线性代数练习册第四章习题及答案(本)

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第四章线性方程组

4-1克拉默法则

一、选择题

1．以下说法正确的是（C）

A.n元齐次线性方程组必有n组解；B.n元齐次线性方程组必有n1组解；

C.n元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；

D.n元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解.2．以下说法错误的是（B）

A.当D0时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当D0时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则D0；D.若非齐次线性方程组有无解，则D0.二、填空题

x1x2x30

1．已知齐次线性方程组x1x2x30有非零解，

x2xx0

231

则1，0.

2．由克拉默法则可知，假使非齐次线性方程组的系数行列式D0,则方程组有唯一解xiDiD

.

三、用克拉默法则求解以下方程组

8x3y2

1．

6x2y3

解：

D

86

32

20

5

D2

86

2312

D1

23

32

，

D1D52,y

所以，x

D2D

6

x12x2x32

2．2x1x23x31

xxx0

231

1D2

2111

131

r22r1r3r1

100011010011

2315

1

5500

解：

2D11

01D22

11D32

1

1211210211D1D

3r12r2111

05

351531010150D3D

，

3r12r2212

15

，

1r12r2201,x2

1D2D

1

所以，x12,x3

2xz1

3．2x4yz1

x8y3z2

2D2

0481

10048

1

12003

解：

1D11

22D22

12D32

1

1c12c303

1

0482

50

1048112048D1D

1c3c1131

2

0205112048

000511202D3D

，

1c3c2231

10

，

1c12c3021,y

5D2D

1

所以，x0,z

x1x2x3x45

x12x2x34x424．

2x13x2x35x423xx2x11x0

2341

解：

1D

123152

12312315D1

220522

1D2

123712151D3

1232511

522123115552202315220101828

11123781231

14511

r2r1r32r1r43r1100

1000

11523

8142145

12310

3214222571215001123102951

0727

426133128485220

10182801231

13781550

1018280

1231

1378

r25r1r32r11112

1

2135

4c32c225c411c2211

027231000

0135

10182811123781

c15c2c310c2

14511

r2r1r32r1r43r1

23331525

r12r3r23r3

4c13c2112c25c11c35c1

22511

5c411c211

1D4

1232511

155

1231522

D1D

1112

5212315

1550

5220

2c13c252c32c2110

256

D2D

0100

r3r2r25r1

271424

D3D

3,x4

D4D

1

所以，x11,x22,x3

4-2齐次线性方程组

一、选择题

1．已知mn矩阵A的秩为n1，1,2是齐次线性方程组AX0的两个不同的解，k为任意常数，则方程组AX0的通解为（D）.A.k1；B.k2；C.k(12)；D.k(12).

解：由于mn矩阵A的秩为n1，所以方程组AX0的基础解系含1个向量。而1,2是齐次线性方程组AX0的两个不同的解，所以120为AX0的解，则方程组AX0的通解为k(12)。

kx1x2x30

2．设线性方程组x1kx2x30有非零解，则正确的是（C）

2xxx0

231

A.k必定为0；B.k必定为1；

C.k为0或1；D.这样的k值不存在.

a1b1a2b1

3．A

Manb1

a1b2a2b2Manb2

LLOL

a1bn

a2bn

,且a0(i1,2,L,n)，0(j1,2,L,n)，bijManbn

则Ax0的基础解系中含有（A）个向量.

A.n1；B.n；C.1；D.不确定.

a1b1a2b1

解：由于A

Manb1

a1b2a2b2Manb2

LLOL

a1bna1

a2bna

2b

1

MManbnan

b2

L

bn

所以，R(A)1；又a1b10R(A)1，所以，R(A)1。

4．设A为n阶方阵，r(A)n3，且a1,a2,a3是Ax0的三个线性无关的解向量，则Ax0的基础解系为（A）．

A．a1a2,a2a3,a3a1；B．a2a1,a3a2,a1a3；C．2a2a1,二、填空题

1．n元齐次线性方程组AmnX0有非零解的充分必要条件是R(A)n.

(1)x12x24x30

2．当0或2或3时，齐次线性方程组2x1(3)x2x30有非零解.

xx(1)x0

231

12

a3a2,a1a3；D．a1a2a3,a3a2,a12a3．

3．写出一个基础解系由12,1,0，23,

T

0,

1组成的

T

齐次线性方程组_____x12x23x30.

x12x23x3

解：方程组可为x2x2

xx33

即x12x23x30

x12x23x33x47x50

3x12x2x3x43x50

三、求解齐次线性方程组

x12x32x46x50

5x4x3x3xx0

23451

解：

1

233723r31

A

321132

r148r010226

3r1

0215

4

3

31r5r4106

12

r(1/4)1

23372

r(1/1

r2r0122633)32

r003311

22r3

r0

046r2

00

0r2r123r30

x4x1

5/3x

4x5/3

所以，同解方程组为

2x3

x411x5/3，x4x4x5

x5

04/3

04/3

则11,211/3为一组基础解系，

1001

所以，通解为xk11k22。

37

824

11

12360004/3

1004/3

01111/3

00

0

x12x22x30

四、已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组2x1x2x30的解.

3xxx0

123

①求的值；②证明B0.

①解：

由于3阶非零矩阵B的每一列都是方程组的解，所以方程组有非零解。

1

211

2

系数行列式A2

3

01。

1

②证明：依题意，ABO。假设B0，则B可逆，

ABOABB

1

OB

1

AO，矛盾。所以，B0。

补充：求证：Amn,Bnp，AB0R(A)R(B)n.

证明：依题意，矩阵B的所有列向量1,,p都是齐次线性方程组

Ax0的解，而Ax0解空间的维数是nR(A)，

所以，R(B)R(1,,p)nR(A)，即R(A)R(B)n。

4-3非齐次线性方程组

一、选择题

1．若R(A)rn，则n元线性方程组AmnXb.

A.有无穷多个解；B.有唯一解；C.无解；D.不一定有解.

2．线性方程组

x1x21x1x20

（A）.

A.无解；B.只有0解；C.有唯一解；D.有无穷多解.

x1x2x31

3．方程組x1x2x3有唯一解，则应满足（A）.

2

x2x3x1

A.1C.1

1

0

4．设A＝

01

,2；B.1,2；D.1

,2；,2.

1100

0110

0a1

a0

，b2，Axb有解的充分必要条件为（D）．

a13

1a4

A.a1a2a3a4；B.a1a2a3a41；C.a1a2a3a40；D.a1a2a3a40.

二、填空题

)1．n元非齐次线性方程组AmnXb有解的充分必要条件是R(A)R(A,b.

2．若5元线性方程组AXb的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则rA

3．设有一个四元非齐次线性方程组AXb，R(A)3，又1,2,3是它的三个解向量，其中12(1,1,0,2)，23(1,0,1,3)，则非齐次线性方程组的

T

通解为k(0,1,1,1)

T

T

(1,1,.

T

解：由于1,2,3是AXb三个解向量，则

(12)(23)(1,1,0,2)(1,0,1,3)(0,1,1,1)0是AX0的解，

T

T

T

而R(A)3，所以(0,1,1,1)T是AX0的一组基础解系，又

12

(12)

12

(1,1,0,2)是AXb的解，

T

所以，AXb的通解为k(0,1,1,1)T(1,1,0,2)T

2x3yz4

x2y4z5

三、求解非齐次线性方程组

3x8y2z134xy9z6

解：

2

1A=34

3281

1429

415r013~060

0100

2100

1200

x2z1

同解方程组为yz2

zz

2

令1为一组基础解系

1x2

则通解为yc1

z1

1

2,(cR)0

x1ax2x33

四、a,b取何值时，线性方程组x12ax2x34

xxbx4

231

（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？

说明:对于方程个数与未知量个数相等的含参数的线性方程组,判别其由唯一解,有无穷解或无解时最好用:方程组有唯一解系数行列式|A|0,此种方法简单又不简单出错.

解:方程组有唯一解系数行列式|A|0

a11a1而|A|2a1r2r11

bra03r01

01