期望效用理论

期望效用理论第1页，共53页，2023年，2月20日，星期五一、个体行为决策准则（一）偏好关系效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而异。偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的。偏好关系（preferencerelation)是指消费者对不同商品或商品组合偏好的顺序。它可以用一种两维（或二元）关系（binaryrelation）表述出来。2023/4/112第2页，共53页，2023年，2月20日，星期五

1.偏好关系的表述令C为商品（或者消费）集合，C中有M种可供选择的商品。它是M维实数空间中的一个非负子集，它总是被假定为闭集和凸集。x、y、z……是它的子集，或者称之为商品束（commoditybundle）或者消费束（consumeboundle）。我们可以在消费束的集合上建立下面的偏好关系（preferencerelation）或者偏好顺序（preferenceordering）：2023/4/113第3页，共53页，2023年，2月20日，星期五

（1）

弱偏好于x，x至少与y一样好。（2）强偏好于x；但，不成立。（3）无差异于x、y；即：和2023/4/114第4页，共53页，2023年，2月20日，星期五

2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件：（1）完备性（completeness）:

中有一种关系成立。完备性假定保证了消者具备选别判断的能力。2023/4/115第5页，共53页，2023年，2月20日，星期五（2）自返性（reflexivity）：，则有

自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的一贯性。2023/4/116第6页，共53页，2023年，2月20日，星期五（3）传递性：

传递性保证了消费者在不同商品之间选好的首尾一贯性。同理：

2023/4/117第7页，共53页，2023年，2月20日，星期五

（4）连续性（continunity）对于任意的X、y，集合和是闭集，则和是开集。即如果x是一组至少与y一样好的消费束，而且它趋近于另一消费束z，则z与y至少同样好。这样就可以得到一条连续的无差异曲线。

2023/4/118第8页，共53页，2023年，2月20日，星期五

（4）单调性（monotonicity），

单调性说明增加一点商品至少与原来的情况同样好。只要商品是有益的，单调性就必然成立。强单调性说明同样的物品，如果其中有些种类的数量严格多于原来的物品，消费者则必定严格偏好于他们。2023/4/119第9页，共53页，2023年，2月20日，星期五且则（5）局部非饱和性（localnon-satiation）和〉0，总存在使得在技术上，局部非饱和性和单调性保证了无差异曲线具有一个负的斜率。2023/4/1110第10页，共53页，2023年，2月20日，星期五

（6）凸性（convexity）严格凸性（strictlyconvexity）：

凸性可理解为边际替代率递减。2023/4/1111第11页，共53页，2023年，2月20日，星期五（二）确定性环境下的效用函数

1.基数效用与序数效用基数效用：19世纪的一些经济学家如英国的杰文斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或满意可以用他从享用或消费过程中所所获得的效用来度量。对满意程度的这种度量叫做基数效用.2023/4/1112第12页，共53页，2023年，2月20日，星期五序数效用：20世纪意大利的经济学家帕累托等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而效用值的大小本身并没有任何意义.2023/4/1113第13页，共53页，2023年，2月20日，星期五

2.效用函数定义如果对于有和成立，则函数关系是一个代表了偏好关系的效用函数。

2023/4/1114第14页，共53页，2023年，2月20日，星期五

定理1：

一个效用函数可以通过正单调变换而获得另一个效用函数与原来的效用函数具有同样的偏好关系：且

是单调递增函数，则有：

2023/4/1115第15页，共53页，2023年，2月20日，星期五

定理2：如果消费者在消费集C上的偏好关系具有完备性、自返性，传递性和连续性，则存在一个能够代表偏好顺序的连续效用函数u:C→R。2023/4/1116第16页，共53页，2023年，2月20日，星期五（三）消费者效用最大化问题

令则最大化问题为：

上述约束式为瓦尔拉斯（walrasianbudgetset）预算集。2023/4/1117第17页，共53页，2023年，2月20日，星期五

最优解：

2023/4/1118第18页，共53页，2023年，2月20日，星期五（三）不确定性环境下的行为选择

1.关于风险与不确定性奈特（Knight.F）《风险、不确定性和利润〉中关于确定型、风险和不确定性的解释：确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件发生的可能性。

2023/4/1119第19页，共53页，2023年，2月20日，星期五

风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题。即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种状态发生的概率不清楚。2023/4/1120第20页，共53页，2023年，2月20日，星期五由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操作上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。2023/4/1121第21页，共53页，2023年，2月20日，星期五2.不确定性下的偏好选择（1）不确定性下选择的表述方法自然状态：特定的会影响个体行为的所有外部环境因素。通常我们用S表示自然状态的集合：S={1，…，S}。自然状态的特征：自然状态集合是完全的、相互排斥的（即有且只有一种状态发生）2023/4/1122第22页，共53页，2023年，2月20日，星期五

自然状态的信念（belief）：个体会对每一种状态的出现赋予一个主观的判断，即某一特定状态s出现的概率P（s）满足：

0≤p（s）≤1，这里的概率p（s）就是一个主观概率，也成为个体对自然的信念。不同个体可能会对自然状态持有不同的信念，但我们通常假定所有的个体的信念相同，这样特定状态出现的概率就是唯一的。2023/4/1123第23页，共53页，2023年，2月20日，星期五①状态依存结果的优序选择（状态偏好）

用彼此排斥和详尽无遗的自然状态组成的集合，而不是用概率来反映个人所面临的随机性。假定：X:不确定环境下可选择行为的集合;S:可能的状态集合

C:可选择行为的结果的集合行为xX和sS结合产生的结果cC

函数把行为、状态和结果对应起来：2023/4/1124第24页，共53页，2023年，2月20日，星期五

当经济主体在可行的行为之间进行选择时，他们以被选行为产生的结果为基础进行选择。但是行为对于决定特别的结果来说，常常是不充足的。其他因素会与选择的行为相互作用产生一个特别的结果。这些其他因素，超越了经济行为人的控制，被称为自然状态。

大量的自然实状态的存在使得目前所采取的任何行为的将来结果是不确定的。2023/4/1125第25页，共53页，2023年，2月20日，星期五

在决定行为的过程中，主体对自然状态是不确定的，这些状态将共同确定被选行为的结果。选择行为a就为每一自然状态决定了一个结果c=，对X中行为的选取从而被视为对依赖状态（或偶然状态）结果的选取。2023/4/1126第26页，共53页，2023年，2月20日，星期五

通过观察函数f可以容易区分确定条件下和不确定条件下的决策。若c关于自然状态是不变的，即自然状态不会影响产生的结果，则可以认为是确定条件下的决策。若不同的状态导致不同的结果，则可以认为是不确定条件下的决策2023/4/1127第27页，共53页，2023年，2月20日，星期五②行为结果的概率分布选择既然在行为、现实的状态和结果之间的关系通过函数来描述，

在S上定一个概率测度：对任意xX，存在一个C上的概率分布：

这个概率表述表明，在一个行为既定的情况下，特定结果出现的概率等于导致这个特定结果出现的可能性状况的概率。由于某个特定行为结果发生的概率取决于经济主体选择的行为，因此，我们可以等价地认为，对于行为2023/4/1128第28页，共53页，2023年，2月20日，星期五结果的选择等同于对某个特定结果的概率分布的选择。因此，不确定性条件下的行为选择可以理解为行为主体在不同的概率分布中进行选择。这意味着，行为主体表现自己偏好关系的可行行为集合X必须具备如下性质：

在这种情况下，我们可以用定义在C上的一个函数P（.）来表示行为x，其中，p（c）是使选择x的结果等于c的概率。2023/4/1129第29页，共53页，2023年，2月20日，星期五

因此，对于所有的c∈C，

p（c）≥0且2023/4/1130第30页，共53页，2023年，2月20日，星期五（2）不确定性下的理性决策原则

A.数学期望最大化原则

数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确定情形下的推广。问题：是否数学期望最大化准则是一最优的不确定性下的行为决策准则？2023/4/1131第31页，共53页，2023年，2月20日，星期五

典型案例：圣彼德堡悖论（SaintPetersburyParadox）考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以得到1元，第一次反面，第二次正面得2元，前两次反面，第三次正面得4元，……如果前n-1次都是反面，第n次出现正面得元。问：游戏的参加应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？2023/4/1132第32页，共53页，2023年，2月20日，星期五

该游戏的数学期望值：但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿意支付的成本（门票）仅为2-3元。

圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何人们只愿意支付有限的价格？

2023/4/1133第33页，共53页，2023年，2月20日，星期五

B.期望效用原则

DanielBernoulli（1700-1782）是出生于瑞士名门著名数学家，1725-1733年期间一直在圣彼德堡科学院研究投币游戏。其在1738年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望”来作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。而道德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。穷人与富人对于财富增加的边际效用是不一样的。2023/4/1134第34页，共53页，2023年，2月20日，星期五即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量，而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是递减的。

伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游戏的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：

2023/4/1135第35页，共53页，2023年，2月20日，星期五

其中，为一个确定值。另外，Crammer（1728）采用幂函数的形式的效用函数对这一问题进行了分析。假定：

则

2023/4/1136第36页，共53页，2023年，2月20日，星期五

因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致不可接受的结果。而贝努力提出的用期望效用取代期望收益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提供最终的解决方案。根据期望效用，20%的收益不一定和2倍的10%的收益一样好；20%的损失也不一定与2倍的10%损失一样糟。2023/4/1137第37页，共53页，2023年，2月20日，星期五

C.后期望效用理论：由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论，如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用的新的解释。

2023/4/1138第38页，共53页，2023年，2月20日，星期五二、VNM期望效用函数

期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价值判断标准。期望效用函数作为对不确定性条件下经济主体决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途。（一）效用函数的表述和定义不确定性下的选择问题是其效用最大化的决定不仅对自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择或随机变化。因此不确定下的选择对象被人们称为彩票（Lottery）或未定商品（contingentcommodity）

2023/4/1139第39页，共53页，2023年，2月20日，星期五

设想消费者参加一次抽奖（lottery），所有可能产生的结果为C，假定C的结果是有限的，我们用N=1，…，N来标示这些结果，每一结果发生的概率为，这样，我们可将该简单抽奖（simplelottery）记为：比简单抽奖更为复杂的是复合抽奖（compoundlottery），其抽奖结果是众多的简单抽奖。复合抽奖记为：2023/4/1140第40页，共53页，2023年，2月20日，星期五

其中，是一个简单抽奖。对于每一个复合抽奖，我们可以计算出一个引至抽奖（reducedlottery）。它将复合抽奖简化为简单抽奖。任何复合抽奖

的引至抽奖，可以通过下面的向量加法获得：2023/4/1141第41页，共53页，2023年，2月20日，星期五期望效用表述（expectedutilityrepresenting）：对一件抽奖商品的期望效用表示为对抽奖结果的效用函数的数学期望:

其中，是VNM效用函数。

更一般地，我们可以表述为：2023/4/1142第42页，共53页，2023年，2月20日，星期五

其中，是一个随机变量。其含义为：一种未定商品的效用等于该未定商品所涉及的确定商品的效用的均值。2023/4/1143第43页，共53页，2023年，2月20日，星期五（二）期望效用函数的公理化陈述

1.不确定性下的偏好关系表述个体所有可选择抽奖的集合称为抽奖空间，记为：同样地，假设个体在抽奖空间上存在一个偏好关系，即可以根据自己的标准为所有抽奖排出一个优劣顺序。2023/4/1144第44页，共53页，2023年，2月20日，星期五

2.基本公理公理1：2023/4/1145第45页，共53页，2023年，2月20日，星期五

第一式说明，抽奖的概念同样适合于确定性财富。某一确定的拥有x，相当于抽奖的中签率为100%，其价值为x.因此，确定商品空间是未定商品空间的一个子集。第二式则表明，同样一张抽奖有两种表示形式；第三式是复合抽奖原理的体现，它说明经济主体只关心抽奖结果最终的概率分布，而不在乎抽奖（彩票）的构成形式。2023/4/1146第46页，共53页，2023年，2月20日，星期五

公理2：连续性（continuity）：对于任意的下面的集合为闭集：和

2023/4/1147第47页，共53页，2023年，2月20日，星期五

连续性假设将保证概率的微小变化不会改变原有的两个抽奖商品之间的偏好顺序。如：如果消费者对“快乐和安全的开车旅行”的偏好强于“待在家中”，那么，他对于一个“快乐与安全的开车旅行”与一个具有充分小、但不为0的正概率的“发生车祸导致死亡”的混合结果的偏好，仍然要强于“待在家中”。连续性假设保证了效用函数的连续性。该公理也称之为阿基米德公理（Archimede