数学建模算法大全现代优化算法简介及咖啡店创业计划书

第二十三章现代优化算法简介§1现代优化算法简介现代优化算法是80年代初兴起的启发式算法。这些算法包括禁忌搜索（tabusearch），模拟退火（simulatedannealing），遗传算法（geneticalgorithms），人工神经网络（neuralnetworks）。它们主要用于解决大量的实际应用问题。目前，这些算法在理论和实际应用方面得到了较大的发展。无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目标－求NP-hard组合优化问题的全局最优解。虽然有这些目标，但NP-hard理论限制它们只能以启发式的算法去求解实际问题。启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（AntColonyAlgorithms）。有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。现代优化算法解决组合优化问题，如TSP（TravelingSalesmanProblem）问题，QAP（QuadraticAssignmentProblem）问题，JSP（Job-shopSchedulingProblem）问题等效果很好。本章我们只介绍模拟退火算法，初步介绍一下蚁群算法，其它优化算法可以参看相关的参考资料。§2模拟退火算法2.1算法简介模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，最终形成处于低能状态的晶体。如果用粒子的能量定义材料的状态，Metropolis算法用一个简单的数学模型描述了退火过程。假设材料在状态之下的能量为，那么材料在温度时从状态进入状态就遵循如下规律：（1）如果，接受该状态被转换。（2）如果，则状态转换以如下概率被接受：其中是物理学中的波尔兹曼常数，是材料温度。在某一个特定温度下，进行了充分的转换之后，材料将达到热平衡。这时材料处于状态的概率满足波尔兹曼分布：其中表示材料当前状态的随机变量，表示状态空间集合。显然其中表示集合中状态的数量。这表明所有状态在高温下具有相同的概率。而当温度下降时，其中且。上式表明当温度降至很低时，材料会以很大概率进入最小能量状态。假定我们要解决的问题是一个寻找最小值的优化问题。将物理学中模拟退火的思想应用于优化问题就可以得到模拟退火寻优方法。考虑这样一个组合优化问题：优化函数为，其中，它表示优化问题的一个可行解，，表示函数的定义域。表示的一个邻域集合。首先给定一个初始温度和该优化问题的一个初始解，并由生成下一个解，是否接受作为一个新解依赖于下面概率：换句话说，如果生成的解的函数值比前一个解的函数值更小，则接受作为一个新解。否则以概率接受作为一个新解。泛泛地说，对于某一个温度和该优化问题的一个解，可以生成。接受作为下一个新解的概率为：（1）在温度下，经过很多次的转移之后，降低温度，得到。在下重复上述过程。因此整个优化过程就是不断寻找新解和缓慢降温的交替过程。最终的解是对该问题寻优的结果。我们注意到，在每个下，所得到的一个新状态完全依赖于前一个状态，可以和前面的状态无关，因此这是一个马尔可夫过程。使用马尔可夫过程对上述模拟退火的步骤进行分析，结果表明：从任何一个状态生成的概率，在中是均匀分布的，且新状态被接受的概率满足式（1），那么经过有限次的转换，在温度下的平衡态的分布由下式给出：（2）当温度降为0时，的分布为：并且这说明如果温度下降十分缓慢，而在每个温度都有足够多次的状态转移，使之在每一个温度下达到热平衡，则全局最优解将以概率1被找到。因此可以说模拟退火算法可以找到全局最优解。在模拟退火算法中应注意以下问题：（1）理论上，降温过程要足够缓慢，要使得在每一温度下达到热平衡。但在计算机实现中，如果降温速度过缓，所得到的解的性能会较为令人满意，但是算法会太慢，相对于简单的搜索算法不具有明显优势。如果降温速度过快，很可能最终得不到全局最优解。因此使用时要综合考虑解的性能和算法速度，在两者之间采取一种折衷。（2）要确定在每一温度下状态转换的结束准则。实际操作可以考虑当连续次的转换过程没有使状态发生变化时结束该温度下的状态转换。最终温度的确定可以提前定为一个较小的值，或连续几个温度下转换过程没有使状态发生变化算法就结束。（3）选择初始温度和确定某个可行解的邻域的方法也要恰当。2.2应用举例例已知敌方100个目标的经度、纬度如下：经度纬度经度纬度经度纬度经度纬度53.712115.304651.17580.032246.325328.275330.33136.934856.543221.418810.819816.252922.789123.104510.158412.481920.105015.45621.94510.205726.495122.122131.48478.964026.241818.176044.035613.540128.983625.987938.472220.173128.269429.001132.19105.869936.486329.72840.971828.14778.958624.663516.561823.614310.559715.117850.211110.29448.15199.532522.107518.55690.121518.872648.207716.888931.949917.63090.77320.465647.413423.778341.86713.566743.54743.906153.352426.725630.816513.459527.71335.070623.92227.630651.961222.851112.793815.73074.95688.366921.505124.090915.254827.21116.20705.144249.243016.704417.116820.035434.168822.75719.44023.920011.581214.567752.11810.40889.555911.421924.45096.563426.721328.566737.584816.847435.66199.933324.46543.16440.77756.957614.470313.636819.866015.12243.16164.242818.524514.359858.684927.148539.516816.937156.508913.709052.521115.795738.43008.464851.818123.01598.998323.644050.115623.781613.79091.951034.057423.396023.06248.431919.98575.790240.880114.297858.828914.522918.66356.743652.842327.288039.949429.511447.509924.066410.112127.266228.781227.66598.083127.67059.155614.130453.79890.219933.64900.39801.349616.835949.98166.082819.363517.662236.954523.026515.732019.569711.511817.388444.039816.263539.713928.42036.990923.180438.339219.995024.654319.605736.998024.39924.15913.185340.140020.303023.98769.403041.108427.7149我方有一个基地，经度和纬度为（70,40）。假设我方飞机的速度为1000公里/小时。我方派一架飞机从基地出发，侦察完敌方所有目标，再返回原来的基地。在敌方每一目标点的侦察时间不计，求该架飞机所花费的时间（假设我方飞机巡航时间可以充分长）。这是一个旅行商问题。我们依次给基地编号为1，敌方目标依次编号为2，3，…，101，最后我方基地再重复编号为102（这样便于程序中计算）。距离矩阵，其中表示表示两点的距离，，这里为实对称矩阵。则问题是求一个从点1出发，走遍所有中间点，到达点102的一个最短路径。上面问题中给定的是地理坐标（经度和纬度），我们必须求两点间的实际距离。设两点的地理坐标分别为，，过两点的大圆的劣弧长即为两点的实际距离。以地心为坐标原点，以赤道平面为平面，以0度经线圈所在的平面为平面建立三维直角坐标系。则两点的直角坐标分别为：其中为地球半径。两点的实际距离，化简得。求解的模拟退火算法描述如下：（1）解空间解空间可表为{}的所有固定起点和终点的循环排列集合，即其中每一个循环排列表示侦察100个目标的一个回路，表示在第次侦察点，初始解可选为，本文中我们使用MonteCarlo方法求得一个较好的初始解。（2）目标函数此时的目标函数为侦察所有目标的路径长度或称代价函数。我们要求而一次迭代由下列三步构成：（3）新解的产生=1\*GB3①2变换法任选序号（）交换与之间的顺序，此时的新路径为：②3变换法任选序号和，将和之间的路径插到之后，对应的新路径为（设）（4）代价函数差对于2变换法，路径差可表示为（5）接受准则如果，则接受新的路径。否则，以概率接受新的路径，即若大于0到1之间的随机数则接受。（6）降温利用选定的降温系数进行降温即：，得到新的温度，这里我们取。（7）结束条件用选定的终止温度，判断退火过程是否结束。若，算法结束，输出当前状态。我们编写如下的matlab程序如下：clc,clearloadsj.txt%加载敌方100个目标的数据，数据按照表格中的位置保存在纯文本文件sj.txt中x=sj(:,1:2:8);x=x(:);y=sj(:,2:2:8);y=y(:);sj=[xy];d1=[70,40];sj=[d1;sj;d1];sj=sj*pi/180;%距离矩阵dd=zeros(102);fori=1:101forj=i+1:102temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));d(i,j)=6370*acos(temp);endendd=d+d';S0=[];Sum=inf;rand('state',sum(clock));forj=1:1000S=[11+randperm(100),102];temp=0;fori=1:101temp=temp+d(S(i),S(i+1));endiftemp<SumS0=S;Sum=temp;endende=0.1^30;L=20210;at=0.999;T=1;%退火过程fork=1:L%产生新解c=2+floor(100*rand(1,2));c=sort(c);c1=c(1);c2=c(2);%计算代价函数值df=d(S0(c1-1),S0(c2))+d(S0(c1),S0(c2+1))-d(S0(c1-1),S0(c1))-d(S0(c2),S0(c2+1));%接受准则ifdf<0S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];Sum=Sum+df;elseifexp(-df/T)>rand(1)S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];Sum=Sum+df;endT=T*at;ifT<ebreak;endend%输出巡航路径及路径长度S0,Sum计算结果为44小时左右。其中的一个巡航路径如下图所示：§3蚁群算法3.1蚁群算法简介蚁群是自然界中常见的一种生物，人们对蚂蚁的关注大都是因为“蚁群搬家，天要下雨”之类的民谚。然而随着近代仿生学的发展，这种似乎微不足道的小东西越来越多地受到学者们地关注。1991年意大利学者M.Dorigo等人首先提出了蚁群算法，人们开始了对蚁群的研究：相对弱小，功能并不强大的个体是如何完成复杂的工作的（如寻找到食物的最佳路径并返回等）。在此基础上一种很好的优化算法逐步发展起来。蚁群算法的特点是模拟自然界中蚂蚁的群体行为。科学家发现，蚁群总是能够发现从蚁巢到食物源的最短路径。经研究发现，蚂蚁在行走过的路上留下一种挥发性的激素，蚂蚁就是通过这种激素进行信息交流。蚂蚁趋向于走激素积累较多的路径。找到最短路径的蚂蚁总是最早返回巢穴，从而在路上留下了较多的激素。由于最短路径上积累了较多的激素，选择这条路径的蚂蚁就会越来越多，到最后所有的蚂蚁都会趋向于选择这条最短路径。基于蚂蚁这种行为而提出的蚁群算法具有群体合作，正反馈选择，并行计算等三大特点，并且可以根据需要为人工蚁加入前瞻、回溯等自然蚁所没有的特点。在使用蚁群算法求解现实问题时，先生成具有一定数量蚂蚁的蚁群，让每一只蚂蚁建立一个解或解的一部分，每只人工蚁从问题的初始状态出发，根据“激素”浓度来选择下一个要转移到的状态，直到建立起一个解，每只蚂蚁根据所找到的解的好坏程度在所经过的状态上释放与解的质量成正比例的“激素”。之后，每只蚂蚁又开始新的求解过程，直到寻找到满意解。为避免停滞现象，引入了激素更新机制。3.2解决TSP问题的蚁群算法描述现以TSP问题的求解为例说明蚁群系统模型。首先引进如下记号：为城市的个数；为蚁群中蚂蚁的数量；为两城市和之间距离；为时刻位于城市的蚂蚁的个数，；为时刻边弧的轨迹强度（即连线上残留的信息量），且设（为常数），，；为时刻边弧的能见度，反映由城市转移到城市的期望程度。根据上述原理，蚂蚁在运动过程中根据各条路径上的信息量决定转移方向。与真实蚁群系统不同，人工蚁群系统具有一定的记忆功能。随着时间的推移，以前留下的信息逐渐消逝，经个时刻，蚂蚁完成一次循环，各路径上信息量要作调整。由此得到下述的人工蚁群系统模型：1）设人工蚁群在并行地搜索TSP的解，并通过一种信息素做媒介相互通信，在每个结点上且和该结点相连的边上以信息素量做搜索下一结点的试探依据，直到找到一个TSP问题的可行解。2）在时刻人工蚁由位置转移至位置的转移概率为（3）其中参数为轨迹的相对重要性（）；为能见度的相对重要性（）；为可行点集，即蚂蚁下一步允许选择的城市。分别反映了蚂蚁在运动过程中所积累的信息及启发式因子在蚂蚁选择路径中所起的不同作用。3）当个人工蚁按（3）式找到了可行解，则将各边的信息量用下式修改。即调整信息量的轨迹强度更新方程为，（4）其中为第只蚂蚁在本次循环中留在路径上的信息量；为本次循环中路径上的信息量的增量；参数为轨迹的持久性；为轨迹衰减度，表示信息消逝程度。对上述系统模型，采用人工蚁群方法求解的算法步骤可归结为：step1：（为迭代步数或搜索次数）；各和的初始化；将个蚂蚁置于个顶点上。step2：将各蚂蚁的初始出发点置于当前解集中；对每个蚂蚁（）按概率转移至下一顶点；将顶点置于当前解集。step3：计算各蚂蚁的目标函数值，记录当前的最好解。step4：按更新方程修改轨迹强度。step5：，若预定的迭代次数且无退化行为（即找到的都是相同解），则转step2。若为了简化计算，增加处理较大规模的TSP问题的能力，则可将（4）式修改为：

，其中此处为本次最优路线上的边集。

3.3人工蚁群算法性能的讨论人工蚁群算法是一种基于种群的进化算法。作为一个新兴的研究领域，虽它还远未像GA、SA等算法那样形成系统的分析方法和坚实的数学基础，但目前已有一些基本结果。在M.Dorigo三种不同的模型中，循环路径上信息量的增量不同。1）Ant-quantitysystem模型中，2）在Ant-densitysystem模型中，3）在Ant-cyclesystem模型中，其中是反映蚂蚁所留轨迹数量的常数，表示第只蚂蚁在本次循环中所走路径的长度；且时，，。算法中模型1）、2）利用的是局部信息，模型3）利用的是整体信息。人工蚁群算法中，等参数对算法性能也有很大的影响。值的大小表明留在每个结点上的信息量受重视的程度，值越大，蚂蚁选择以前选过的点的可能性越大，但过大会使搜索过早陷于局部极小点；的大小表明启发式信息受重视的程度；值会影响算法的收敛速度，过大会使算法收敛于局部极小值，过小又会影响算法的收敛速度，随问题规模的增大的值也需要随之变化；蚂蚁的数目越多，算法的全局搜索能力越强，但数目加大将使算法的收敛速度减慢。第二十四章时间序列模型时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。时间序列根据所研究的依据不同，可有不同的分类。1．按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。2．按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。3．按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。如果一个时间序列的概率分布与时间无关，则称该序列为严格的（狭义的）平稳时间序列。如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻满足：（1）均值为常数（2）协方差为时间间隔的函数。则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。我们以后所研究的时间序列主要是宽平稳时间序列。4．按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。§1确定性时间序列分析方法概述时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。（1）长期趋势变动。它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。（2）季节变动。（3）循环变动。通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。（4）不规则变动。通常它分为突然变动和随机变动。通常用表示长期趋势项，表示季节变动趋势项，表示循环变动趋势项，表示随机干扰项。常见的确定性时间序列模型有以下几种类型：（1）加法模型（2）乘法模型（3）混合模型其中是观测目标的观测记录，，。如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测，具体方法如下：1.1移动平均法设观测序列为，取移动平均的项数。一次移动平均值计算公式为：二次移动平均值计算公式为：当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可用一次移动平均方法建立预测模型：，，其预测标准误差为：，最近期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般取值范围：。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，的取值应较大一些。否则的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择最佳值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误差。均方预测误差最小者为好。当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时，常用二次移动平均法，但序列同时存在线性趋势与周期波动时，可用趋势移动平均法建立预测模型：，其中，。例1某企业1月～11月份的销售收入时间序列如下表所示。取，试用简单一次滑动平均法预测第12月份的销售收入，并计算预测的标准误差。月份123456销售收入533.8574.6606.9649.8705.1772.0月份789101112销售收入816.4892.7963.91015.11102.7解：首先计算出，由于，，则，预测的标准误差为计算的Matlab程序如下：y=[533.8574.6606.9649.8705.1772.0...816.4892.7963.91015.11102.7];temp=cumsum(y);mt=(temp(4:11)-[0temp(1:7)])/4y12=mt(end)ythat=mt(1:end-1);fangcha=mean((y(5:11)-ythat).^2);sigma=sqrt(fangcha)1.2指数平滑法一次移动平均实际上认为最近期数据对未来值影响相同，都加权；而期以前的数据对未来值没有影响，加权为0。但是，二次及更高次移动平均数的权数却不是，且次数越高，权数的结构越复杂，但永远保持对称的权数，即两端项权数小，中间项权数大，不符合一般系统的动态性。一般说来历史数据对未来值的影响是随时间间隔的增长而递减的。所以，更切合实际的方法应是对各期观测值依时间顺序进行加权平均作为预测值。指数平滑法可满足这一要求，而且具有简单的递推形式。设观测序列为，为加权系数，，一次指数平滑公式为：（1）假定历史序列无限长，则有（2）（2）式表明是全部历史数据的加权平均，加权系数分别为；显然有由于加权系数序列呈指数函数衰减，加权平均又能消除或减弱随机干扰的影响，所以（2）称为一次指数平滑，类似地，二次指数平滑公式为：（3）同理，三次指数平滑公式为：（4）一般次指数平滑公式为：（5）利用指数平滑公式可以建立指数平滑预测模型。原则上说，不管序列的基本趋势多么复杂，总可以利用高次指数平滑公式建立一个逼近很好的模型，但计算量很大。因此用的较多的是几个低阶指数平滑预测模型。（1）一次指数平滑预测，（2）线性趋势预测模型－Brown单系数线性平滑预测（二次指数平滑预测），其中，（3）二次曲线趋势预测模型－Brown单系数二次式平滑预测，其中，，指数平滑预测模型是以时刻为起点，综合历史序列的信息，对未来进行预测的。选择合适的加权系数是提高预测精度的关键环节。根据实践经验，的取值范围一般以0.1～0.3为宜。值愈大，加权系数序列衰减速度愈快，所以实际上取值大小起着控制参加平均的历史数据的个数的作用。值愈大意味着采用的数据愈少。因此，可以得到选择值的一些基本准则。（1）如果序列的基本趋势比较稳，预测偏差由随机因素造成，则值应取小一些，以减少修正幅度，使预测模型能包含更多历史数据的信息。（2）如果预测目标的基本趋势已发生系统地变化，则值应取得大一些。这样，可以偏重新数据的信息对原模型进行大幅度修正，以使预测模型适应预测目标的新变化。另外，由于指数平滑公式是递推计算公式，所以必须确定初始值。可以取前3～5个数据的算术平均值作为初始值。例2下表数据是某股票在8个连续交易日的收盘价，试用一次指数平滑法预测第9个交易日的收盘价（初始值，）。时间12345678价格16.4117.6216.1515.5417.2416.8318.1417.05解：由于，，求得预测标准误差为：计算的Matlab程序如下：alpha=0.4;y=[16.4117.6216.1515.5417.2416.8318.1417.05];s1(1)=y(1);fori=2:8s1(i)=alpha*y(i)+(1-alpha)*s1(i-1);endyhat9=s1(end)sigma=sqrt(mean((s1(1:end-1)-y(2:end)).^2))例3仍以例2为例。试用两次指数平滑法预测第9个交易日的收盘价（，）。解：，，于是。下面进行预测误差分析，取预测标准误差计算的Matlab程序如下：clc,clearalpha=0.4;y=[16.4117.6216.1515.5417.2416.8318.1417.05];s1(1)=y(1);fori=2:8s1(i)=alpha*y(i)+(1-alpha)*s1(i-1);ends2=y(1);fori=2:8s2(i)=alpha*s1(i)+(1-alpha)*s2(i-1);enda8=2*s1(8)-s2(8)b8=alpha/(1-alpha)*(s1(8)-s2(8))yhat9=a8+b8yhat(1)=y(1)fori=2:8yhat(i)=s1(i-1)+1/(1-alpha)*(s1(i-1)-s2(i-1));endtemp=sum((yhat-y).^2);sigma=sqrt(temp/6)§2平稳时间序列模型这里的平稳是指宽平稳，其特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。下面自回归模型（AutoRegressiveModel）简称AR模型，移动平均模型（MovingAverageModel）简称MA模型，自回归移动平均模型（AutoRegressiveMovingAverageModel）简称ARMA模型。下面的为零均值（即中心化处理的）平稳序列。（1）一般自回归模型AR()假设时间序列仅与有线性关系，而在已知条件下，与无关，是一个独立于的白噪声序列，。上式还可以表示为可见，系统的响应具有阶动态性。模型通过把中的依赖于的部分消除掉之后，使得具有阶动态性的序列转化为独立的序列。因此，拟合模型的过程也就是使相关序列独立化的过程。（2）移动平均模型系统的特征是系统在时刻的响应仅与其以前时刻的响应有关，而与其以前时刻进入系统的扰动无关。如果一个系统在时刻的响应，与其以前时刻的响应无关，而与其以前时刻进入系统的扰动存在着一定的相关关系，那么，这一类系统为系统。（3）自回归移动平均模型一个系统，如果它在时刻的响应，不仅与其以前时刻的自身值有关，而且还与其以前时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系，那么，这个系统就是自回归移动平均系统。模型为对于平稳系统来说，由于AR、MA、模型都是模型的特例，我们以模型为一般形式来建立时序模型。§3ARMA模型的特性在时间序列的时域分析中，线性差分方程是极为有效的工具。事实上，任何一个ARMA模型都是一个线性差分方程。3.1AR(1)系统的格林函数格林函数就是描述系统记忆扰动程度的函数。AR(1)模型为设，则有（6）显然是一个一阶非齐次差分方程。由于依次递推下去，可得到（7）显然（7）式是差分方程（6）的解。方程解的系数函数客观地描述了该系统的动态性，故这个系统函数就叫做记忆函数，也叫格林函数。若用表示，则AR(1)模型的格林函数可以表示为这样（7）式可等价地写成：（8）上式也可写成这里。定义后移算子，，这样，AR(1)可写成它的解为由于格林函数就是差分方程解的系数函数，格林函数的意义可概括如下：（1）是前个时间单位以前进入系统的扰动对系统现在行为（响应）影响的权数。（2）客观地刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。（3）对于一个平稳系统来说，在某一时刻由于受到进入系统的扰动的作用，离开其平衡位置（即平均数－零），描述系统回到平衡位置的速度，的值较小，速度较快；的值较大，回复的速度就较慢。3.2系统的格林函数（1）系统的格林函数的隐式模型是一个二阶非齐次差分方程设该二阶非齐次差分方程的解为（9）为方便起见，可用算子：（10）（11）把（11）式代入（10），比较两边的同次幂的系数得，，（2）系统的格林函数的显式模型实质上是一个二阶非齐次差分方程：欲求其解，必须先求出其相应的齐次差分方程的通解。齐次方程对应的特征方程为，特征根为，齐次差分方程的通解为其中和是任意常数，其值由初始条件唯一地确定。这里的初始条件为：于是有而，即解之，得，则系统的格林函数为：3.3逆函数和可逆性前面的格林函数，把表示为过去对的影响，或者说系统对过去的记忆性，也就是用一个MA模型来逼近的行为。平稳序列的这种表达形式称为的“传递形式”。同样我们也可以用过去的的一个线性组合来逼近系统现在时刻的行为。即我们把这种表达形式称为的“逆转形式”。其中的系数函数称为逆函数。可见它是一个无穷阶的自回归模型。一个过程是否具有逆转形式，也就是说逆函数是否存在的性质，通常称为过程是否具有可逆性，如果一个过程可以用一个无限阶的自回归模型逼近，即逆函数存在，我们就称该过程具有可逆性，否则，就是不可逆的。对于AR（2）模型有，，可见，所谓可逆性，是指移动平均模型可以用AR模型表示。MA(1)模型：那么即可见，，显然，只有时，才有，，故MA（1）的可逆性条件为§4时间序列建模的基本步骤上面我们介绍了时间序列的一些基本概念，下面我们初步给出时间序列建模的基本步骤，有兴趣的读者可以去查阅相关的参考资料。时间序列建模的基本步骤如下：1．数据的预处理：数据的剔取及提取趋势项。2．取，拟合（即ARMA(2,1)）模型（1），拟和模型。设所要拟合的模型为，用最小二乘法拟合出系数。注意到对于AR()模型，，这里是模型的逆函数，于是可得到的值。（2）估计ARMA(2,1)模型参数的初始值。对于ARMA(2,1)模型，我们有：，于是。注意：以AR(3)中的替代ARMA(2,1)中的是一种近似代替。通过这种方法求得的的绝对值若大于1，则取其倒数作为初始值，以满足可逆性条件。知道了及，再用下式来确定ARMA(2,1)模型中的：；。（3）以（2）中得到的为初始值，利用非线性最小二乘法得到的终值及置信区间，并且求出残差平方和(RSS)。 3．，拟合ARMA模型其基本步骤与2类似。 4．用F准则检验模型的适用性。若检验显著，则转入第2步。若检验不显著，转入第5步。对于ARMA模型的适用性检验的实际就是对的独立性检验。检验的独立性的一个简便而有效的办法是拟合更高阶的模型。若更高阶模型的残差平方和有明显减少，就意味着现有模型的不是独立的，因而模型不适用；若更高阶模型的残差平方和没有明显减少，同时更高阶模型中的附加参数的值也很小（其置信区间包含0），则可认为该模型是适用的。具体的检验准则如下。设有模型和，。假设模型的残差之平方和，模型的残差之平方和，是采集数据的数目，则检验准则为：，其中，。若这样得到的值超过由分布查表所得的在5%置信水平上的值，那么由模型改变为时，残差平方和的改善是显著的，因而拒绝关于模型的适用性假设；值低于查表所得之值，就可以认为在该置信水平上这个模型是适用的。 5．检查的值是否很小，其置信区间是否包含零。若不是，则适用的模型就是。 若很小，且其置信区间包含零，则拟合。 6．利用F准则检验模型和，若F值不显著，转入第7步；若F值显著，转入第8步。 7．舍弃小的MA参数，拟合的模型，并用F准则进行检验。重复这一过程，直到得出具有最小参数的适用模型为止。 8．舍弃小的MA参数，拟合的模型，并用F准则进行检验。重复这一过程，直到得出具有最小参数的适用模型为止。

咖啡店创业计划书第一部分：背景在中国，人们越来越爱喝咖啡。随之而来的咖啡文化充满生活的每个时刻。无论在家里、还是在办公室或各种社交场合，人们都在品着咖啡。咖啡逐渐与时尚、现代生活联系在一齐。遍布各地的咖啡屋成为人们交谈、听音乐、休息的好地方，咖啡丰富着我们的生活，也缩短了你我之间的距离，咖啡逐渐发展为一种文化。随着咖啡这一有着悠久历史饮品的广为人知，咖啡正在被越来越多的中国人所理解。第二部分：项目介绍第三部分：创业优势目前大学校园的这片市场还是空白，竞争压力小。而且前期投资也不是很高，此刻国家鼓励大学生毕业后自主创业，有一系列的优惠政策以及贷款支持。再者大学生往往对未来充满期望，他们有着年轻的血液、蓬勃的朝气，以及初生牛犊不怕虎的精神，而这些都是一个创业者就应具备的素质。大学生在学校里学到了很多理论性的东西，有着较高层次的技术优势，现代大学生有创新精神，有对传统观念和传统行业挑战的信心和欲望，而这种创新精神也往往造就了大学生创业的动力源泉，成为成功创业的精神基础。大学生创业的最大好处在于能提高自己的潜力、增长经验，以及学以致用;最大的诱人之处是透过成功创业，能够实现自己的理想，证明自己的价值。第四部分：预算1、咖啡店店面费用咖啡店店面是租赁建筑物。与建筑物业主经过协商，以合同形式达成房屋租赁协议。协议资料包括房屋地址、面积、结构、使用年限、租赁费用、支付费用方法等。租赁的优点是投资少、回收期限短。预算10-15平米店面，启动费用大约在9-12万元。2、装修设计费用咖啡店的满座率、桌面的周转率以及气候、节日等因素对收益影响较大。咖啡馆的消费却相对较高，主要针对的也是学生人群，咖啡店布局、格调及采用何种材料和咖啡店效果图、平面图、施工图的设计费用，大约6000元左右3、装修、装饰费用具体费用包括以下几种。(1)外墙装饰费用。包括招牌、墙面、装饰费用。(2)店内装修费用。包括天花板、油漆、装饰费用，木工、等费用。(3)其他装修材料的费用。玻璃、地板、灯具、人工费用也应计算在内。整体预算按标准装修费用为360元/平米，装修费用共360*15=5400元。4、设备设施购买费用具体设备主要有以下种类。(1)沙发、桌、椅、货架。共计2250元(2)音响系统。共计450(3)吧台所用的烹饪设备、储存设备、洗涤设备、加工保温设备。共计600(4)产品制造使用所需的吧台、咖啡杯、冲茶器、各种小碟等。共计300净水机，采用美的品牌，这种净水器每一天能生产12l纯净水，每一天销售咖啡及其他饮料100至200杯，价格大约在人民币1200元上下。咖啡机，咖啡机选取的是电控半自动咖啡机，咖啡机的报价此刻就应在人民币350元左右，加上另外的附件也不会超过1200元。磨豆机，价格在330―480元之间。冰砂机，价格大约是400元一台，有点要说明的是，最好是买两台，不然夏天也许会不够用。制冰机，从制冰量上来说，一般是要留有富余。款制冰机每一天的制冰量是12kg。价格稍高550元，质量较好，所以能够用很多年，这么算来也是比较合算的。5、首次备货费用包括购买常用物品及低值易耗品，吧台用各种咖啡豆、奶、茶、水果、冰淇淋等的费用。大约1000元6、开业费用开业费用主要包括以下几种。(1)营业执照办理费、登记费、保险费;预计3000元(2)营销广告费用;预计450元7、周转金开业初期，咖啡店要准备必须量的流动资金，主要用于咖啡店开业初期的正常运营。预计2000元共计： 120000+6000+5400+2250+450+600+300+1200+1200+480+400+550+1000+3000+450+2000=145280元第五部分：发展计划1、营业额计划那里的营业额是指咖啡店日常营业收入的多少。在拟定营业额目标时，必须要依据目前市场的状况，再思考到咖啡店的经营方向以及当前的物价情形，予以综合衡量。按照目前流动人口以及人们对咖啡的喜好预计每一天的营业额为400-800，根据淡旺季的不同可能上下浮动2、采购计划依据拟订的商品计划，实际展开采购作业时，为使采购资金得到有效运用以及商品构成达成平衡，务必针对设定的商品资料排定采购计划。透过营业额计划、商品计划与采购计划的确立，我们不难了解，一家咖啡店为了营业目标的达成，同时有效地完成商品构成与灵活地运用