定积分典型例题20例答案(收藏)

n)wn2n)wn2分析将这类问题转化为定积分主要是确难以想到，可采取如下方法：先对区间等分解将区间等分，则每个小区间长为1]nx1xinn2nnnn4n43n+n++n)22n)wnn)wnn)wn0解法2本题也可直接用换元法求解．令22022求f,(x)=．x0djv(x)f(t)dt=f[v(x)]v(x)f[u(x)]u(x)．dxu(x) (2)由于在被积函数中不是积分变量，xf(x)=jxf(t)t+xf(x)．解对等式jx31f(t)d=x两边关于x求导得0故f(x31)=32，令x31=26得x=3，所以f(26)=．1txx9即1为所求．9解－(,0)－(,0)f(x)故为的极大值点，为极小值点．x=1f(x)例7已知曲线与在点处的切线相同，其中y=f(x)y=g(x)(0,0)33f()f(0)．33f()f(0)．0试求该切线的方程并求极限3．limnf()nny=f(x)y=f(x)y=g(x)(0,0)fgfg(0)．且由两曲线在处切线斜0率相同知(0,0)ffgearcsinx2x故所求切线方程为．而y=xlimnf()=lim3.n=3f(0)=3nnn30nlim0lim0x该极限属于0型未定式，可用洛必达0解limx注=(2).lim12x2=0．x0sinx此处利用等价无穷小替换和多次应用2t试求正数a与b，使等式2tx0xbsinx0易见该极限属于0型的未定式，可用0解x2x=1limx2=1，x01limx2=ax01cosx2，aa=4a=4b=1limf(x)=limsin(sin2x).cosxx0g(x)x03x2+4x3 x03+4xx0x23x0x23故是同阶但非等价的无穷小．选B．f(x)解x)2将展成的幂级数，再逐项积分，得到sint2t03!342则 xxlim=limx0g(x)xx0g(x)x0x3+x4=x0xx02一1202在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证jdx错误的．错误的原因则是由于xx6被积函数1在处间断且在被积区间内无界.x2例12设f(x)是连续函数，且f(x)=x+3j1f(t)dt，则00分析本题只需要注意到定积分jbf(x)dx是常数(为常数)．aa,b解因f(x)连续，f(x)必可积，从而j1f(t)dt是常数，记j1f(t)dt=a，则00002220444解xj12x2+xdx=4j1x2dx=4j1x2(11x2)dx=4j1dx4j11x2dx04dx0中含有，因此不能直接求导，必须先换元使被x解由于jxtf(x2t2)dt=1jxf(x2t2)dt2．02006026jxtf(x2t2)dt=1j0f(u)(du)=1jx2f(u)du，02x220故djxtf(x2t2)dt=d[1jx2f(u)du]=1f(x2).2x=xf(x2)．dx0dx202错解分析 这里错误地使用了变限函数的求,(x)=djxf(t)dt=f(x)dxaf(t)f(t)分析被0积函数中出现幂函数与三角函数解000例16计算j1ln(1+x)dx．0(3x)2xxxxxx0，，0=ln1j1(1+1)dx2401+x3x24分析被0积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．(1)而00000000(2)0将(2)式代入(1)式可得故2分析被0积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解0022002022404(1)jxdxjsintdsintjsint.costdt=jsin2tdtintcost将(2)式代入(1)式中得 08j几[f(x)+f,(x)]cosxdx=2，求f,(0)．0分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．0