空间几何体的外接球与内切球

空间几何体的外接球与内切球1正方体的内切球：a，求（设正方体的棱长为1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。aR；2（1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正2方形EFGH的外接圆，易得a。2R（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA作截面图得，圆O为矩形13a。2AACC的外接圆，易得11RAO1图3图4图5类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）PPPPO2cCcCccCAbCBbababAaABBaBA图1图2图3图4线段，直接用公式(2R)2a2b2c2，即2Ra2b2c2，求出R方法：找三条两两垂直的（1）在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。第1页共10页3（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是SABC中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则SA23（3）在正三棱锥M、NSC、BCAMMNSABC外接球的表面积是正三棱锥643（4）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是11视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几（5）已知某几何体的三何体外接球的体积为类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，PA平面ABC解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面径AD，连接PD，则PD必过球心O；上，为A小圆直径的一个端点，作小圆的直P第二步：O为ABC的外心，所以OO平面，算出小圆O的半OABC111CADOB径ODr（三角形的外接圆直径算法：利用正1弦定理，得1图5第2页共10页abc12rOOPA；），sinAsinBsinC21第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；②R2r2OO2Rr2OO2112．题设：如图6，7，8，P的射影是ABC的外PABC三棱锥的三条侧棱相等心三棱锥PABC的底面ABCP在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点PPPPOOOOOOOCCCCADAA1A1OB11BBB图6图7-1图7-2图8PPPAAAO2BCDO2OOC2BBDOO图8-1图8-2图8-3解题步骤：确定球心O的位置，取ABC的外心O，则P,O,O三点共第一步：线；11第二步：先算出小圆O的半径1AOr，再算出棱锥的POh（也是圆锥的高）；高11OA2OA2OO2R2(hR)2r2，解出R第三步：勾股定理：111.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()16A．3B．2C．D．以上都不对3第3页共10页2.在四面体SABC中，SA平面BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接球ABC，的表面积为（）103403D.A.11B.7C.DA平面ABCABDA=AB=BC=3，则球的体OBCO3.已知球的面上四点A、B、C、D，，，积等于为（）.4.已知1，BC＝2，则球O的表面积等于A．4πB．3πC．2πS，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，SA＝AB＝()D．Π5.正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为，2各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为6.在三棱锥PABC中，PAPBPC3,侧棱与底面所成的60PAABC角为，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B.C.4D.433第4页共10页SABC的所有顶点都在球的求面上ABCO1SC是边长为的正三角形O为球的直径,7.已知三棱锥,,且SC2，则此棱锥的体积为（）A2A．63B．C．22D．2638.点A，B，C，D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，则该球的体积为()A．323πB．48πC．643πD．163π9.10.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为8A．64B．62C．6D．6类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）PPPPOOOOAAAO1AOCCCC11BBBB图9-1图9-2图9-3图9-4PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）PACAC2r的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；1．题设：如图9-1，平面心O必是PAC的外心，第一步：易知球即abc第二步：在PAC中，可根据正弦定理2R，求出RsinAsinBsinCPAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）2．如图9-2，平面OC2OC2OO2R2r2OO2AC2R2OO21111PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且P的射影是PABC的底面ABC在圆锥的P点也是圆ABC的外3．如图9-3，平面心三棱锥锥的顶点解题步骤：PABC的三条侧棱相等三棱底上，顶点第5页共10页O的位置，取ABC的外心第一步：确定球心O，则P,O,O三点共线；11POhO的半径AOr，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；111第二步：先算出小圆OAPAC平面ABC，且9-3，平面2OA2OO2R2(hR)2r2，解出R第三步：勾股定理：11ABBC（即AC为小圆的直径），且PAAC，则4．如图利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；②R2r2OO2Rr2OO211PABC中，平面平面，PAC.ABCPAC△和△ABC21三棱锥均为正三边长为的角形，则三棱锥PABC外接球的半径为2.已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面EAEB3,AD2,AEB60，则多互相垂直，面体EABCD的外接球的表面积为。3.三棱锥PABC中，平面平面，，PACABCAC2PAPC3ABBC，，则三棱锥PABC外接球的半径为.4.第6页共10页类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）CC11C1AAO1A112OOO2B21B1B1OOCCCAAAO1O1O1BBB图10-1图10-2图10-3题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O的位置，O是ABC的外心，则OO平面；ABC11第二步：算出小圆O的半径AOr，OO12AA12h（AAh也是圆柱的高）；111112R2(h)2r2Rr2(h)2，解出R第三步：勾股定理：OA2OA2OO2211（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且9该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为38（2）直三棱柱ABCABC的各顶点都在同一球面上，若111ABACAA2,BAC120，则此1球的表面积等于。（3）在直三棱柱ABCABC中，111AB4,AC6,A3,AA4则直三棱柱ABCABC的外接球1111的表面积为。类型五、对棱相等模型（补形为长方体）面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ABCD，ADBC，ACBD）题设：三棱锥（即四第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ADBCx，ABCDy，ACBDz，列方程组，第7页共10页2b2xa2x2y2z2bc2y2(2R)abc22222，2Ac2a2z2xDyc1abc41abc63yzzabc补充：VABCDCxbBaxyz222，第三步：根据墙角模型，2Ra2b2c22图12R2x2yz2，Rxyz2222，求出，8R8例如，正四面体的外接球半径可用此法。21.正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为1（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．3333343412ABCD中，ABCD2,ADBC3,ACBD4,则三棱锥外接球的表（3）在三棱锥ABCD面积为。ABCD5,ACBD6,ADBC7,则该三棱锥外接球的ABCD，其中（4）如图所示三棱锥表面积为.ABCDAB=2DC=2DAB=60EABADEBEC，，为的中点，将与分布沿0（5）在等腰梯形中，EDECA、BPP-DCE、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（）.43666D.242728C.A.B.PCD第8页共10页类型六、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型PBCOA图13题设：APBACB90，求三棱锥PABC外接球半径（分析：取公共O的斜边的中点，连接OP,OC，则OAOBOCOP1AB，O为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中求出2半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。矩形中，沿将矩形折成一个直二面角BACD,ABCD（1）ABCDAB4,BC3,AC则四面体ABCD的外接球的体积是()125125125125A.B.C.D.12963（2）在矩形ABCD中，AB2，BC3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCD的外接球的表面积为．（3）.三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC，ABBC，则三棱锥PABC外接球的半径为.类型七、锥体的内切球问题第9页共10页PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。1．题设：如图14，三棱锥P,EH分别是两个三第一步：先现出内切球的截面图