线性代数习题参考答案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——线性代数习题参考答案第一章行列式

§1行列式的概念

1．填空

(1)排列6427531的逆序数为，该排列为排列。(2)i=，j=时，排列1274i56j9为偶排列。

(3)n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的

n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构

成一个n元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。

(4)在6阶行列式中，含a15a23a32a44a51a66的项的符号为，含

a32a43a14a51a66a25的项的符号为。

2．用行列式的定义计算以下行列式的值

a11(1)00a22a320a23

a330解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。

00(2)

00an?1,2an20a2,n?1an?1,n?1an,n?1a1na2n

0an1an?1,nann解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。3．证明：在全部n元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n元排列共有n!个，设其中奇排列数有n1个，偶排列数为n2个。对于任意奇排

列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与大量偶排列对应，所以有n1n2，同理得n2n1，所以n1n2。

1

4．若一个n阶行列式中等于0的元素个数比n?n多，则此行列式为0，为什么？

5．n阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n至少为多少？

（提醒：利用3题的结果）

6．利用对角线法则计算以下三阶行列式

22（1）10813?4?1

?1

1（2）a1bb21cc2a2

2

§2行列式的性质

1．利用行列式的性质计算系列行列式。

2141(1)

3?1211232

5062a100(2)

?1b100?1c1

00?1d?abacae(3)bd?cdde

bfcf?ef3

2．证明以下恒等式

ax?byay?bz(1)D?ay?bzaz?bxxzyzxzxyaz?bxax?by??a3?b3?yaz?bxax?byay?bz（提醒：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）

a2(2)

b2c2d2

?a?1?2?b?1?2?c?1?2?d?1?2?a?2?2?b?2?2?c?2?2?d?2?2?a?3?2?b?3?2?c?3?2?d?3?2?0

x0(3)

?1x0?100xa200?xn?a1xn?1??an?1x?an?1x?a10an00an?1an?2(提醒：从最终一列起，后列的x倍加到前一列)

4

3．已知四阶行列式D的第三行元素分别为：?1,0,2,4；第四行元素的对应的余

子式依次是2，10，a，4，求a的值。

124．已知1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，证明：345被13整除。

（提醒：注意观测行列式中第2，3，4，5列元素的特点）

12345222115．已知D5?31245?27，

1112243150求：(1)3A12?2A22?2A32?A42?A52；

(2)A41?A42?A43和A44?A45。

（提醒：利用行列式按行（列）展开的性质计算）

5

136274405669535536能

56

(2)Dn?1?a1122?a2nn12n?an,a1a2an?0

1101?a1解：构造辅助行列式D?020则Dn?D，而D?

5．用数学归纳法证明：

112?a2n112n?an，

ncos?Dn?10012cos?10012cos?0000000?cosn?

12cos?证明：（1）n?1时，等式显然成立；

（2）假定等式对于小于n阶的行列式成立；

11

（3）（下证n阶行列式成立）

由于，Dn?Dn?1+Dn?2（注：按最终一行（列）展开）==所以，

xaaaxa6．Dn?aaxaaaaaa，(n?1)a?x?0,求An1?An2?x?Ann

(提醒：将所有行加到最终一行)

12

§3克来姆（Cramer）法则

1．用克来姆法则解以下方程组

?2x1?x2?x3?4?(1)?3x1?4x2?2x3?11

?3x?2x?4x?1123?1

?x1?3x2?x3?0?(2)?2x1?5x2?0

?x?x?0?12

?kx1?x2?x3?0?2．当k取何值时，方程组?x1?kx2?x3?0有非零解？

?2x?x?x?0?123

13

其次章矩阵

§1矩阵的概念及运算

1．判断正误

（1）设A为m?n矩阵，B为s?p矩阵，若AB?BA，则AB与BA必为同阶方阵。

（（2）A与B为n阶方阵，?为实数，有(?A)B?B(?A)???A?B。

（（3）A与B为n阶方阵，(AB)k?AkBk

(k?N)。（（4）A与B为n阶方阵，?A?B?2?A2?2AB?B2。（（5）A为n阶方阵，?A?E?2?A2?2A?E。（（6）A与B为n阶方阵，(A?B)(A?B)?A2?B2。（（7）A为n阶方阵，(A?E)(A?E)?A2?E。（（8）A与B为n阶方阵，AT?BT?A?B。（（9）A与B为n阶方阵，ATBT?AB。（2．选择题

(1)设A,B,C均为n阶方阵，AB?BA,AC?CA，则ABC?（）(A)ACB（B）CBA(C)BCA(D)CAB(2)若A为实对称矩阵，则ATA的值（）

(A)?0（B）?0(C)?0(D)不能确定

（3）设A为方阵，f(x)?x2?x?2，则f(A)为（）

(A)A2?A?2（B）A2?A?2E(C)(A?2E)(A?E)(D)不能确定

14

））

））

）））））?12???20?????3．设A??10，B?1?1，计算：

?????23???11?????(1)

1A?3B；(2)ABT；(3)ATB。2?10?4．计算An???。

??1?(提醒：先计算出A2,A3，以此归纳出An，然后用数学归纳法证明结论)

5．设A为n阶方阵，若对任意的n维列向量z，均有Az?0，证明：A?0。

(提醒：由于n维列向量z的任意性，考察n维列向量e1,e2,为0)

15

n,en，证A中各元素

6．设A为实对称矩阵，若A?0，证明A?0。

(提醒：证A中各元素为0)

7．若A为n阶方阵，且满足AAT?E。若A?0，求E?A。(提醒：先证明E?A??E?A)

8．试证：若A为奇数阶方阵，且满足AA?E，A?1，则E?A?0。(提醒：先证明E?A??E?A)

9．若A为奇数阶反对称方阵，证明：A?0。(提醒：由反对称阵的定义证明)

T216

10．设A,B都是对称矩阵，证明：AB为对称矩阵的充要条件是AB?BA。

11．设n阶方阵A?(aij)，B?(bij)，且A与B的各行元素之和为1，?是n?1矩阵，

且每个元素都为1，求证：(1)A???；

(2)AB的各行元素之和都等于1；

(3)若A,B各行元素之和分别为k,t，则AB的各行元素之和都等于什么？

17

§2逆矩阵

1．判断正误(A,B,C均为n阶方阵)

(1)AB?0?A?0或B?0。()(2)AB?AC?B?C。()(3)A为n阶方阵。则A2?A?A?E或A?0。((4)A?1?1A。((5)?AB??1?B?1A?1，?AB?T?BTAT。((6)A*(A*)*?A*E。(2．填空

?21(1)设A??3??012??，则A?，A*?，

??101??A?1=。

(2)设A为3阶方阵，且A?4，则A?1=，(4A)?1=，

13A*?4A?1=，(A*)T=。?100?(3)已知A*BA?2AB?12E,A???0?20??，则B=。

??001??(4)设??14??X???31??，则X=。

??12??0?1?

18

)))

)

3．设A?0，证明：(E?A)k?1?E?A?A2?2?Ak?1。

(提醒：证明(E?A)(E?A?A?

?Ak?1)?E)

4．设方阵A满足A?A?2E?0，证明：A及A?2E都可逆，并求其逆矩阵。（提醒：利用可逆的定义证明）

*5．设A是n阶方阵，证明：(1)若A?0，则A*?0；(2)A?An?12；(3)

(A*)*?An?2A,(A?0)。

*（提醒：凡是与伴随矩阵有关的结论，可先考虑等式AA?AE）

19

6．设n阶非零方阵A的伴随矩阵为A*，且A*=AT，求证：A?0。(提醒：可考虑用反证法证明)

7．设A是n阶方阵，如有非零矩阵B使AB?0，则|A|?0。

8．设A,B,A?B,A?B均为n阶可逆方阵，求(A?B)。

?1?1?1?1?120

§3分块矩阵

??1??41．设A??02000??000??1010??0005001?，B??21?32??3?0?，利用分块矩阵计算AB。??30000????03000????200?2．设A???010???，P??2?0??001????0?P?1AP?5。

??1?210????0140??00?12??，(1)利用分块矩阵求A?1,P?1；(2)计算

01??21

3．设A,B均为n阶方阵，令Q???OA??

?BO?(1)证明Q可逆的充要条件是A,B均可逆；

?U(2)设P???WV??EO??，求出U,V,W,X；?，使PQ??OEX????1(3)当Q可逆时，求出Q。

?0??04．设A????0?a?n

a10000a2000??0??,a1?0an?1?00??00an?0，利用矩阵分块求A?1。

22

5．设A为n阶可逆方阵，A1为n?1矩阵，b为常数，

?EP??T*??A1AO??A，Q???TA??A1A1??b?T?1(1)计算PQ；(2)证明：Q可逆的充要条件是A1AA1?b。

6．设A为4阶矩阵，且A?2，把A按列分块为A??A1,A2,A3,A4?，其中

Aj(j?1,2,3,4)A的第j列，求A3?2A1,3A2,?A4,?A1。是

(提醒：根据行列式的性质计算)

23

§4矩阵的初等变换

?3?20?1???0221?化为阶梯形和简单阶梯形。1．把矩阵A????1?2?3?2??0121????122．利用初等变换求逆矩阵，A??20??11?103．利用初等变换求解以下矩阵方程

?4（1）?1?2??221??1?3??X???22??

??31?1????3?1??24

00?12?0?1??。

00??

?021????123?（2）X2?13????2?31?

???33?4????

?2??04．已知A??0???0?之和

221101002??1?用初等变换求A?1，并计算A的所有代数余子式1?，??1??i,j?1?Anij。

(提醒：利用AA?AE，可求

*i,j?1?Anij)

25

4．证明：若向量组?1,?2,（提醒：用定义证明）证明:不妨设?1?0法一：显然1?1?0?2?,?s中含有零向量，则此向量组一定线性相关。

?0?s?0，即存在不全为零的数使得?1,?2,,?s线性组合

为零，故向量组一定线性相关。

法二：由?1?0可知向量组?1线性相关，又??1????1,?2,相关。

注意：由于向量组?1,?2,,?s?，故向量组一定线性

,?s中含有零向量，故行列式?1,?2,,?s?0，故向量

组一定线性相关。（这样证明是错误的，由于??1,?2,）,?s?不一定是方阵。

5．已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，?1??1??2,?2??2??3，

?3??3??4,?4??4??1，用定义证明：向量组?1,?2,?3,?4线性无关。

解：设

k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0，由题条件可得

?k1?k4??1??k1?k2??2??k2?k3??3??k3?k4??4?0

1?k1?k4?0?k?k?01?12又?1,?2,?3,?4线性无关，故有?方程组系数行列式为

0k?k?0?23?0?k3?k4?0k2,k,3k4由克拉姆法则方程组有只有零解，故只有k1,才成立，故向量组?1,?2,?3,?4线性无关。

00?1101101001?1?0

全为零k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0

31

6．若向量?可由?1,?2,,?s线性表出，则表示法唯一的充要条件为

?1,?2,,?s线性无关。

（提醒：可考虑用反证法证明）证明：充分性（?1,?2,的表示为

,?s线性无关?表示法唯一）：若表示不唯一，设有两个不同

k1?1?k2?2?l1?1?l2?2?由（1）（2）得?k1?l1??1??k2?l2??2?由两个表示不一样有k1?l1,k2?l2,盾。故当?1,?2,?ks?s???ls?s??(1)(2)

，

??ks?ls??s?0ks?ls不全为零，这与?1,?2,,?s线性无关矛

,?s线性无关时表示法唯一

,?s线性无关）若?1,?2,,?s线性相关，则

必要性：（表示法唯一??1,?2,存在不全为零的数设为m1,m2,ms有

m1?1?m2?2?又?可由?1,?2,?ms?s?0?3?

,?s线性表出记为

n1?1?n2?2??ns?s??(4)

由（3）（4）可得

?n1?m1??1??n2?m2??2?由m1,m2,??ns?ms??s??(5)

ms不全为零知道（4）（5）是?两个不同的表示，这与表示唯一矛盾。

故表示法唯一??1,?2,

,?s线性无关

32

7．若向量组?1,?2,?3线性无关，问常数l,m需满足什么条件时，向量组

l?1??2,?2??3,m?3??1线性无关？

（提醒：用定义判定）

解：设x1?l?1??2??x2??2??3??x3?m?3??1??0即有

?lx1?x3??1??x1?x2??2??x2?mx3??3?0

由向量组?1,?2,?3线性无关得

?lx1?x3?0??x1?x2?0?x?mx?03?2l方程组的系数行列式为10110?lm?1，由克拉姆法则得lm?1?0时方程组只有零解。

01m当lm??1时l?1??2,?2??3,m?3??1线性无关。

33

8．判断题

（1）若向量组?1,?2,,?m线性相关，则任一向量?i(1?i?m)可由其余向量线

性表出。（?）正确为：若向量组?1,?2,,?m线性相关，则至少有一个向量?i(1?i?m)可

??1??0??0??????????由其余向线性表出。反例：??0?,?1?,?0??

??0??0??0??????????（2）对任意一组不全为零的数?1,?2,向量组?1,?2,,?m，有?1?1??2?2???m?m?0，则

,?m线性相关。（?）

思考一下这在什么状况下发生（3）若?1,?2,,?m线性相关，?1,?2,,?m亦线性相关，则有不全为零的数

?1,?2,,?m，使?1?1??2?2???m?m?0，

?1?1??2?2???m?m?0同时成立。（?）

,?m，使

（4）若有不全为0的数?1,?2,?1?1??2?2????m?m??1?1??2?2????m?m?0

成立，则?1,?2,,?m线性相关，?1,?2,,?m亦线性相关。（?）

（5）对于三维向量，若两向量线性相关，则这两向量平行；若三向量线性相关，则

这三向量共面。（?）

9．选择题

（1）n维向量组?1,?2,,?s(3?s?n)线性无关的充分必要条件是（D）

??s?s?0；

（A）存在不全为零的数?1,?2,?,?s，使?1?1??2?2???1??0??0???1??0??0???????????????反例??0?,?1?,?0??线性相关但0?0??0?1???0??0

??0??0??0???0??0??0???????????????正确应为：n维向量组?1,?2,,?s(3?s?n)线性无关的充分必要条件是

??s?s?0

对任意的不全为零的数?1,?2,?,?s，使?1?1??2?2?（B）?1,?2,

,?s中任意两个向量线性无关；

34

（C）?1,?2,（D）?1,?2,（2）设?1,?2,,?s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出；,?s中任意一个向量都不能用其余向量线性表出。

,?m均为n维向量，那么以下结论正确的是（B）

??m?m?0，则?1,?2,,?m线性相关；

??m?0时均有

（A）若?1?1??2?2?注意：无论?1,?2,,?m是否无关，当?1??2??1?1??2?2???m?m?0

,?m，有?1?1?2?2????m?m?0，

（B）对任意一组不全为零的数?1,?2,则向量组?1,?2,,?m线性无关；

??m?m?0只有?1??2???m?0。

,?m，

注意：（B）意味着?1?1??2?2?（C）若?1,?2,有?1?1??2?2?注意：?1,?2,,?m线性相关，则对任意一组不全为零的数?1,?2,??m?m?0；

,?m线性相关只是至少存在不全为零的数?1,?2,,?m，有

?1?1??2?2???m?m?0未必是对任意一组不全为零的数有

?1?1?????m?m?02?2（D）由于0?1?0?2??0?m?0，所以?1,?2,,?m和?1,?2,,?m和

,?m线性无关。

(3)设有任意两个n维向量组?1,?2,全

为

零

的

数

,?m，若存在两组不

,km,

使

?1,?2,k1,k2,(?1?k1)?1?(?2?k2)?2?(?1?k1)?1?(?2?k2)?2?（A）?1,?2,（B）?1,?2,（C）?1??1,（D）?1??1,注意：

?(?m?km)?m??(?m?km)?m?0，则（D）。

,?m和?1,?2,,?m和?1,?2,,?m??m,?1??1,,?m??m,?1??1,,?m都线性相关；,?m都线性无关；,?m??m线性无关；,?m??m线性相关。

(?1?k1)?1?(?2?k2)?2??(?m?km)?m?(?1?k1)?1?(?2?k2)?2??(?m?km)?m?0??1??1??1???2??2??2??

??m??m??m??k1??1??1??k2??2k?2??35

?km??m??m??0

??1??2??3?????????2137．设?????n??1??2???n??n??n?1,?n）

,?n，且

，证明：?1,?2,,?n与?1,?2,,?n等价。

（提醒：可利用克来姆法则反解出?1,?2,证明：由条件可得?1,?2,,?n能线性表示?1,?2,??1,?2,,?n????1,?2,?0??1,?n?A，其中A??1???1?111r1?rk,k?2,1n11111110110111??1?1???0??n?11110101011101计算A?110111111101?(n?1)110111111n?1n?1n?10111010?111?(n?1)00?10000011?(?1)n?1(n?1)?0?1,?n能线性表示

所以A可逆，故??1,?2,,?n????1,?2,,?n与?1,?2,,tin)(i?1,2,,?n?A?1，即?1,?2,,?n等价。

?1,?2,,?n，故?1,?2,28．设有向量组?i?(ti,ti,,m;m?n)，试证：向量组?1,?2,,?m线

性无关，其中t1,t2,,tm为m个互不相等且不为0的常数。

（提醒：用定义证明，其间涉及范德蒙行列式的计算）

??1????2??证明：作矩阵A?，故R(A)?R??1,?2,??????m?,?m?。

计算矩阵A的秩，显然R(A)?m。且矩阵A有一个m阶子式

41

t1t2tmt122t22tmt1mmt2mtm??tii?1m1t11t21tmt1m?1m?1t2m?1tm??tii?1m1?i?j?m??tj?ti??0，故R(A)?m。

故R(A)?m?R??1,?2,

,?m??m?向量组?1,?2,,?m线性无关

9．设向量组{?1,?2,,?s}的秩为r1，向量组{?1,?2,?,?t}的秩为r2

,?s??,1?r3的,秩,为,2t,}证明：，

,2向量组{?1?max{r1,r2}?r3?r1?r2。

证明：设{?1,?2,,?r1}是{?1,?2,,?s}的极大无关组，

{?1,?2,{?1,?2,,?r2}是{?1,?2,?,?t}的极大无关组。显然,?r1,?1,?2,,?r2}能线性表示{?1,?2,,?r2}?R{?1,?2,,?s,?1,?2,,?t}

故R{?1,?2,又R{?1,?2,显然{?1,?2,,?r1,?1,?2,,?r1,?1,?2,,?s,?1,?2,,?t}

,?r2}?r1?r2，所以r3?r1?r2。

,?s,?1,?2,,?t}能线性表示{?1,?2,,?s}和{?1,?2,?,?t}。故

r3?r1，且r3?r2?max{r1,r2}?r3。

10．设A,B同为m?n矩阵，

证明（1）R(A?B)?R(A)?R(B)，

（2）R(A?B)?R(A)?R(B)。

证明：记A???1,?2,,?n?，B???1,?2,,?n?，则

,?n??n?

A?B???1??1,?2??2,记向量组M???1,?2,,?n??n?，A?B???1??1,?2??2,,?n?

,?n?，N???1,?2,K???1??1,?2??2,,?n??n?，L???1??1,?2??2,,?n??n?

则R(A)?R(M)，R(B)?R(N)，R(A?B)?R(K)，R(A?B)?R(L)作向量组H???1,?2,,?n,?1,?2,,?n?

由向量组秩的关系得R(H)?R(M)?R(N)?R(A)?R(B)

显然向量组H能表示向量组K,L，故R(H)?R(H)R(L)?R(H)，

42

即有R(A?B)?R(A)?R(B)，R(A?B)?R(A)?R(B)

43

11．设A为m?s矩阵，B为s?p矩阵，证明R(AB)?min{R(A),R(B)}。（提醒：令C?AB，证R(AB)?R(A)，证明方法也是考虑它们的列向量组之间的

关系；再由C?BA，证R(AB)?R(B)）

12．向量?1,?2,TTT,?n线性无关的充分必要条件是

D??1T?1?1T?2?2T?1?2T?2?nT?1?nT?2?1T?n?2T?n?nT?n?0

（提醒：令A?(?1,?2,,?n)，则D?ATA）

证明：D?ATA?0?ATA?0?AA?0?A?0

??1,?2,,?n线性无关

44

13．选择题

（1）设A是n阶矩阵，且A?0，则A中（C）

（A）必有一列元素全为零；（B）必有两列元素对应成比例；

（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合；（D）任一列向量都是其余向量的线性组合。

（2）已知线性方程组的系数矩阵A是4?5矩阵，且A的行向量组线性无关，则

以下结论正确的是（C）。

（A）A的列向量组线性无关；

注：A的行向量组线性无关?R(A)?4?A的列向量组线性相关（B）A的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；（C）A的增广矩阵的行向量组线性无关；

注：A的行向量组线性无关?R(A)?4?R(A)?4，又R(A4?6)?4?R(A)?4（D）A的增广矩阵的列向量组线性无关。

（3）设向量???1??2???s(s?1)，而

,?s????s

?1????1,?2????2,（A）R{?1,?2,（B）R{?1,?2,（C）R{?1,?2,（D）不能确定。注：简单证明?1,?2,

则以下结论中正确的是（A）。

,?s}=R{?1,?2,,?s}>R{?1,?2,,?s}R(B)；（C）R(A)

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§4n维向量空间

1．证明：V?{(x,y,z)x?2y?3z?0}是R3的子空间。证明：??,??V，不妨记??(x1,y1,z1)，??(x2,y2,z2)，则x1?2y1?3z1?0，x2?2y2?3z2?0。

????(x1?x2,y1?y2,z1?z2)

?x1?x2??2?y1?y2??3?z1?z2???x1?2y1?3z1???x2?2y2?3z2??0

故????V。

?k?R，k??(kx1,ky1,kz1)

kx1?2ky1?3kz1?k?x1?2y1?3z1??0

故k??V。故V?{(x,y,z)x?2y?3z?0}是R3的子空间。

2．设

V1?{(x1,x2,V2?{(x1,x2,,xn)xi?R,x1?x2?,xn)xi?R,x1?x2??xn?0}?xn?0}

问V1,V2是不是向量空间？为什么？

解;V1是向量空间（仿照上题证明对V1线性运算封闭）

V2不是向量空间，由于(0,0,,0)，0?0??0?0，则(0,0,,0)?V2。

?1??1??1??5?????????3．证明：由?1??2?,?2??2?,?3??0?构成R3的一个基，并求???9?在这

?3??0??0???2?????????个基下的坐标。

111证明：A??1?2?3?220?6?0，故R??1,?2,?3??3，故?1,?2,?3线性无

3003关且R??1,?2,?3??R??1,?2,?3构成R3的一个基。

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?1??1??2??0?????????10?114．设?1???,?2???,?1???,?2???，

?0??1??3???1?????????013????????1?V1?span{?1,?2},V2?span{?1,?2}，证明：V1?V2。

（提醒：只需证明?1,?2与?1,?2等价）

?1?3?2??1,?2??1??2；证明：由题的条件可知：?1?即??1,?2?与{?1,?2}等价?V1?V2设x?(x1,x2)，说明x1x2平面上f(x)?f?T11??1?3?2?,?2???1??2?22?x1??x1??=A??x??的几何意义。x?2??2?（1）A??

?00??01???10?；（2）；（3）A?A?????。??01??10??01?48

§5内积与正交向量组

1．试用施密特法把以下向量组正交化

?1??1??1???????（1）?1??1?,?2??2?,