全面典型的因式分解例题

典型例题一例01选择题：对2mmp?np?2n运用分组分解法分解因式，分组正确的选项是()(A)(2m2nnp)mp(B)(2mnp)(2nmp)(C)(2m2n)(mpnm)(D(2m2nmp)np剖析本组题目用来判断分组是否适合.（A）的两组之间没有公因式能够提取，因而（A）不正确；（B）的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（B）不正确；（D）中两组也无公因式可提，故（D不正确?（C）中第一组可提取公因式2,剩下因式（m?n）；第二组可提取p，剩下因式（m?n），这样组间可提公因式（m?n）C）正确?，故（典型例题二例02用分组分解法分解因式：222（1）7x-3yxy-21x；（2）1-x4xy-4y.剖析本题所给多项式为四项多项式，属于分组分解法的基本题型，经过分组后提公因式或分组后运用公式能够达到分解的目的?解⑴7x2_3yxy_21x2（7x2-21x）（-3yxy）（合理分组）7x（x-3）?y（x-3）（组内提公因式）（x-3）（7x?y（）组间提公因式）1-x24xy-4y21-（x2-4xy?4y2）（注意符号）2=1-（x-2y）（组内运用公式）=1（x-2y）-（x-2y）丨（组间运用公式）=（1x-2y）（1-x2y）说明分组分解法应用较为灵活，分组时要有预示性，可根据分组后“求同”一一有公因式或可运用公式的原则来合理分组，达到分解的目的此外在应用分组分解法时还应注意：①运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，往常一个多项式分组方法不只一种，只需能达到分解法时，同归殊途②分组时要增添带“―”的括号时，各项要注意改变符号，如⑵的第一步典型例题三例03分解因式：5x3-15x?-x亠3剖析本题按字母x的降幕排列齐整，且没有缺项，系数分别为5，-15，-1，3.5_15_15o系数比相等的有」1或-15，因而可分组为(5X3-X)、(_15X2?3)或-153-1332(5x-15x)、(-x3).解法一5x3-15x2-x-3=(5x3-15x2)?(-x3)(学会分组的技巧)2=5x(x-3)-(x-3)=(x-3)(5x2-1)解法二5X3-15X2-X，3=(5x3-x)(-15x23)x(5x2_1)-3(5x2_1)(5x2-1)(x-3)说明根据“对应系数成比率”的原则合理分组，堪称分组的一大技巧！典型例题四例04分解因式：7x2「3y-xy「21x剖析本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解的规律来达到合理分组的目的?

?见前例，可用“系数成比率”2解法一7x-3yxy-21x=(7x2-21x)(-3yxy)7x(x「3)y(x「3)=(x-3)(7xy)解法二7x2-3yxy-21x2=(7xxy)(-3y-21x)=x(7xy)_3(7xy)=(x-3)(7xy)说明本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只需所分组的项数相等，便可达成因式分解?要使分解成功，需考虑到分组后可否持续分解?本小题利用“对应系数成比率”的规律进行巧妙分组，堪称思维的独到之处，这样防止了盲目性，提高了分解的速度?典型例题五例05把下列各式分解因式：xy-xz-y22yz-z2；(2)a2_b2_c2_2bc_2a1；(3)x24xy4y2_2x-4y1.剖析此组题项数较多，考虑用分组法来分解?解法(1)xy-xz-y22yz-z2=(xy_xz)_(y2_2yzz2)x(y-z)-(y-z)2(y-z)(x-yz)a2-b2_c2_2bc_2a1222=(a-2a1)-(b2bcc)-(a-1)2-(bc)2=(a-1bc)(a-1-b-c)x24xy4y2—2x-4y1(x4xy4y)-(2x4y)1=(x2y)-2(x2y)1=(x2y-1)2说明对于项数较多的多项式合理分组时，以“交错项”为打破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时加速女口⑴中，“交错项”为2yz，相应的平方项为y2、z2;⑵中，“交错项”为2bc，相应的平方项为b2、c2.典型例题六例06分解因式：2a「5a6；(2)m3m「10.剖析本题两例属于x2(pq)xpq型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.22(2)p-7pq12q.剖析对(1)，利用整体思想，将(a+b)看作一个字母，则运用x2+(p+q)x+pq型分解；对(2)，将其看作对于p的二次三项式，则一次项系数为-7p，常数项为12q2，仍可用x2(pq)xpq型的二次三项式的规律公式达到分解的目的解(1)(ab)25(ab)4■-(ab1)(ab4)(2)12q2=(-3q)(-4q)，-3q(_4q)=-7q，p2-7pq12q2=p2_7pq12q2解(1)6=(一2)(一3)，(一2)(一3)一5，22a-5a6=a-(23)a(-2)(-3)=(a-2)(a-3)(2)-10=—25，-25=3，.m23m-10=m25(-2)m(5)(-2)=(m5)(n-2).说明抓住符号变化的规律，直接运用规律?典型例题七例07分解因式：2(1)(ab)5(ab)4；=(P-3q)(p-4q).典型例题八例08分解因式：⑴X4_x34x-1；⑵p25pq6q2p3q；⑶a(a1)(a—1)—b(b1)(b-1);⑷a2-4b2+a+2b+4bc-c2-c.剖析本组题有较强的综合性，且每题均超过三项,因而可考虑经过分组来分解解⑴法一：x4_x3?x-143=(x-x)(x-1)=x3(x-1)(x-1)(x3-x)(x1)，对于X3-1方33=(x-1)(x1)(x1可持续分解，方法很简单:法近似，能够自己探索)3=(x1)(x-1)(x-x1)法三：X4-X3X-1(x4x)(「X3-1)43=x(x1)-(x1)=(x1)(X-1)2=(x1)(x-X1)(X-1)=(x-1)(x1)(x2-x1)法二：X4-X3X-1=(x4-1)(-X3x)222=(X2-1)(X21)-x(x2-1)22=(x-1)(x1-x)⑵p25pq6q2p3q=(p25pq6q2)(p3q)(看作x2(a型式子分解)■b)xab=(p2q)(p3q)(p3q)=(p3q)(p2q1)a(a1)(a-1)-b(b1)(b-1)=a(a2_1)_b(b2-1)=a3_a-b3b33=(a_b)_(a_b)22=(a_b)(aabb)_(a_b)22(a-b)(aabb-1)222a-4ba2b4bc-c-ca2-(4b2-4bcc2)(a2b_c)a2-(2b-c)2(a2b-c)a(2b-c)〕a-(2b-c)l(a2b-c)-(a2b-c)(a-2bc)(a2b-c)-(a2b-c)(a-2bc1)说明⑴中，虽然三法均达到分解目的，但从当前同学们知识范围来看，方法二较好，分组既要合理又要巧妙，使分组不单达到分解目的，又能简化分解过程，降低思维难度.⑵式虽超过四项，但经过分组仍碰巧妙分解，只是分组后不是往常的提公因式或运用公式，而是利用了x2(ab)x-ab型二次三项式的因式分解?将p25pq6q2看做对于p的二次三项式6q2=2q3q，p25qp6q2二p2(2q3q)p2q3q.⑶式表面看无法分解，既找不到公因式，又不切合公式特点，对待此类题目，应采用“先破后立”的方式来解决?即先做多项式乘法打破原式构造，然后寻找合适的方法⑷式项数多，但认真察看，项与项之间有着内在联系，可经过巧妙分组以求打破?但应注意：①不可混杂因式分解与整式乘法的意义?如⑶小题中做乘法的目的是为了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法?②善于将外在形式复杂的题目看做熟悉种类，如⑵小题中p25pq-6q2.典型例题九例09分解因式：(1)x(x_1)(x一2)一6;(2)ab(x21)x(a2b2)剖析本组两个小题既无公因式可提又不切合公式特点，原题本身给出的分组形式无法持续进行，达到分解的目的，对此种类题，可采用先去括号，再从头分组来进行因式分解?解⑴x(x_1)(x_2)-62=x(x-3x2)-6=x'-3x2，2x-6(乘法运算，去括号)=(x3-3x2)(2x-6)(从头分组)=x2(x-3)2(x-3)2=(x-3)(x2)⑵ab(x21)x(a2b2)=abx2ab■2xab2x(乘法运算去括号)=(abx2a2x)(abb2x)(从头分组)=ax(bxa)b(bxa)=(axb)(abx)说明“先破后立，不破不立”.思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最正确的分解方式?典型例题十例10分解因式a3-7a6剖析因式分解一般思路是：“一提、二代、三分组、其次考虑规律式(十字相乘法)?”即：首先考虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解；再考虑是否能够分组分解；对形如二次三项式或准二次三项式能够考虑用“规律式”(或十字相乘法)分解?按照这样的思路，本题首应考虑用分组分解来尝试解a3~7a6=a3「7a-173=(a-1)-(7a-7)=(a—1)(a5a1)—7(a-1)=(a-1)(a2a1—7)2=(a-1)(aa-6)-(a-1)(a-2)(a3)说明当a=1时，多项式a6-7a6值为o，因而(a-1)是a3_7a6的一个因式,因此，可从“凑因子”(a-1)的角度考虑，把6拆成-1?7，使分组可行，分解成功?运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法法二：a3-7a65=(a_2)(a2a-3)=(a-2)(a-1)(a3)法四：a3-7a663二a-7a27-21(与a凑立方项)—a-a-6a'6=(a3_a)_(6a_6)a(a2-1)_6(a_1)-a(a-1)(a1)-6(a-1)=(a-1)(a2a-6)=(a-1)(a-2)(a3)法三：a3-7a6=a3-7a-8143=(a-8)-(7a-14)(凑立方项)=(a_2)(a22a4)_7(a_2)2=(a-2)(a2a4-7)=(a327)_(7a21)=(a3)(a2-3a9)-7(a3)(套用a3-b3公式)2=(a3)(a-3a9-7)2二(a3)(a—3a2)-(a3)(a-1)(a-2)法五：a3-7a63=a-4a-3a6(拆7a项)3=(a-4a)-(3a-6)a(a2_4)_3(a_2)a(a2)(a_2)_3(a_2)=(a_2)(a22a-3)(a-2)(a-1)(a3)法六：a3_7a亠6=a3-9a2a6(凑平方差公式变-7a项)3=(a-9a)(2a6)=a(a2-9)2(a3)a(a3)(a-3)2(a3)2=(a3)(a-3a2)=(a3)(a-1)(a-2)法七：令a=x1则(a-1为多项式一个因式，做变换x二a?1)a3-7a6=(x1)3-7(x1)6-x33x23x^7^76(做乘法展开)x33x2「4x2=x(x3x-4)=x(x-1)(x4)=(x-11)(x1-2)(x13)=(a-1)(a-2)(a3)(复原回a)说明以上七种方法中，前六种运用了因式分解的一种常用技巧一一“拆项”(或添)项，这种技巧以基本方法为线索，经过凑因式、凑公式等形式达到可分组既而能分解的目的?“凑”时，需思、需悟、触发灵感?第七种运用了变换的方法，经过换元寻找打破点本题还能够如下变形：a3—7a6=(a3-a7)(a2-7a6)=a2(a-1)(a-1)(a-6)=典型例题十一例11若4x2kx-25是完全平方式，求k的值?2222剖析原式为完全平方式，由4x=(2x),25=5即知为(2x_5)，展开即得k值?解4x2kx-25是完全平方式2-应为(2x-5)又(2x_5)2=4x2_20x25,故k=20.说明完全平方式分为完全平方和与完全平方差，确定k值时不要遗漏各样情况?本题222为因式分解的逆向思维类，运用a-2abb=(a二b)来求解?典型例题十二例11把下列各式分解因式：(1)x28x16；(2)a4「14a2b349b69(2a-b)2-6(2a-b)1解：(1)由于16能够看作42，于是有222x8x16=x2x44/23、2=(a-7b);(3)由积的乘方公式，9(2a-b)2能够看作[3(2a-b)]2，于是有7=(x4);(2)由幕的乘方公式，a4能够看作(a2)2,49b6能够看作(7b3)2，于是有a4-14a2b349b6=(a2)2-2a27b3(7b3)229(2a-b)-6(2a-b)1[3(2a—b)]2一23(2a—b)112珂3(2a-b)-1]=(6a-3b-1)2说明(1)多项式拥有如下特点时，能够运用完全平方公式作因式分解：①能够当作是对于某个字母的二次三项式；②其中有两项能够分别看作是两数的平方形式，且符号相同；③其余的一项恰是这两数乘积的2倍，或这两数乘积2倍的相反数.而结果是“和”的平方仍是“差”的平方，取决于它的符号与平方项前的符号是否相同(2)在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真实理解，学会运用?典型例题十三例12求证：对于随意自然数n,3「2-2「3，3n-2n1一定是10的倍数.剖析欲证是10的倍数，看原式可否化成含10的因式的积的形式.证明3n2_2n33n_2n1=(3n2?3n)-(2「3-2nd)=3n(321)-2n(232)=3n10-2n10nn、=10(3-2)10(3n-2n)是10的倍数，.3n2-2n3，3n-2n1一定是10的倍数.典型例题十四例13因式分解(1)a2xa2yb2xb2y；(2)mxmx2-n-nx解：(1)a2xa2yb2xb2y=(a2xa2b)(b2xb2y)a(xy)b(xy)=(xy)(a8b2)22222222axaybxby=(axbx)(ayby)x(a2b2)y(a2b2)=(a2b2)(xy)；(2)mxmx2-n-nx=(mxmx2)-(nnx)mx(1x)「n(1x)(1x)(mx-n)或mxmx2-n-nx=(mx2-nx)(nx-n)=x(mx-n)(mx-n)=(mx-n)(x1)说明：(1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的重点所在。因此，分组分解因式要有预示性；(2)分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；(3)分组时要用到添括号法例，注意在增添带有负号的括号时，括号内每项的符号都要改变；(4)实际上，分组只是为实际分解创建了条件，并没有直接达到分解典型例题十五例14把下列各式分解因式：2ax-axax-a解：(1)a2-4b2-a-2b=(a2-4b2)-(a2b)(a2b)(a-2b)-(a2b)=(a2b)(a-2b-1)x2-a22ab-b2=x2-(a2-2abb2)=x2_(a-b)232222(1)a-4b-a-2b；(2)x-a2ab-b；工[X(a_b)][x_(a_b)]=(xa「b)(x「ab)(3)ax3-ax2ax-a=a(x3-x2x-1)=a[(x3—x2)(x—1)]a[x2(x—1)(x1)]=a(x-1)(x21)或ax3-