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第五章积分学不定积分定积分定积分第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质定积分的概念及性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积解决步骤:1)

划分[a,b].在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

近似计算.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3)求和.4)取极限.令则曲边梯形面积2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)划分将它分成在每个小段上物体经2)近似计算.得已知速度n

个小段过的路程为3)求和.4)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“划分区间,近似计算,求和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称

f(x)在[a,b]上可积

.记作积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和定理1.定理2.且只有有限个间断点可积的充分条件:(证明略)例1.

利用定义计算定积分解:将[0,1]n

等分,分点为取16例2.求极限解：原式三、定积分的性质：说明:

可把故它是有限个数的平均值概念的推广.

积分中值定理对因注：该结论可推广至有限个点。例3.

试证:证:

设则在上,有即故即内容小结1.定积分

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