九年级中考复习-二次函数与圆的提高类综合练习(含答案解析)

二次函数与圆的综合习题类型一圆的基本性质应用例1：如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-52）2+98与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点（1）求a值及A，B两点坐标；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围；（3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（1，0），B（4，0）．（2）m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．M′（17582【解析】解：（1）∵抛物线y=a（x-52）2+9∴-2=a（0-52）2+9∴a=-12∴y=-12（x-52）2+当y=0时，-12（x-52）2+∴x1=4，x2=1，∵A、B在x轴上，∴A（1，0），B（4，0）．（2）由（1）可知抛物线解析式为y=-12（x-52）2+∴C、D关于对称轴x=52∵C（0，-2），∴D（5，-2），如图1中，连接AD、AC、CD，则CD=5，∵A（1，0），C（0，-2），D（5，-2），∴AC=5，AD=25，∴AC2+AD2=CD2，∴∠CAD=90°，∴CD为⊙M的直径，∴当点P在圆外部的抛物线上运动时，∠CPD为锐角，∴m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．如图2中，将线段C′A平移至D′F，则AF=C′D′=CD=5，∵A（1，0），∴F（6，0），作点E关于直线CD的对称点E′，连接EE′正好经过点M，交x轴于点N，∵抛物线顶点（52，9∴E′（52，-41连接E′F交直线CD于H，∵AE，C′D′是定值，∴AC′+ED′最小时，四边形AC′D′E的周长最小，∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥E′F，则当点D′与点H重合时，四边形AC′D′E的周长最小，设直线E′F的解析式为y=kx+b，∵E′（52，-41∴可得y=4128x-123当y=-2时，x=19041∴H（19041，-2），∵M（5∴DD′=5-19041=15∵52-1541=∴M′（17582针对训练1．已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＜0)的图像与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，直线BC与它的对称轴交于点F，且CF：FB＝1：3．(1)求A、B两点的坐标；(2)若△COB的内心I在对称轴上，求这个二次函数的关系式；(3)在(2)的条件下，Q(m，0)是x轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将△CMN沿直线CN翻折，M的对应点为M′，是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)B(4，0)，A(－2，0)；(2)y=-38x2+34x+3；(3)存在，Q(2【解析】（1）如图所示：对称轴为：直线x=-∴OE=1，∵OC∥EF，∴CFFB∴EB=3，由对称性得：BE=AE=3，∴A(−2,0),B(4,0)；(2)如图，⊙I是△OBC的内切圆，过点I作∴OD=设CD=x在Rt△OCB中，OB=4，OC即x+12+∴OC∴C(0,3)，∴c=3，把A(−2,0),C(0,3)代入抛物线y=ax2-2ax+c中得：c=3解得：a=-∴抛物线的解析式为：y=-38x2+(3)如图,由题意∠M′CN=∠NCB，∵MN∥OM′，∴∠M′CN=∠CNM,∴∠CNM=∠NCB，∴MN=CM，∵直线BC解析式为y=-∴M(m,-34∵sin∠∴mCM∴CM=①当N在直线BC上方时,-3解得：m=23∴Q(23②当N在直线BC下方时,-解得m=223∴Q(223综上所述：点Q坐标为(23，0)或Q(222．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”．例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对关联点．（1）请写出反比例函数y＝6x的图象上的一对关联点的坐标：（2）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．点A，B是抛物线y＝x2+bx+c的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）．求A，B两点坐标．（3）⊙T的半径为3，点M，N是⊙T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m＞1），请直接写出m的取值范围．【答案】（1）（2，3），（3，2）．（2）A，B两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）1＜m≤1+32．【解析】解：（1）∵2×3＝3×2＝6，∴点（2，3），（3，2）是反比例函数y＝6x故答案为：（2，3），（3，2）．（2）∵抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，∴﹣b2解得：b＝﹣2．∵抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．由关联点定义，可知：点A，B关于直线y＝x对称．又∵直线AB与x轴交于点D（1，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x＋1．联立直线AB及抛物线解析式成方程组，得：y＝﹣解得：x1=-1y∴A，B两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）由关联点定义，可知：点M，N关于直线y＝x对称，∴⊙T的圆心在直线y＝x上．∵⊙T的半径为3，∴M1M2＝22×2×3＝32∴m的取值范围为1＜m≤1＋32．.类型二与圆有关的位置关系例2．如图，已知点A（2，0），以A为圆心作⊙A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A，抛物线与x轴的另一个交点为点C，抛物线的顶点为点E，如果CO=2BE，求此抛物线的解析式；（2）过点C作⊙A的切线CD，D为切点，求此切线长；（3）点F是切线CD上的一个动点，当△BFC与△CAD相似时，求出BF的长．【答案】（1）y=34（x-2）（x-6）；（2）CD=23；（3）BF的长为433【解析】（1）∵A（2，0），⊙A与y轴切于原点，∴⊙A的半径为2．∴点B的坐标为为（4，0）．∵点A、C关于x=4对称，∴C（6，0）．又CO=2BE，∴E（4，-3）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），（a≠0）；∵抛物线经过点E（4，-3）∴-3=a（4-2）（4-6），解得：a=34∴抛物线的解析式为y=34（2）如图1所示：连接AD，∵AD是⊙A的切线，∴∠ADC=90°，AD=2，由（1）知，C（6，0）．∵A（2，0），∴AC=4，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=42-22=12，∴CD=23．（3）如图2所示：当FB⊥AD时，连结AD．∵∠FBC=∠ADC=90°，∠FCB=∠ACD，∴△FBC∽△ADC，∴CFCA=BCDC，即CF4解得：CF=43如图3所示：当BF⊥CD时，连结AD、过点B作BF⊥CD，垂足为F．∵AD⊥CD，∴BF∥AD，∴△BFC∽△ADC，∴BCAC=CFCD，即24∴CF=3．综上所述，BF的长为433或针对训练1．如图，抛物线y=x2﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的⊙P能否与x轴相切？如果能够，求出⊙P的半径；如果不能，请说明理由．【答案】（1）点D的坐标为（2，-5）；（2）DE=62；（3）能够相切，理由见解析.【解析】（1）∵y=x2-4x-1=x2-4x+4-5=（x-2）2-5，∴点D的坐标为（2，-5）；（2）∵当y=4时，x2-4x-1=4，解得x=-1或x=5，∴M坐标为（-1，4），点N坐标为（5，4），∴MN=6．P的半径为3，点P的坐标为（2，4），连接PE，则PE⊥DE，∵PD=9，PE=3，根据勾股定理得DE=62；（3）能够相切．理由：设⊙P的半径为r，根据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r，r）或（2+r，-r），代入抛物线解析式得：（2+r）2-4（2+r）-1=r，解得r=21+12或r=把（2+r，-r）代入抛物线得：（2+r）2-4（2+r）-1=-r，解得：r=-1+212，或r=2．如图，⊙P的圆心P（m，n）在抛物线y＝12（1）写出m与n之间的关系式；（2）当⊙P与两坐标轴都相切时，求出⊙P的半径；（3）若⊙P的半径是8，且它在x轴上截得的弦MN，满足0≤MN≤215时，求出m、n的范围．【答案】（1）n＝12m2；（2）⊙P的半径为2；（3）14≤m≤4或﹣4≤m≤﹣14【解析】解：（1）∵点P（m，n）在抛物线y＝12∴n＝12（2）当点P（m，12由⊙P与两坐标轴都相切知m＝12解得：m＝0（舍）或m＝2，∴⊙P的半径为2；当点P（m，12由⊙P与两坐标轴都相切知﹣m＝12解得：m＝0或m＝﹣2，∴⊙P的半径为2；（3）如图，作PK⊥MN于点K，连接PM，当MN＝215时，MK＝12MN＝15∵PM＝8，则PK＝PM2-当MN＝0时，PK＝8，∴7≤PK≤8，即7≤n≤8，∵n＝12∴7≤12解得：14≤m≤4或﹣4≤m≤﹣14．类型三构造圆与隐形圆例3：已知：如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)(1)求抛物线解析式及点D的坐标；(2)若直线l过点D，P为直线l上的动点，当以A、B、P为顶点所作的直角三角形有.且只有三个时，求直线l的解析式；(3)如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O顺时针旋转得到OE'，旋转角为α(0∘<α<90∘)，连接E'B、【答案】（1）(1,-4)；（2）y=-3x+3【解析】(1)∵抛物线y=x2+bx∴y∵y∴抛物线的顶点坐标为(1,-4)．(2)过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点Q．以AB为直径的⊙G如图所示：以AB为直径作⊙G，作QD与⊙G相切，则QG⊥∵A(-1,0)，∴AB∴QG又∵DG∴sin∠GDQ∴sin∠GQE∴GE∴QE∴点Q的坐标为(1-3设l的解析式为y=kx+b，则k+∴直线l的解析式为y=-由图形的对称性可知：当直线l经过点(1+3,-1)时，直线l与则k+解得：k=3，∴直线l的解析式为y=综上所述，直线l的解析式为y=-3x(3)如图所示：取M使OM=34∵OC=3，OE'=∴OE．又∵∠MOE∴△OME'∽．∴ME∴E∴当M、E'、B在一条直线上时，E∴E'B针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求12（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有

个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【答案】（1）抛物线解析式为y=32x2﹣32x﹣3，顶点坐标（12，﹣938）；（2）12PB+PD的最小值为3【解析】（1）方法一：设二次函数的表达式为，B（0，-）代入解得∴∴顶点坐标为方法二：也可以用三点式设代入三点或者顶点式设代入两点求得。如图，过P点作DE⊥AB于E点，由题意已知∠ABO=30°.∴∴要使最小，只需要D、P、E共线，所以过D点作DE⊥AB于E点，与y轴的交点即为P点.由题意易知，∠ADE=∠ABO=30°，,①若A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，分两种情况，由题意知，AB=2，若AB为边菱形的边，因为M为抛物线对称轴上的一点，即分别以A、B为顶点，AB的长为半径作圆与对称轴的交点即为M点，这样的M点有四个，如图若AB为菱形的对角线，根据菱形的性质，作AB的垂直平分线与对称轴的交点即为M点.综上所述，这样的M点有5个，所以对应的N点有5个.②如图，作AB的垂直平分线，与y轴交于F点。由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°∴以F为圆心，AF的长为半径作圆交对称轴于M和M'点，则∠AMB=∠AM'B=∠AFB=60°∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1∴∠FAO=30°，AF==FM=FM'，OF=，过F点作FG⊥MM'于G点，已知FG=∴，又∵G∴M（，M'∴方法二：设M，M到点F的距离d=AF=也可求得．2．如图，抛物线y＝﹣12x2（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m，点P到直线BC的距离为d，求d与m的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若∠PCB+∠POB＝180°，求d的值．【答案】（1）y＝﹣12x2+32x+5（2）d＝24m2﹣5【解析】（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B、C，∴B（5，0），C（0，5），把B、C坐标代入y＝﹣12x2+bx+c得到：c解得b=∴二次函数的解析式为y＝﹣12x2+3（2）如图1中，作PE⊥BC于E，作PF∥AB交BC于F．∵P（m，﹣12m2+3∵PF∥AB，∴点F的纵