概率与数理统计

概率与数理统计第1页，共57页，2023年，2月20日，星期五一、离散型随机变量1、离散型随机变量定义定义2、1若随机变量X的可能取值仅有有限或可列多个，则称此随机变量为离散型随机变量。即：X的可能取值记为xk,则离散型随机变量

X=xkk=1,2,3,…在§2.1随机变量例1.1~例1.4中,X1,X2,X4为离散型随机变量，X3非随机变量。

第2页，共57页，2023年，2月20日，星期五2、离散型随机变量的概率分布

第3页，共57页，2023年，2月20日，星期五第4页，共57页，2023年，2月20日，星期五Xx1x2x3xkpk……第5页，共57页，2023年，2月20日，星期五

0pkx第6页，共57页，2023年，2月20日，星期五3、离散型随机变量的分布函数

例2.1已知离散型随机变量X的概率分布为

P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5

试写出X的分布函数F(x)，并绘出图形。解：因X的取值只有1，2，3三个值，为求分布函数F(x)=P(Xx),先将（-，+）依X的取值分成四个区间（-，1），[1，2），[2，3）[3，+），再考虑：(1)当x(-，1)时，X在(-，x]内没有可能取值,故

F(x)=P(Xx)=P()=0(2)当x[1,2)时，无论x为何值，X在(-，x]上的可能取值仅有X=1，故

F(x)=P(Xx)=P(X<1)+P(X=1)+P(1<Xx)=0+0.2+0=0.2x121x23第7页，共57页，2023年，2月20日，星期五(3)当x[2,3)时，无论x为何值，X在(-，x]上的可能取值仅有两值X=1或X=2，故

F(x)=P(Xx)=P(X<1)+P(X=1)+P(1<X<2)+P(X=2)

+P(2<Xx)

=0+0.2+0+0.3+0=0.5

(4)当x[3,+)时，无论x为何值，X在(-，x]上的可能取值仅有三值X=1，X=2或X=3，故

F(x)=P(Xx)=P(X<1)+P(X=1)+P(1<X<2)+P(X=2)

+P(2<X<3)+P(X=3)+P(3<Xx)=0+0.2+0+0.3+0+0.5+0=1

即得X的分布函数为第8页，共57页，2023年，2月20日，星期五F(x)图形为xF(x)012310.50.2第9页，共57页，2023年，2月20日，星期五第10页，共57页，2023年，2月20日，星期五第11页，共57页，2023年，2月20日，星期五4、离散型随机变量的分布律的求法（1）利用古典概率、条件概率、独立性等计算方法及其运算法则求出事件{X=xk}的概率pk=P{X=xk},k=1,2,…求法步骤为：第一步：先确定X的全部可能取值xk,k=1,2,…；第二步：具体求出事件{X=xk}的概率，即pk。例2.2设有甲、乙两势均力敌的排球队，在每一局比赛中各队取胜的概率都是1/2，求两个队在一场排球比赛中所打局数的概率分布及分布函数(先胜三局者取胜)。第12页，共57页，2023年，2月20日，星期五第13页，共57页，2023年，2月20日，星期五即所求概率分布如下表：

X

345Pk

2/83/83/8第14页，共57页，2023年，2月20日，星期五（2）利用分布函数F(x)求概率分布求法步骤为：第一步：F(x)的各间断点xk的取值为X的可能取值；第二步：由pk=P{X=xk}=F(xk)-F(xk-0)求出事件{X=xk}的概率。第15页，共57页，2023年，2月20日，星期五第16页，共57页，2023年，2月20日，星期五例2.4一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个作质量检验，用随机变量描述检验的可能结果，试求出它的概率分布。

第17页，共57页，2023年，2月20日，星期五（4）利用熟知分布求分布律（见后）熟知的离散型分布如下表分布类型分布律参数(0-1)分布0<p<1二项分布0<p<1几何分布0<p<1第18页，共57页，2023年，2月20日，星期五分布类型分布律参数超几何分布r=min{n,m}负二项分布r1,0<p<1泊松分布>0等可能分布第19页，共57页，2023年，2月20日，星期五例2.5一批产品有20个，其中有5个次品。从这批产品中随机抽出4个，试求4个中次品数的分布律。

第20页，共57页，2023年，2月20日，星期五第21页，共57页，2023年，2月20日，星期五3、一批产品包括7件正品，3件次品，有放回地抽取，每次一件，直到取到正品为止，假定每件产品被取到的机会相同，试求抽取粗疏X的概率分布。

第22页，共57页，2023年，2月20日，星期五二、常见的离散型随机变量的概率分布及分布函数1、（0-1）分布（两点分布）设随机变量X的可能取值仅为0或1，其概率分布为

P{X=k}=pk(1-p)1-kk=0,1(0<p<1)(2.5)

或则称X服从参数为p的（0-1）分布。其分布函数为：Xpk011-pp第23页，共57页，2023年，2月20日，星期五第24页，共57页，2023年，2月20日，星期五第25页，共57页，2023年，2月20日，星期五第26页，共57页，2023年，2月20日，星期五2、等可能分布（离散型均匀分布）如果随机变量X可以取n个不同的值x1,x2,…,xn,且取每个xk值的概率相等，即

P{X=xk}=1/nk=1,2,…,n(2.8)

则称X服从等可能分布或离散型均匀分布，其分布参数为n，可记为X~U(n)。其分布函数为第27页，共57页，2023年，2月20日，星期五第28页，共57页，2023年，2月20日，星期五3、二项分布如果随机变量X取值为0，1，2，…，n的概率为则称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,p)。其分布函数为应用模型：

n重贝努利概型中事件A发生的次数X即服从B(n,p)。第29页，共57页，2023年，2月20日，星期五例如：（4）n个新生婴儿中男婴的个数的分布；（3）n台同型号机床，在一小时内，每台机床出故障的概率相同，则n台机床在同一小时内出故障的台数的分布；（5）某射手向同一目标射击n次，n次射击中击中靶心的次数的分布。（2）检查n只产品，其中次品个数X的分布；（1）n次投掷一枚硬币，其中正面出现次数X的分布；第30页，共57页，2023年，2月20日，星期五第31页，共57页，2023年，2月20日，星期五例2.8按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件中一级品的只数为X，试求（1）X的概率分布及分布函数；

（2）P(2.5<X3.8),P(X<7.2)及P(X>3.4)。解：本例为不放回抽样。但由于这些元件的总数很大，且抽查的数量相对于元件的总数来说又很小，因而可以当作有放回抽样来处理.故可以认为X~B(10,0.2).第32页，共57页，2023年，2月20日，星期五具体数值如下表：

X01234pk0.10740.26840.3020.20130.0881X5678>9pk0.02640.00550.00080.00010第33页，共57页，2023年，2月20日，星期五x(-,0)[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)F(x)00.10740.37580.67780.8791x[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8,+)F(x)0.96720.99360.99910.9991其概率分布图形如下：P{X=k}k012345678910第34页，共57页，2023年，2月20日，星期五其分布函数图形为10.37580.1074012345678910xF(x)第35页，共57页，2023年，2月20日，星期五显然有

P(2.5<X3.8)=F(3.8)-F(2.5)=0.8791-0.6778=0.2013

P(X<7.2)=F(7.2)=0.9999

P(X>3.4)=1-P(X3.4)=1-F(3.4)=1-0.8791=0.1209一般地，当n不大于10时，F(x)的值可由《二项分布函数值表》查出，若n较大时，通常采用Poisson分布函数或正态分布函数作近似计算。

例2.9

设某种疾病在鸭子中传染的概率为0.25。（1）求在正常情况下（未注射防疫血清时）50只鸭子和39只鸭子中，受到感染的最大可能只数；（2）设对17只鸭子注射甲种血清后，其中仍有一只受到感染；对23只鸭子注射乙种血清后，其中仍有两只受到感染。试问这两种血清是否有效？第36页，共57页，2023年，2月20日，星期五第37页，共57页，2023年，2月20日，星期五第38页，共57页，2023年，2月20日，星期五第39页，共57页，2023年，2月20日，星期五第40页，共57页，2023年，2月20日，星期五练习：1、某柜台上有4个售货员，预备两个台秤共同使用，若每个售货员在一小时内均有15分钟使用台秤，试求一天10个小时内，平均有多少时间台秤不够用。2、设X服从参数为2，p的二项分布，且P{X1}=5/9,成功率为p的4重贝努利试验中至少有一次成功的概率是多少？3、若每次射击中靶的概率为0.7，试求射击10炮，击中3炮的概率，至少击中3炮的概率，最可能命中几炮？（答案见后）第41页，共57页，2023年，2月20日，星期五第42页，共57页，2023年，2月20日，星期五4、泊松(Poisson

)分布

第43页，共57页，2023年，2月20日，星期五应用模型：

通常用来描述大量独立试验中稀有事件A出现次数。（4）某商店一天内销售的某种商品数；（3）某路段，某时段内交通事故出现的次数；（5）一本书中某一页上印刷错误个数。（2）一大批产品中的废品数；注1：泊松分布中的参数表示平均值，如X表示单位时间内某电话交换台接到的呼叫次数，即表示在这单位时间内接到呼叫次数的平均数。例如：（1）电话交换台在一段时间内受到的呼唤次数第44页，共57页，2023年，2月20日，星期五第45页，共57页，2023年，2月20日，星期五

kn=10n=20n=40n=100P=0.1p=0.05p=0.025p=0.01=np=100.3490.3580.3690.3660.36810.3850.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015大于40.0040.0030.0050.0030.004第46页，共57页，2023年，2月20日，星期五例2.10某电话交换台在一般情况下，一小时内平均接到电话60次，已知电话呼唤次数X服从泊松分布，试求在一般情况下，30秒内接到电话次数不超过一次的概率。

第47页，共57页，2023年，2月20日，星期五例2.11设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台，试比较两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。

第48页，共57页，2023年，2月20日，星期五第49页，共57页，2023年，2月20日，星期五第50页，共57页，2023年，2月20日，星期五例2.1