江苏地区2021~2022学年高二上期中测试数学卷（解析版）

江苏地区2021~2022学年高二上期中测试数学卷测试时间：120分钟满分：150分一、单选题1.设x∈R，则“x2-5x<0”是A．

充分而不必要条件

B．

必要而不充分条件C．

充要条件

D．

既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由|x-1|<1由x2-5x由“小范围”推出“大范围”得出0<x<2可推出故“0<x<5”是“|x故答案为：B【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可.2.不等式2x+1<1的解集是（A．

(-∞,-1)

B．

(1,+∞)

C．

(-∞,-1)∪(1,+∞)

D．

(-1,1)【答案】C【考点】其他不等式的解法【解析】由题意，不等式2x+1<1，可化为2x+1-1=解得x<-1或x>1，即不等式2x+1故答案为：C．【分析】化简不等式为x-1x+1>03.已知数列{an}中，a1=2，an=1-1aA．

-1

B．

-12

C．

12

D．

2【答案】C【考点】数列递推式【解析】因为a1=2，所以所以an+3所以{an}是周期为3的周期数列，所以故答案为：C．【分析】先计算出{an}的前几项，然后分析{an}的周期性，根据周期可将a20214.已知a>b>c，ac>0A．

c2>bc

B．

bc(a-c)>0

C．

a【答案】B【考点】不等式的基本性质【解析】ac>0，∴a,c同号，又a>b>c，从而a,b,c同号，所以bc>0c>0时，A不符合题意，a<0时，C故答案为：B．【分析】根据不等式性质求解．5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？A．

6斤

B．

7斤

C．

9斤

D．

15斤【答案】D【考点】等差数列的前n项和【解析】因为每一尺的重量构成等差数列{an}，a1=4，∴a1数列的前5项和为S5=5×即金锤共重15斤，故答案为：D．【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.6.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2=2，a5=2aA．

2

B．

54

C．

162

D．

243【答案】C【考点】等比数列的通项公式【解析】设等比数列{an}的公比为q(由题意可得{a1解得q=3∴a6=【分析】由题意可得{a1q=2a1q7.已知等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9]，则使数列{an}的前nA．

4

B．

5

C．

6

D．

7【答案】B【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】∵关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9]，∴0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0∴a1=-9d2．∴an=a1+(n-1)d=(n-11d2)，可得：a5=-故答案为：B．【分析】关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,

9],可得:0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根，且8.设Sn是数列{an}的前n项和，满足an2+1=2anSn，且A．

10

B．

311

C．

10-311

D【答案】A【考点】数列递推式【解析】∵a∵∴因此数列{Sn2}为等差数列，首项为即S∴故答案为：A【分析】首先求出数列的首项，进一步利用数列的递推关系式的应用整理出Sn2-Sn二、多选题9..关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为A．

aB．

关于x的不等式bx+c>0C．

aD．

关于x的不等式cx2-bx【答案】A,C,D【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】A．由已知可得a<0且-2,3是方程ax2+B．由根与系数的关系可得：{-2+3=-ba-2×3=则不等式bx+c>0可化为：-ax-6a>0，即xC．因为a+b+cD．不等式cx2-bx+a>0可化为：-6ax2+ax+a>0故答案为：ACD．【分析】先由已知可得a<0且b=-a10.当x≥1时，下列函数的最小值为4的有（

）A．

y=4x+1x

B．

y=4x2-4x+5【答案】B,C,D【考点】平均值不等式【解析】【解答】A．根据对勾函数的单调性可知：y=4x+1x在[1,+∞)上单调递增，所以函数最小值为：B．y=4取等号时{2x-1=42x-C．y=x取等号时{x2+1=4x2+1D．y=5x-1x在[1,+∞)故答案为：BCD．【分析】直接利用不等式的性质和均值不等式的应用和函数的单调性判断A、B、C、D的结论.11.设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知SA．

数列{Sn+n}为等比数列

B．

数列{C．

数列{an+1}为等比数列

D．

数列{2Sn}的前【答案】A,D【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，等比关系的确定【解析】因为Sn+1=2Sn+n又S1+1=2，所以数列{Sn+n}所以Sn+n=2n当n≥2时，an=Sn-Sn由a1=1,a2=1,a3=3可得a因为2Sn=2=22+23+...+2n+1-2(1+2+...+n故答案为：AD．【分析】首先由上来的递推公式代入数值即可得出数列数列{Sn+n}是等比数列，结合等比数列的通项公式即可得出数列{an}的前n项和公式，再由数列前n项和公式与项之间的关系即可得出数列{12.已知{an}为等比数列，下列结论正确的是（

A．

若a3=-2，则B．

aC．

若a3=a5D．

若a5>a3【答案】A,B,D【考点】基本不等式，等比数列的性质【解析】【解答】A．因为a22+a42≥2B．因为a32+a52C．设等比数列的公比为q，因为a3=a5，所以q2=a5a3=1，所以D．设等比数列的公比为q，因为a5>a3且q2>0，所以a故答案为：ABD．【分析】对于A,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；对于B,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；对于C,由a3=a5，得q=±1，当q=-1时，a1=-a2可判断C；由a5>a3且三、填空题13..命题“∃x>0，x3+x<0【答案】∀x>0，【考点】命题的否定【解析】【解答】解：命题“∃x>0，x3+x<0”的否定为“故答案为：∀x>0，x【分析】特称命题的否定是全称命题，直接写出结果即可.14..已知实数x，y满足y>32且6xy-9x+2【答案】22【考点】基本不等式【解析】由6xy-9x+2y-∵y>∴9x+4解不等式可得，x>-1则3x+=3x+1+当且仅当3x+1=12(3x+1)∴3x+y的最小值是故答案为2+1【分析】由6xy-9x+2y-4=0，化为y=9x+46x+2，根据

y>32求出x15..数列{an}满足a1+2a2+22a3+⋅⋅⋅+2n-1a【答案】(-∞,31【考点】基本不等式，数列的函数特性【解析】【解答】记bn=2n-1a当n=1时，b1当n≥2时，bn当n=1时，b1=-3也满足上式，所以bn=n显然当n≤3时，an<0，a4=0，当n≥5时，a当n≥5时，an+1an=n-32(所以an的最大值为116．故λ2-kλ+2>而λ+3116λ≥23116=312故答案为：(-∞,312)【分析】先由题设求得an,然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意λ>

0，所有的正整数n都有λ2-kλ+2>an成立转化为k<λ+16.已知数列{an}满足：an={12,(n=1)[1+2⋅(-1)λ]an-1+2(n≥2)，{an}的前n【答案】212；a【考点】数列的函数特性，数列的求和【解析】【解答】当λ=1时，an=-an-1所以S11=(λ=2时，an所以有an+1=3(所以{an+1}是以a1所以an+1=32⋅3故答案为：①212；②a【分析】根据题意分情况讨论；当λ=1时，由数列的通项公式整理即可得出an+an-1=2结合已知计算出结果即可；当λ=2时，整理数列的通项公式即可得出an+1=3(四、解答题17.已知关于x的不等式ax2-2x+a<0的解集为空集，函数f(（1）.求实数a的取值集合A及函数f(x)的值域（2）.对（1）中的集合A，B，若x∈A是x∈B【答案】（1）1°若a=0，则-2x2°若a>0，则Δ=4-4a2≤0，则a≤-1或a≥13°若a<0综上，a≥1，∴A=[1,+∞)令t=2x+1∈(0,+∞)，则∴g(t当且仅当t2=4即t=2时等号成立，此时∴B=[3（2）∵x∈A是x∈∴B是A的真子集，则32+m>1，解得【考点】集合关系中的参数取值问题，基本不等式【解析】【分析】(1)通过讨论a的范围,求出集合A,根据函数的单调性求出B即可;(2)求出B是A的真子集,得到关于m的不等式，求出m的范围即可.

18.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12（1）.求{an}（2）.设bn=an3n，记数列{bn}的前n【答案】（1）设公差为d，则∵S3=12，，即a1+a2+a3=12，∴3a2=12，∴a2=4，又∵2a1，a2，a3+1成等比数列，∴a22=2（a2-d）（a2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去），∴an=a2+（n-2）d=3n-2（2）bn=an3n=3①×13得13①-②得23

=13∴Tn=【考点】数列的求和，等差数列的性质，等比数列的性质【解析】(1)利用等差数列的性质以及S3=12求出a2=4，再由

2a1,a2,a(2)把(1)的结论代入bn=an319..小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件时，该产品需另投入流动成本W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)=13x2+x，在年产量不小于8（1）.若年利润L(x)（单位：万元）不小于6万元，求年产量x（2）.年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）由题意得：L(当x∈(0,8)时，L(∴-13x2+4x-3≥6，整理得：又∵x∈(0,8)，∴3≤x当x∈[8,+∞)时，L(∴35-(x+100x)≥6，整理得x2又∵x∈[8,+∞)，∴8≤x综上，x的取值范围为3≤x≤25（2）由（1）可知当x∈(0,8)时，L(x∴当x=6时，L(当x∈[8,+∞)时，L(当且仅当x=100x即x=10时，∵9<15，∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获得利润最大，且最大利润是15万元．【考点】二次函数的性质，根据实际问题选择函数类型，基本不等式【解析】(1)由题意可知L(x)=5x-W(x(2)由(1)可知当x∈(0,

8)时L(x)=5x-(13x2+x)-3=-13x2+4x-320.设函数f(x)=（1）.若f(x)>(a-2)x2-（2）.解关于x的不等式ax2-【答案】（1）∵f(x)>(∴2x2-(2a+1)令g(x)=2x2-(2a1°当2a+14≤-1，则x=-1时，g(x)min=g(-1)=8+2a>02°当2a+14>-1，则x=2a+14时，g(∴-210<2a+1<210∴-52综上-4<a（2）1°当a=0时，则-2x+6>0，2°当a>0时，Δ=(3a+2)方程根为x1=2a或①2a<3，即a>23时，x<②2a>3，即0<a<23时，x③2a=3，即a=233°当a<0时，则x1=2a，x2=3综上，a<0解集为(2a,3)；a=00<a<23解集为(-∞,3)∪(2a,+∞)；a>23解集为【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】(1)将不等式化简归零,然后构造函数,研究函，数的单调性，令该函数的最小值大于零即可;(2)求出不等式对应方程的两个根，然后讨论两个根的大小结合函数的单调性求出不等式的解.

21.设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+an=An（1）.求证：数列{an-n+1}是等比数列并求数列（2）.令bn=1an-n+1，求数列{bn(bn+1)(bn+1【答案】（1）解：分别令n=1、2，代入条件，得又a1=1，a2=32，解得A