初中数学 教学设计：应用举例

《应用举例》教案教学目标1．使学生了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念．2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．3．巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．学习重点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．教学难点学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程一、寻疑之自主学习1．仰角：如图1，从低处观察高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角．2．俯角：如图1，从高处观察低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．3．方向角：如图2，点A位于点O的北偏西30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向．图1图24．坡角：如图，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α5．坡度：如图，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i＝tanα＝．6．AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，OA=2，则BC长为（B）．A．2B．C．4D．7．[2014•济宁]如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为_______．8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，b=，∠A的平分线，解这个直角三角形．解：∠A=60°，∠B=30°，c=2b=，a=。9．如右上图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶，则坝底AD的长度为(D)A．26米B．28米C．30米D．46米二、解惑之例题解析例12003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到）·OQF·OQFPα解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∴PQ的长为答：当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约解析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．例2热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到）解析：Rt△ABC中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．ABABCDαβ解：如图，α=30°，β=60°，AD＝120．答：这栋楼高约为例3如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到1海里）解析：首先根据题意得出∠APC=90°-65°=25°，再利用解直角三角形求出即可．解：如图，在Rt△APC中，∠APC=90°-65°=25°∴PC=PA•cos∠APC≈80×=在Rt△BPC中，∠B=34°答：海轮所在的B处距离灯塔P约有130海里．例4如图，一山坡的坡度为i=1∶2．小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C．这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到°，长度精确到m）解析：在直角三角形ABC中，已知了坡度即角ɑ的正切可求出坡角α，然后用α的正弦求出对边BC的长．解：用α表示坡角的大小，由题意可得因此α≈°在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=°，AC=240，因此BC=240×°≈（m）答：这座山坡的坡角约为°，小刚上升了约m．例5．如图，海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BABAD60°解析：过A作AF⊥BD于点C，求出∠FAD、∠FAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等边对等角得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出FD，根据勾股定理求出AF即可．解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF=x，AD=2x则在Rt△ADF中，在Rt△ABF中，解得x=6>8没有触礁危险三、尝试之知识巩固1．数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是______米．2．如图，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为m，则下面结论中正确的是（C）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°3．如图，在离铁塔BE120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=，则塔高BE=．4．如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（根号保留）．5．(2014·十堰)如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是24海里．6．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是(C)A．B．C．D．7．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为(C)A．20海里B．C．D．30海里8．如图，小华同学在距离某建筑物6m的点A处测得广告牌B点，C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为m．四、【培优之达标测试】1．如图，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为2400米．2．在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000m的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500m到达目的地C，此时小霞在营地A的(C)A．北偏东20°方向上B．北偏东30°方向上C．北偏东40°方向上D．北偏西30°方向上3．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行．25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为米．4．如图，斜坡AC的坡度(坡比)为1∶，AC＝10米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米，则旗杆BC的高度是6米．5．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是210cm．6．如图，河堤横断面是梯形，上底为4m，堤高为6m，斜坡AD的坡比为1∶3，斜坡BC的坡角为45°，则河堤的横断面积是(A)．A．96m2B．48m2C．192m2D．84m27．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为(C)A．4kmB．C．D．8．如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以40海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行海里．9．(2014·上海)已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．五、课堂小结1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即i＝，常写成i=1∶m的形式如i=1∶把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．六、作业设置如图所示，在某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=8°14′，