概率论与数理统计第三章第一二三节

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概率论与数理统计第四版

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第三章

随机向量

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本章内容是其次章内容的推广一维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点探讨二维随机变量.

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到现在为止，我们只探讨了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)来确定的等等.

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第三章第一节二维随机向量及其分布函数设随机试验E的样本空间是Ω.X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向量.二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的性质有关,而且还依靠于X和Y的相互关系,因此必需把(X,Y)作为一个整体加以研究.为此,首先需要引入二维随机向量(X,Y)的分布函数的概念.

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二维随机变量(X,Y)X和Y的联合分布函数

一维随机变量X

X的分布函数

F(x,y)P(Xx,Yy)

x,y

F(x)P(Xx)x

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假使把(X,Y)看成平面上随机点的坐标.取定x,yR1,F(x,y)就是点(X,Y)落在平面上的以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形区域内的概率.见右图.

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J说明由上面的几何解释,易见:随机点(X,Y)落在矩形区域:x1x≤x2,y1y≤y2内的概率

P{x1X≤x2,y1Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)

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二维分布函数F(x,y)的三条基本性质1.F(x,y)是变量x,y的非减函数.即yR1取定,当x1x2时,F(x1,y)≤F(x2,y).同样,xR1取定,当y1≤y2时,F(x,y1)≤F(x,y2).

2.x,yR1有0≤F(x,y)≤1

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3.yR1,F(-∞,y)=0,xR1,F(x,-∞)=0,F(-∞,-∞)=0,F(∞,∞)=1其中:

F(,y):limF(x,y),x

F(x,):limF(x,y),y

F(,):limF(x,y),xy

F(,):limF(x,y)xx

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这一讲我们介绍了二维随机向量的概念,二维随机向量的分布函数及其性质.二维随机向量也分为离散型和连续型,下面我们分别探讨它们.

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第三章其次节

二维离散型随机向量假使二维随机向量(X,Y)的每个分量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是二维离散型随机向量.

二维离散型随机向量(X,Y)所有可能取的值也是有限个或可列无穷个.

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二维随机变量(X,Y)离散型联合分布X和Y的联合概率分布

一维随机变量X离散型X的概率分布

P(Xxi,Yyj)pij,i,j=1,2,…

P(Xxk)pk,k=1,2,…

pij0,i,j1,2,pij1ij

pk0,k=1,2,…pk1

k

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概率分布也可以用表格表示.表3.2.1.YXx1x2┇

y1P11P21┇Pi1┇

y2p12P

22┇Pi2┇

yjP1jP2j┇

xi┇

Pij┇

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(II)二维分布律与二维分布函数设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为piji=1,2,;j=1,2,.于是(X,Y)的分布函数

F(x,y)P{Xx,Yy}PXxi,Yyjxx,yyij

F(x,y)

xixyjy

PXx,Yyijxixyjy

p

ij

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F(x,y)

xixyjy

p

ij

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例1

设有10件产品,其中7件正品,3件次品.现从中任取两次,每次取一件产品,取后不放回.令:X=1:若第一次取到的产品是次品.X=0:若第一次取到的产品是正品.Y=1:若其次次取到的产品是次品.Y=0:若其次次取到的产品是正品.求:二维随机向量(X,Y)的概率分布.

解:(X,Y)所有可能取的值是(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).

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P{X=0,Y=0}=P{第一次取到正品且其次次也取到正品},利用古典概型,得:P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15同理求得:P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30P{X=1,Y=0}=(37)/(109)=7/30P{X=1,Y=1}=(32)/(109)=1/15YX01

07/157/30

17/301/15

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为了进行吸烟与肺癌关系的研