下面六个方法有助于你更完满透彻地敞开心扉。Wheneverapainfulsituationarisesinyourlife,trytoembraceitinsteadofrunningawayortryingtomaskthehurt.Whenthesadnessstrikes,takeadeepbreathandleanintoit.Whenwerunawayfromsadnessthat’sunfoldinginourlives,itgetsstrongerandmorereal.Wetakeanemotionthat’sfleetingandmakeitasolidevent,insteadofsomethingthatpassesthroughus.当生活中出现痛苦的事情时，别再逃跑或隐藏痛苦，试着拥抱它吧；当悲伤来袭时，试着深呼吸，然后直面它。如果我们一味逃避生活中的悲伤，悲伤只会变得更强烈更真实——悲伤原本只是稍纵即逝的情绪，我们却固执地耿耿于怀Byutilizingourbreathwesoftenourexperiences.Ifwedamthemup,ourliveswillstagnate,butwhenwekeepthemflowing,weallowmorenewnessandgreaterexperiencestoblossom.深呼吸能减缓我们的感受。屏住呼吸，生活停滞；呼出呼吸，更多新奇与经历又将拉开序幕。

咖啡店创业计划书第一部分：背景在中国，人们越来越爱喝咖啡。随之而来的咖啡文化充满生活的每个时刻。无论在家里、还是在办公室或各种社交场合，人们都在品着咖啡。咖啡逐渐与时尚、现代生活联系在一齐。遍布各地的咖啡屋成为人们交谈、听音乐、休息的好地方，咖啡丰富着我们的生活，也缩短了你我之间的距离，咖啡逐渐发展为一种文化。随着咖啡这一有着悠久历史饮品的广为人知，咖啡正在被越来越多的中国人所理解。第二部分：项目介绍第三部分：创业优势目前大学校园的这片市场还是空白，竞争压力小。而且前期投资也不是很高，此刻国家鼓励大学生毕业后自主创业，有一系列的优惠政策以及贷款支持。再者大学生往往对未来充满期望，他们有着年轻的血液、蓬勃的朝气，以及初生牛犊不怕虎的精神，而这些都是一个创业者就应具备的素质。大学生在学校里学到了很多理论性的东西，有着较高层次的技术优势，现代大学生有创新精神，有对传统观念和传统行业挑战的信心和欲望，而这种创新精神也往往造就了大学生创业的动力源泉，成为成功创业的精神基础。大学生创业的最大好处在于能提高自己的潜力、增长经验，以及学以致用;最大的诱人之处是透过成功创业，能够实现自己的理想，证明自己的价值。第四部分：预算1、咖啡店店面费用咖啡店店面是租赁建筑物。与建筑物业主经过协商，以合同形式达成房屋租赁协议。协议资料包括房屋地址、面积、结构、使用年限、租赁费用、支付费用方法等。租赁的优点是投资少、回收期限短。预算10-15平米店面，启动费用大约在9-12万元。2、装修设计费用咖啡店的满座率、桌面的周转率以及气候、节日等因素对收益影响较大。咖啡馆的消费却相对较高，主要针对的也是学生人群，咖啡店布局、格调及采用何种材料和咖啡店效果图、平面图、施工图的设计费用，大约6000元左右3、装修、装饰费用具体费用包括以下几种。(1)外墙装饰费用。包括招牌、墙面、装饰费用。(2)店内装修费用。包括天花板、油漆、装饰费用，木工、等费用。(3)其他装修材料的费用。玻璃、地板、灯具、人工费用也应计算在内。整体预算按标准装修费用为360元/平米，装修费用共360*15=5400元。4、设备设施购买费用具体设备主要有以下种类。(1)沙发、桌、椅、货架。共计2250元(2)音响系统。共计450(3)吧台所用的烹饪设备、储存设备、洗涤设备、加工保温设备。共计600(4)产品制造使用所需的吧台、咖啡杯、冲茶器、各种小碟等。共计300净水机，采用美的品牌，这种净水器每一天能生产12l纯净水，每一天销售咖啡及其他饮料100至200杯，价格大约在人民币1200元上下。咖啡机，咖啡机选取的是电控半自动咖啡机，咖啡机的报价此刻就应在人民币350元左右，加上另外的附件也不会超过1200元。磨豆机，价格在330―480元之间。冰砂机，价格大约是400元一台，有点要说明的是，最好是买两台，不然夏天也许会不够用。制冰机，从制冰量上来说，一般是要留有富余。款制冰机每一天的制冰量是12kg。价格稍高550元，质量较好，所以能够用很多年，这么算来也是比较合算的。5、首次备货费用包括购买常用物品及低值易耗品，吧台用各种咖啡豆、奶、茶、水果、冰淇淋等的费用。大约1000元6、开业费用开业费用主要包括以下几种。(1)营业执照办理费、登记费、保险费;预计3000元(2)营销广告费用;预计450元7、周转金开业初期，咖啡店要准备必须量的流动资金，主要用于咖啡店开业初期的正常运营。预计2000元共计： 120000+6000+5400+2250+450+600+300+1200+1200+480+400+550+1000+3000+450+2000=145280元第五部分：发展计划1、营业额计划那里的营业额是指咖啡店日常营业收入的多少。在拟定营业额目标时，必须要依据目前市场的状况，再思考到咖啡店的经营方向以及当前的物价情形，予以综合衡量。按照目前流动人口以及人们对咖啡的喜好预计每一天的营业额为400-800，根据淡旺季的不同可能上下浮动2、采购计划依据拟订的商品计划，实际展开采购作业时，为使采购资金得到有效运用以及商品构成达成平衡，务必针对设定的商品资料排定采购计划。透过营业额计划、商品计划与采购计划的确立，我们不难了解，一家咖啡店为了营业目标的达成，同时有效地完成商品构成与灵活地运用采购资金，各项基本的计划是不可或缺的。当一家咖啡店设定了营业计划、商品计划及采购计划之后，即可依照设定的采购金额进行商品的采购。经过进货手续检验、标价之后，即可写在菜单上。之后务必思考的事情，就是如何有效地将这些商品销售出去。3、人员计划