高三数学直线与圆

直线与圆知识网络：目标认知

考试大纲要求：

1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

2.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系.

3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

4.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

重点：

1.求圆的方程，

2.解决有关圆与直线的位置关系的问题。

难点：

1.根据不同的几何条件，求圆的方程；

2.利用圆的方程，求解有关的最值及动点轨迹。

知识要点梳理:

知识点一：圆的方程

1．圆的定义：

平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．

2.圆的标准方程：

圆心为，半径为的圆的标准方程为

注意：方程中有三个参量、、，因此三个独立条件圆心、半径可以确定一个圆。

3.圆的一般方程：

（）

注意：

（1）二次方程（*），配方得

当时，方程（*）表示半径，圆心的圆；

当时，方程（*）表示点；

当时，方程（*）不表示任何图形。

（2）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：、项系数相等且不为零没有项；

（3）根据条件列出关于、、的三元一次方程组，可确定圆的一般方程。

知识点二：点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

1．点与圆的位置关系：

（1）点P在圆C外；

（2）点P在圆C上；

（3）点P在圆C内。

2．设直线，圆，圆心到直线的距离记为，则:

（1）直线与圆相切；

（2）直线与圆相交；

（3）直线与圆相离。

注意：直线与圆C相交时，一般都会用到垂径定理，在直角三角形中求解。

3．圆与圆的位置关系：

两圆圆心距。

（1）与外离；

（2）与外切；

（3）与相交；

（4）与内切；

（5）与内含。

规律方法指导

1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（、、或、、）的值需要确定，因此需要三个独立的条件。利用待定系数法得到关于、、（或、、）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值。

2.求圆的方程的一般步骤：

（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；

（2）根据所给条件，列出关于、、或、、的方程组；

（3）解方程组，求出、、或、、的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程。

3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质（如垂径定理、切线长定理等）帮助解题。

经典例题精析

类型一：求圆的方程

1．

(1)求经过点、,且圆心在直线上的圆的方程；

(2)求以、、为顶点的三角形的外接圆的方程

思路点拨:选用恰当的方程形式用待定系数法求出，或数形结合，利用圆的垂径定理：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形解决。

解析：

(1)

方法一：待定系数法

设圆心,则有,

解得，∴圆心，半径,

∴所求圆的方程为。

方法二：数形结合

由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上即直

线上

由得，

∴圆心，半径

∴所求圆的方程为。

(2)

方法一：待定系数法

设圆的方程为,

将三个已知点的坐标代入列方程组解得：，

解方程组得：,,，

故圆的方程为，即

方法二：数形结合

由图形知：三角形是以为斜边的直角三角形，

故圆心为的中点，直径，故圆的方程为：

。

总结升华：

在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：

（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；

（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得、、或、、；

（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数

举一反三：

【变式1】

圆与轴相切，圆心在直线上，且直线截圆所得弦长为，求此圆的方程。

【答案】：

设圆方程为：

∵且圆心在直线上，∴

∵圆与轴相切，∴

故圆方程为，又因为直线截圆得弦长为，

则有，解得

故所求圆方程为：或。

【变式2】求经过点、且在轴上截得的弦长为6的圆的方程。

【答案】：

方法一：设圆心，半径长，

由垂径定理可以得到圆与轴两交点为、,

由、得且MN的中点坐标，

则的垂直平分线方程为，PQ的垂直平分线方程为。

解方程组：得圆心.

由得=，解出,.

当时，圆心,,圆的方程为：

当时，圆心,，圆的方程为

故所求圆的方程为：或.

方法二：设所求圆为.

令得,在x轴上截得弦长为：

.

将、代入圆方程可得方程组：

，解出或

所求圆方程为或.

【变式3】求过直线和圆的交点,且面积最小的圆的方程。

【答案】：

解法一：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直径端点的圆，

于是解方程组得交点,,

以为直径的圆的方程:。

解法二:(运用曲线系方程)

设过直线与圆的交点的圆的方程为

,

配方得

要使圆面积最小，必须半径最小，

由于

（当且仅当时，最小）

故所求圆的方程是

类型二：直线与圆的位置关系

2．

（1）过点向圆C:所引切线的方程为；

（2）过点向圆C:所引切线的方程为；

思路点拨:首先判定点与圆的位置关系，进一步确定切线（方程）的条数。

（1）若点在圆上，则只有一条切线，可以直接用点斜式求；

（2）若点在圆外，可以判定有两条切线（两个方程），再结合图形具体求解。

应用点斜式求直线方程时，应注意斜率不存在的情况．

解析：

（1）点在圆C:外，

①当切线垂直于轴时（如图），直线显然与圆C相切．

②当切线不垂直于轴时，设所求切线方程为,

即

又圆心到切线的距离，即

，解得.

代入方程得.

故所求切线方程为或．

（2）点在圆C:上

∵直线的斜率

∴切线的斜率

故所求切线方程为即。

举一反三：

【变式1】求过点向圆C:所引切线的方程．

【答案】：点在圆C:外

①直线显然与圆C相切．

②设所求切线方程为,即…………（*）

又圆心到切线的距离，即

，解得.

代入方程（*）得.

故所求切线方程为或．

【变式2】过点向圆C:引切线，切点为、，则=，直线的方程为；

【答案】：，

3．直线:被圆C:所截得的弦的长．

思路点拨:在解决有关圆的一类问题时，应先注意利用与圆有关的几何性质．

解析：圆C方程化为，故圆心,半径

圆心到直线的距离：,

∴由垂径定理得弦长。

举一反三：

【变式】直线被圆C:所截得的弦的中点是，求直线的方程。

【答案】：

4．已知动直线:与圆：。

（1）求证:无论为何值，直线与圆总相交；

（2）为何值时，直线被圆所截得的弦长最小并求出该最小值．

思路点拨:直线与圆相交圆心大直线的距离小于半径，或者直线经过圆内一定点。

解析：

解法一:设圆心到动直线的距离为，则

.

∴当时，

故动直线与圆总相交，且当时，弦长最小，最小值为

解法二:直线变形为：.

令，解得:，

故动直线恒过定点．

而，∴点在圆内，

故无论为何值，直线与圆总相交．

由平面几何知，弦心距越大，弦长越小，

∴过点且垂直的直线被圆所截弦长最小，

∴，∴,解得．

此时弦长为

即当时，直线被圆所截弦长最小，最小值为．

总结升华：

解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，解法简便，运算量小．

解法二从所要证的结论分析，什么样的动直线总与定圆相交？一组平行线？不可能！那么可能是过定点的直线系，且定点必在圆内！于是抓住动直线与定圆的几何特征，数形结合，生动直观，迅速解决了问题．

举一反三：

【变式1】已知直线：和圆：.

（1）时，证明与总相交。

（2）取何值时，被截得弦长最短，求此弦长。

【答案】：

（1）将直线整理成点斜式方程，则直线过定点，斜率为.

将圆整理为标准方程，则圆心，半径.

∵.

∴点在圆内，故时，与总相交。

（2）由，当与垂直时，被截得弦长最短，

∴当即时，弦长最短，

设弦端点为、，则，即最短弦长为。

【变式2】若直线与圆相交，判断点与圆的位置关系。

【答案】：直线与圆相交，则圆心到直线距离小于半径，

即,整理得，即点到圆心的距离大于半径,

∴点在圆外。

类型三：求轨迹方程及其他

5.设方程，若该方程表示一个圆，求的取值范围及这时圆心的轨迹方程。

思路点拨:由二次方程表示圆的充要条件，可求得m的取值范围；要求圆心的轨迹方程，关键是找到圆心横纵坐标之间的关系。

解析：配方得：

该方程表示圆，则有

，得，

此时圆心的轨迹方程为，消去得，

由得

所求的轨迹方程是，

总结升华：注意方程表示圆的充要条件，另求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围。

6.如图，已知定圆的半径为3，定直线与圆相切，一动圆与相切，并与圆相交的公共弦恰为圆的直径，求动圆圆心的轨迹方程。

思路点拨:建立恰当的直角坐标系，充分利用这些几何性质，问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？

解析：取过O点且与平行的直线为轴，过O点且垂直于的直线为轴，建立直角坐标系。

设动圆圆心为，圆与圆的公共弦为，圆与切于点，

则

∵为圆的直径，∴垂直平分于，

由勾股定理得，

而，，

∴

化简得，这就是动圆圆心的轨迹方程。

总结升华：求轨迹方程的一般步骤：“建系，设点，找关系式，化简，除瑕点”。

举一反三：

【变式1】已知y轴右侧一动圆与一定圆外切，也与y轴相切。

（1）求动圆圆心的轨迹C；

（2）过点作直线与轨迹交于、两点，求一点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形。

【答案】：

（1）由题意知动点M到定点与到定直线的距离相等，

则动点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，

所以点的轨迹方程为

又点在原点时，圆并不存在，

所以，动点M的轨迹C是以为顶点，以为焦点的抛物线除去原点。

（2）设直线①

设①的两个实数根，

由韦达定理得，

所以，线段AB的中点坐标为

而

轴上存在一点E，使△AEB为以点E为直角顶点的等腰直角三角形，

∴，且，

直线EF的方程为：

令得E点坐标为，则

所以

解之得，则E点坐标为。

【变式2】已知圆x2+y2=16,A（2，0），若P,Q是圆上的动点，且，求的中点的轨迹方程

【答案】：设中点，如图

∵，为的中点，∴

由垂径定理得，

而，，

∴，

化简得，这就是动圆圆心的轨迹方程。

【变式3】已知两直线:,:,有一动圆与、都相交，且、被截在圆内的两条弦的长度分别为定值26、24，求动圆圆心的轨迹方程。

【答案】：设点,动圆的半径为，到、的距离分别记为、．

由垂径定理，有:，

即

整理得.

∴动圆圆心的轨迹方程为.

7．已知圆:,点为圆上一动点，求的最大值与最小值；

思路点拨:解决与圆有关的最值问题，数形结合或利用圆的参数方程进行求解是两种非常重要和常见的方法。

解析：

方法一：设，则直线：与圆相切时，

取得最大值与最小值。

由圆心到直线的距离

得

故，。

方法二：由，三角换元得，

（为参数）

∴

故，。

总结升华：解决最值问题一定要注意结合所求最值代数式的几何含义，数形结合，把代数问题转化为集合问题加以解决，或者有时利用圆锥曲线的参数方程，也能使问题迎刃而解，同学们一定要注意对这两种方法的掌握。

举一反三：

【变式】已知圆:,点为圆上一动点。

（1）求的最大值与最小值；

（2）若，，求的最大值