线性代数二次型测试题

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第七章二次型

练习7.1用正交变换化二次型为标准形

一、填空题

??2221.二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?3x3?4x1x2?2x2x3的矩阵是?????；?????0?12.矩阵??2?1??2120231?2?1??对应的二次型是；2?0???3.二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为______；

2224.已知实二次型f(x1,x2,x3)?a(x1?x2?x3)?4x1x2?4x1x3?4x2x3经正交变2换x?Py可化成标准形f?6y1,则a?_______________。

二、写出以下实对称矩阵所对应的二次型和二次型f的矩阵A，并求二次型的秩：

0??1?10?0??0??213??x???11?1?0????????f?x，y，z1321.A???；2.???y?.???745??z?001?1??0?????000?11???n22三、设二次型f?2x1?x2?4x1x2?4x2x3分别作以下三个满秩变换，求新二次型．

???11?2????x?01?2y1.??；2.x???001??????四、求正交变换x=Py，将以下二次型化为标准形1.f?2x1?x2?4x1x2?4x2x3；

2222.f?2x1?5x2?5x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3.

221200?1?1??1?1?y.

1?02??五、设二次型fx1,x2,x3?x1?x2?x3?2x1x2?2x1x3?2ax2x3，通过正交变换化

??22222为标准形f?2y1?2y2.求常数a，b及所用正交变换矩阵Q.若XX?3，求?by3T2f的最大值.

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练习7.2用配方法化二次型为标准形练习7.3正定二次型

一、用配方法化以下二次型为标准形，并写出相应的可逆变换矩阵C

1.f?2x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3；2.f?2x1x2?4x1x3二、填空题

221.若A???ab?22,a?0,a?b?1，则A正定矩阵；??b?a?2222.二次型f(x1,x2,x3)?3x1?4x2?5x3?4x1x2?4x2x3定的，22f(x1,x2,x3)??5x12?6x2?4x3?4x1x2?4x1x3定的；

3.若二次型

22f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x1x2?tx2x3是正定的,则t的取值范围

是_____.

222三、当t满足什么条件时，二次型f(x1,x2,x3)?x1?4x2?2x3?2tx1x2?2x1x3是

正定二次型?

222四、问t为何值时，二次型f??x1?x2?5x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3是负定二次型．

五、已知实对称矩阵A，满足A2?5A?6E?0，证明A是正定矩阵.六、设A是正定矩阵，证明A,A,A*也是正定矩阵．七、设A，B均为n阶正定矩阵，证明BAB也是正定矩阵．

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练习7.4用合同变换化二次型成规范形

T?10??1?12??10????0?，问A与B是否合同，若合同，一、已知A??3726?，B??410?218?1???80?45?????求可逆矩阵P，使PAP?B.

二、用合同变换化以下二次型为规范形，并写出相应的可逆线性变换矩阵C.

2f?x1,x2,x3??x12?3x3?2x1x2?4x1x3?2x2x3T三、证明:实对称矩阵A为正定的充分必要条件是A与