福建省永安市三中2023学年高考临考冲刺数学试卷(含解析)

AA.5 B.6 C.7 D.82023学年高考数学模拟测试卷注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分，分值高者为优)，根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是()逐ift推理数卷分岬现学建模数学远算逐ift推理数卷分岬现学建模数学远算宜观想桀乙的数据分析素养优于甲乙的数学建模素养优于数学抽象素养甲的六大素养整体水平优于乙甲的六大素养中数据分析最差将一张边长为12的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是()B.竺-J6cm33DB.竺-J6cm333已知双曲线的中心在原点且一个焦点为FS'7,0),直线y=xT与其相交于M,N两点，若MN中点的横坐标为-2，则此双曲线的方程是号-号€1x2 y2D.—————=12 5“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列,则该数列各项之和为（）A.563835717159189A.56383571715918961242已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）.甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5分别是0.5、0.2,甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）A.0.18B.0.3C.0.24D.0.366.1卜列与函数尸§定义域和单调性都相同的函数是（A.y=A.0.18B.0.3C.0.24D.0.366.1卜列与函数尸§定义域和单调性都相同的函数是（A.y=2iog2xB.y=log^c.y=log-2XD.7.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n的值为10，贝峙输出i的值为（ ）

8.已知符号函数sgnx=<1,x>00,X=0f(x)是定义在R上的减函数，g(x)=f(x)-f(«x)(«>1),贝Ij( )—1,尤<0A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g8.已知符号函数sgnx=<1,x>00,X=0f(x)是定义在R上的减函数，g(x)=f(x)-f(«x)(«>1),贝Ij( )—1,尤<0A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]9.已知(a=ln3,Z?=loge,c=loge,3 71则下列关系正确的是（ ）A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a10.设等比数列"｝的前项和为S,若8。+a2019 2016二0,5则苛的值为（ ）3A.7C.8D.11.根据如图所示的程序框图，当输入的尤值为3时,输出的y值等于A.B.D.e-212.卜列不等式成立的是A..1 1sin->cos—B.2 2丄2〉ClogC. 132共20分。1I1

-<log—3 123D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，13.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA丄底面ABCD,且pa,3,BC,AB,4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为丫，则R 如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为 .部佐俄田部佐俄田 春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为，，各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X 的方差DX=2.1,P(X=3)<P(X=7),则〃= 一个袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等， 则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (12分)如图，四棱锥P-ABCD四边形A8CD是矩形，AB=史AD,△PAD为正三角形，且平面PAD丄2 平面ABCD,E、F分别为PC、PB的中点. 证明：平面ADEF丄平面PBC；求二面角B-DE-C的余弦值.(12分)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点E,F分别是线段DC,BC的中点，分别将△DAE沿AE折起，△CEF沿EF折起，使得D,C重合于点G，连结AF.(I)求证：平面GEF丄平面GAF；(II)求直线GF与平面GAE所成角的正弦值.(12分)已知椭圆。:一+>2=1的右顶点为A,点P在，轴上，线段AP与椭圆C的交点B在第一象限，过点B的直线l与椭圆C相切，且直线l交X轴于M.设过点A且平行于直线l的直线交>轴于点Q.当B为线段AP的中点时，求直线AB的方程；记ABpQ的面积为S，AOMB的面积为S，求+的最小值.1 2 12(12分)设椭圆C:挡+>2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).2当直线l的倾斜角为45。时，求线段AB的中点的横坐标；设点A关于X轴的对称点为。，求证：M，B，C三点共线；设过点M的直线交椭圆于G,H两点，若椭圆上存在点P,使得OG+OH OP(其中。为坐标原点)，求实数…的取值范围.(12分)已知抛物线C:>2=2PX(p>°),直线>=工-1与C交于A，B两点，且|AB|=8.求p的值；如图，过原点O的直线l与抛物线C交于点M，与直线X=-1交于点H，过点H作>轴的垂线交抛物线H于点N，证明：直线MN过定点.(10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知C1:X2+>2-2>=°,C:v3x+>=6，C:kx-y=0(k>0).2 3(1)求Ci与C2的极坐标方程⑵若1与C3交于点A,C2与C3交于点B,|Q4|=€\0B\，求€的最大值.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.【题目详解】根据雷达图得到如下数据：数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由数据可知选C.【答案点睛】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.2、B【答案解析】设折成的四棱锥的底面边长加，高为们则h=号a，故由题设可得2a „a=4审，所以四棱锥的体积V=扣、②2捋x4J2=罕顷3，应选答案B.3、D【答案解析】2 5根据点差法得一=厂，再根据焦点坐标得a2,b2=7，解方程组得a2=2，b2=5，即得结果.a2b2【题目详解】

设双曲线的方程为x2—二—1(1>0,b>0)，由题意可得12+b2—7，设M(x,y)，N(x,y)，则MN的中点为y+y)„y—y)y+y)„y—y)2x(—2)—1 2 1 」， 3b 122x(—5) ,x2y2x2y2, (x+x)(x-x，由亠一丄=1且+-1—1，得——2——1——2\o"CurrentDocument"12b2 12b2 125 x2 y2即云=b，联…2=7,解得。2=2，加=5，故所求双曲线的方程为万土—1•故选D.【答案点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.4、C【答案解析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n项和公式，可得结果.【题目详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,公差为5x7—35的等差数列，记数列｝n贝g1—23+35„n-1)=35n—12n2令1—35n—12<2020，解得n<58一.n 35故该数列各项之和为58x23+58257x35—59189.2故选：C.答案点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。5、B答案解析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得.题目详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是。・3,°・4,・.・甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为P=0.5x0.2+0.2x0.4+0.3x0.4=0.3.故选：B.答案点睛】

本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础.6、C【答案解析】1分析函数》=菲的定义域和单调性’然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性’由此确定正确选项.【题目详解】1函数y=-=的定义域为（0,+8）,在（0,+8）上为减函数.A选项，y=2iog2x的定义域为（0,+8）,在（0,+8）上为增函数，不符合.B选项，y=log2的定义域为R，不符合.C选项，y=log1的定义域为（。,+3）,在（。,十8）上为减函数，符合.2xD选项，y=盘的定义域为［。，+8），不符合.故选：C【答案点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.7、B【答案解析】根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.【题目详解】输入n=10，n=1不成立，n是偶数成立，则n=?=5，i=0+1=1；n=1不成立，n是偶数不成立，则n=3x5+1=16，i=1+1=2；n=1不成立，n是偶数成立，贝【Jn=16=8，i=2+1=3；8n=1不成立，n是偶数成立，贝un=2=4，i=3+1=4；4 .n=1不成立，n是偶数成立，贝gn=2=2，i=4+1=5；2n=1不成立，n是偶数成立，贝【Jn=2=1，i=5+1=6；n=1成立，跳出循环，输出I的值为6.故选：B.【答案点睛】本题考査利用程序框图计算输出结果，考査计算能力，属于基础题.8、A【答案解析】根据符号函数的解析式，结合/*(x)的单调性分析即可得解.【题目详解】根据题意，g(x)=f(x)-f(ax),而f(x)是R上的减函数,当x〉0时，xVax,则有f(x)>f(ax)，-f(ax当x〉0时，xVax,则有f(x)>f(ax)，-f(ax)>0,此时sgn[gx)]=1，当x=0时，x=ax,则。有f(x)=f(ax),x)=f(x)-f(ax)=0，此时sgn[gx)]=0,当xV0时，x>ax，则有f(x)Vf(ax).x)=f(x)-f(ax)V0，此时sgn[gx)]=-1，综合有：sgn[g(x)]=sgn(x)；故选：A.【答案点睛】此题考査函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.9、A【答案解析】首先判断a，b,c和1的大小关系，再由换底公式和对数函数J=ln工的单调性判断b,c的大小即可.【题目详解】因为a=ln3>lne>1，b=loge=-^,c=loge=—^，1vln3VIn,，所以cVbV1,综上可得cVbVa.3ln3，ln,故选：A【答案点睛】本题考査了换底公式和对数函数的单调性，考査了推理能力与计算能力，属于基础题.10、C【答案解析】求得等S求得等，然后利用等比数列的求和公式可求得苛的值.3【题目详解】设等比数列„a…的公比为0,+a=0, q3=Tg=--,q=--Ln 2019 2016 a 8 22016

S1-q6 7因此’宁=顷=1+03=8.3故选：C.【答案点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.11、C【答案解析】根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值.【题目详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得》=e-1，故选C.【答案点睛】本题考查程序框图，是基础题.12、D【答案解析】根据指数函数、对数函数、幕函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误..1 1.1 1…sin2„cos2，A错误;对于A，兀•.•0<一<对于A，对于B，・.・y对于B，・.・y=在R上单调递减，二13，B错误;对于C，对于对于C，对于D，•:y=x；在R上单调递增，二13，D正确.・.・log丄3=log23>1，log丄2Tog32„1，Uog丄1>log丄2，c错误;2 3 2 3【答案点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幕函数的单调性.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、旦2【答案解析】该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出R=^~,内切球2在侧面PAD内的正视图是2 1R団AD的内切圆，从而内切球半径为「I,由此能求出一.r【题目详解】■/四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA丄底面ABCD，且pa=3，BC=AB=4，设该阳马的外接球半径为R，„该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，・•.（2R）2=AB2+AD2+AP2=16+16+9=41，：侧棱PA丄底面ABCD，且底面为正方形,„内切球°】在侧面PAD内的正视图是APAD的内切圆,2S„内切球半径为丫=~^=LAPAD故答案为孚【答案点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题.解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.14、20兀【答案解析】由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.

【题目详解】由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆34柱组合而成，其体积为兀X22X4+X€x23=20n.83故答案为：20€.【答案点睛】本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.15、0.7【答案解析】( ) [10p(1-p)=2.1由题意可知：X〜B(10,p),且<!p(x=3)<p(x=7)，从而可得p值・题目详解】由题意可知：X〜B(10,p)[10p(1-p)=2.1 [100p2-100p,21=0P(X=3)<P(X=7)，即: p>0.5p=0.7故答案为：0.7答案点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题.16、316、10答案解析】由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和②有两个数字4，另外一个数字从1，2,3里面选，由此即可得到本题答案.题目详解】满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4,另外两个数字从1，2,3里面选,一共有种情况；②有两个数字4,另外一个数字从1，2,3里面选,一共有CC种情况,又从中任意摸取3个小球,有C3种情况,所以C1C2,C2C1 3取出的3个小球中数字最大的为4的概率P=26 26=.C3 1010故答案为：£

【答案点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力.、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、⑴见解析；⑵手【答案解析】（1） 取AD中点O，BC中点H，连接PO，OH，PH.设EF交PH于G，则G为PH的中点，连接OG.通过证明OG丄PH,OG丄EF，证得OG丄平面PBC，由此证得平面ADEF丄平面PBC.（2） 建立空间直角坐标系，利用平面DEC和平面BDE的法向量，计算出二面角B-DE-C的余弦值.【题目详解】（1） 取AD中点O，BC中点h，连接PO，OH，PH.设EF交PH于G，则G为PH的中点，连接OG.设AD，2，则AB, ，PO, OG丄PH.由已知AD丄PO，AD丄OH,・・・AD丄平面POHAD丄OG.・.・EFII-BC//-AD，.・.EF丄OG，2 2•:EFcPH，G,.•・OG丄平面PBC，・.・OGu平面ADEF，..・平面ADEF丄平面PBC.（2） 由（1）及已知可得PO丄平面ABCD，建立如图所示的空间坐标系O-xyz，设AD，2，则P）C伝1,0）,D（0,l,0）,B様,-l,o）,E[q2,gj,DE,倬,-2,年,So,O）,BD,斯,2,0）设平面BDE的法向量为n,（x,设平面BDE的法向量为n,（x,y,z）＜cos・・・二面角B—DE—C的余弦值为」2【答案点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18、(I)详见解析；(II)略【答案解析】根据GE丄GA,GE丄GF,可得GE丄平面GAF,故而平面GEF丄平面GAF.过F作FH丄AG于H,则可证FH丄平面GAE,故ZFGH为所求角，在AAGF中利用余弦定理计算cosZFGH,再计算sinZFGH.【题目详解】解：(I)因为GE丄GA,GE丄GF,G^^F=G,GEu平面GAF,GFu平面GAF所以GE丄平面GAF,又GEu平面GEF,所以平面GEF丄平面GAF；(II)过F作FH丄AG于h,则由GE丄平面GAF,且FHu平面GAF知GE丄FH,所以FH丄平面GAE,从而ZFGH是直线GF与平面GAE所成角.因为AG=3,FG=-,AF="2+(3)22V2 2C973所以cosZAGF=GA2+GF2-AF所以cosZAGF=GA2+GF2-AF244~9~2~9~从而sinZFGH=sinZAGF=J1—cos2ZAGF=【答案点睛】本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题.19、（I）直线AB的方程为y,—还（—瑚2）（II）【答案解析】（1）设点P（°，*）6°>°）,利用中点坐标公式表示点8,并代入椭圆方程解得*，从而求出直线AB的方程；（2）设直线l的方程为：y,kx设直线l的方程为：y,kx+m（k<°,m。°）,表示点Mi—?，°LIk丿然后联立方程,利用相切得出m2,2k2+1,然后求出切点B,再设出设直线AQ的方程，求出点Q,利用A,B两点坐标，求出直线AB的方（ 1程，从而求出P°，（ 1程，从而求出P°，C2,°)所以kmAB<62.故直线AB的方程为y，，最后利用以上已求点的坐标表示面积，根据基本不等式求最值即可.【题目详解】解：（I）由椭圆C•.二…y2,L可得：A由题意：设点p（°，y）（y>°）,当b为pa的中点时，可得：x° ° B2、 ,焰 V3]代入椭圆方程，可得：y,——所以：B二厂，？-B2i22丿（II）由题意，直线l的斜率存在且不为0,故设直线i的方程为：y,kx+m（k<°，m丰°）

MM —m令y=。，得：x=—ky=kx+mx2+2y2—2=0，消y，整理得：Gk2+1)x2y=kx+mx2+2y2—2=0因为直线l与椭圆相切，所以A=16k2m2-4（2k2+1）Gm2-2）=0设B设B（气,y「,—2km—2k

则x1=云E\,y1m=kx+m= ，1 2k2+1 m所以B又直线AQ//直线l，所以设直线AQ的方程为：y=kJ—G.令x令x=0，得y=-尽,所以：Q因为*AB=W—很-2k-姐m'm1所以直线AB的方程为：y=圣顷弟1令x=0，得1所以直线AB的方程为：y=圣顷弟1令x=0，得y=点5'所以：P°，所以\PQ=—+J2.km2k2+-f2km+1

很k+mm2+yjlkm

®k+m1又因为q=2pQ\xB\1—2k=—m—2m=\k\.所以s1所以s1+s2=Ik|+土- （当且仅当叫=12\k\，即k=手时等号成立）1—m12km所以(S+S)=J2.1 2min【答案点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程以及求椭圆中的最值问题，最值问题一般是把目标式求出，结

合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运算的核心素养，本题利用了基本不等式求最小值的方法，运算量较大，属于难题.220、(1)AB的中点的横坐标为3；(2)证明见解析；(3)(-2,2)【答案解析】设A(x,y),B(x,y).y,x—y,x—1x2，消去y并整理, Fy2,1„2(1)因为直线l的倾斜角为45。，F(1,0)，所以直线AB的方程为y，x-1，联立方程组(得3x2—4x，0，贝x+x,4,气+%,-,12 3 2 32故线段AB的中点的横坐标为§.(2)根据题意得点C(x,—y)，\o"CurrentDocument"1 1C三点共线;若直线AB的斜率为0，贝直线AB的方程为J,。，A、C两点重合，显然M，BC三点共线;若直线AB若直线AB的斜率不为0,设直线ab的方程为X,my+1，xx,my+1联立方程组,x2 .—+y2,1„2’消去X并整理得(m2+2)y2+2my-1,0，则y1+y_,-2mk'y1y1则y1+y_,-2mk'y1y1，设直线BM、CM的斜率分别为k、kCMBMk—kBMCM一y

2—2—x22my

—1—

2—x1y(x—2)+y(x—2)y(my—1)+y(my—1)_1 1_2— —- -(x—2)(x—2)12之 1 1 2-(my一1)(my一1)122myy—(y+y) ^2 1 2 1—m(y+y)+m2yy1 2 12—2m Fm2+2m2+2- 2m2 m21+ m2+2m2+2,0，即kBM=k，即M，B，CMC三点共线.(3)根据题意，得直线GH的斜率存在，设该直线的方程为y,k(x-2)，设P(x,y),G(x,y),H(x,y)，0 0 3 3 4 4y，k(x—2)联立方程组,x2 ，消去y并整理，得(1+2k2)x2—8k2x+8k2—联立方程组, Fy2，1〔28k2 8k2一2由△,64k4—4(1+2k2)(8k2—2)>0，整理得k2<，又x+x, ,xx, ，3 4 1+2k2 34 1+2k24k所以y+y,k(x+x—4)，—-— ,34 34 1+2k2

结合OG+OH~^YP,得€x,x+x结合OG+OH~^YP,得€x,x+x,€y,y+y,丁on— o34o347当€,o时，该直线为x轴，即y,0,此时椭圆上任意一点P都满足况+OH，U）P，此时符合题意;当X。0时，由0G+oh，WP，得<1 8k2x— 0€1+22，代入椭圆C的方程，得€1-4k X2(1+2k2)2y, 0€1+2k216k2X2(1+2k2)21 16k2得 1+2k2 丄+2，k2再结合k2<2，得到0<€2<4，即€e(-2,0)U(0,2),综上，得到实数€的取值范围是(-2,2).1621、（1）p,2；（2）见解析【答案解析】（1）联立直线和抛物线Iy2,2px[y，x-1,消去x可得y2-2P一2P,0，求出"1+"2,2P，yiy2,一2八再代入弦长公式计算即可.TOC\o"1-5"\h\z1 4 4（2）由（1）可得y2,4x，设M（-yy°），计算直线OM的方程为y,—x，代入x,