数学归纳法证明

数学归纳法证明第1页/共23页问题

1:如何证明粉笔盒中的粉笔它们都是白色的？

问题

2:…有限步骤考察对象无限第2页/共23页多米诺骨牌课件演示

第3页/共23页第4页/共23页多米诺骨牌游戏的原理

这个猜想的证明方法（1）第一块骨牌倒下。（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时猜想成立。（2）若当n=k时猜想成立，即，则当n=k+1时猜想也成立，即。根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。已知数列第5页/共23页根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.证明：(2)假设n=k时猜想成立即1k=ak第6页/共23页例:证明凸n边形内角和为中，初始值应该从几取？初始值应取3第7页/共23页例如：用数学归纳法证明

1+3+5+…+（2n-1)=证明：假设n=k时等式成立，即那么即n=k+1时等式成立。所以等式对一切正整数n均成立。第8页/共23页例如：用数学归纳法证明

1+3+5+…+（2n-1)=证明：假设n=k时等式成立，即那么即n=k+1时等式成立。所以等式对一切正整数n均成立。证明：假设n=k时等式成立，即n=1时，左边=1，右边=0，左边=右边第9页/共23页当n=k+1时,

代入得证明:(1)当左边=1，右边=12=1，等式成立（2）假设当n=k时成立，即：所以等式也成立。综合（1）（2）等式对一切正整数n均成立例如：用数学归纳法证明

1+3+5+…+（2n-1)=

第10页/共23页当n=k+1时,

代入得证明:(1)当左边=1，右边=12=1，等式成立（2）假设当n=k时成立，即：所以等式也成立。综合（1）（2）等式对一切正整数n均成立例如：用数学归纳法证明

1+3+5+…+（2n-1)=

1+3+5+……+（2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2第11页/共23页问题情境一练习：某个命题当n=k(k∈N)时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）

A.n=6时该命题不成立

B.n=6时该命题成立

C.n=4时该命题不成立

D.n=4时该命题成立C第12页/共23页练习巩固

1.用数学归纳法证明：在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（

）

A．1 B.C．

D.

C第13页/共23页例1.用数学归纳法证明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

第14页/共23页练习.用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝则当n=k+1时，

+＝=∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。

=1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立第15页/共23页第16页/共23页课堂小结1、数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确4、数学归纳法体现的核心思想是什么？递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题注意类比思想的运用第17页/共23页用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。

证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1+（1-1）d=a1,∴当n=1时，结论成立(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d∴当n=k+1时，结论也成立.由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。凑假设凑结论第18页/共23页证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.例2.用数学归纳法证明:第19页/共23页(4)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清右端应增加的项.例如：利用数学归纳法证明不等式由k递推到k+1左边应添加的因式是第20页