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PAGE2／NUMPAGES5二期复习C解06-0706-07二期复习C解PAGE3／NUMPAGES5二期复习C解一、填空（每空2分，共20分）1．函数zarcsinln的定义域是4x2y29．2．若点(,1)是函数zy2lnxa(xy)b(x－y)的一个极值点，则a2(ln2－1)，b－2(ln21)．3．函数zln(x2y3)在点(1,1)处的全微分dz．4．设f(x,y)，则fx'(0,0)1，fy'(0,0)0．5．若非零向量、、满足··，则必有（×）及．（√）（徐230题）由得，，即、向量在向量上的投影相同：，从而可知只是满足等式的充分条件，并非必要条件．即满足的所有、向量，必使成立．故必有×．由得，，即，从而√．6．已知收敛，则1．（√）7．已知π，其中D：x2y2a2，则a．（√）二、计算及证明（共80分）1．（7'）判断级数的敛散性．解显然级数是正项级数．∵，且因1，故级数收敛，∴收敛．2．（7'）求幂级数x2n的和函数，并求的和．解∵|||x2|0，∴R∵s(x)x2n(x2n+1)'[x(x2)n]'(x)'(2x21)，|x|∴s()2．3．（7'）将f(x)ln(x2－4x3)展成x的幂级数．解f(x)ln(x2－4x3)ln[(1－x)(3－x)]ln(1－x)ln(3－x)ln(1－x)ln3ln(1－)∵ln(1－x)－，(－1x1)，ln(1－)－，(－3x3)∴f(x)ln(x2－4x3)ln3－)，(－1x1)4．（7'）已知wf(x2y,)，f有二阶连续偏导数，求：，．解2xyf1'－·f'22yf1'4x2y2f11"－·f12"·f'2－·f21"·f22"2yf1'4x2y2f11"－·f12"·f'2·f22"5．（8'）计算I．解积分区域如图，交换积分次序得I－－－－[(ysin)－－[－1(cos)](π2)f(x)ex求：f(x)．解对所给方程变形得f(x)ex－x两边关于x求导得f'(x)exxf(x)－－xf(x)ex－再求导得f"(x)ex－f(x)即f"(x)f(x)ex这是二阶常系数线性微分方程，设yf(x)，其对应齐次方程的特征方程及特征根为r210，r±i齐次的通解为YC1cosxC2sinx因其自由项为ex，m0，α1，且α1不是特征单根，故设其特解为y*Aex代入方程得AA1即A于是其特解为y*ex故yYy*C1cosxC2sinxex注意到f(0)1，f'(0)1，得C1C2从而所求函数为f(x)(cosxsinxex)．10．（7'）求曲线在点P(1,1,1)处的

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