电磁场与电磁波课件之静电场的边值问题

电磁场与电磁波课件之静电场的边值问题第1页，共13页，2023年，2月20日，星期一(有限场源的无限远处)2.静态场边值问题的类型：

②第二类边界条件是已知位函数在场域边界面S上各点的法向导数值，即给定

③第三类边界条件是已知一部分边界面S1上位函数的值，而在另一部分边界面S2上已知位函数的法向导数值，即给定

①第一类边界条件是已知位函数在场域边界面S上各点的值，即给定这种边值问题又称为狄里赫利问题。这种边值问题称为纽曼问题。这种边界条件称为混合问题。自然边界条件第2页，共13页，2023年，2月20日，星期一对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明静态场的位函数微分方程的解也是惟一的。由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此，解的稳定性具有重要的实际意义。解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。静态场是客观存在的，因此位函数微分方程解的存在确信无疑。第3页，共13页，2023年，2月20日，星期一若已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为，可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体上的电荷，就是第二类边界问题。

静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值，即为第一类边界问题。因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。例如第4页，共13页，2023年，2月20日，星期一已知场域边界上各点电位值自然边界条件参考点电位边值问题微分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即静电场的边值问题框图第5页，共13页，2023年，2月20日，星期一例设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。参考点电位边界条件解：采用球坐标系，分区域建立方程积分之，得通解第6页，共13页，2023年，2月20日，星期一对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由得到电场强度的分布。解得电位：电场强度（球坐标梯度公式）：第7页，共13页，2023年，2月20日，星期一3.惟一性定理(UniquenessTheorem)在场域V中的边界面S上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内具有惟一解。证明：（反证法）

设在边界面S包围的场域V内有两个位函数和都满足泊松方程，即令利用矢量恒等式对整个场域V积分，并利用散度定理有第8页，共13页，2023年，2月20日，星期一对于第一类边值问题，在整个边界面S上对于第二类边值问题，在整个边界面S上对于第三类边值问题，在整个边界面S1和S2上无论哪一类边值问题，都将得到第9页，共13页，2023年，2月20日，星期一由此，在场域V中各点，，即，也就是说有两个不同的解都满足微分方程和边界条件的假设是不成立的，故得证。对于第二类边值问题，若与取同一参考点，则在参考点处要使上式成立，必须在场域V内处处有表明，在整个场域V内恒为常数，即对于第一类边值问题，由于在边界面S上有，在整个场域V内，，即有，在整个场域V内也有对于第三类边值问题，由于所以，在整个场域V内也有第10页，共13页，2023年，2月20日，星期一4.类比法在边值问题的分析计算中，根据位场解答的惟一性定理，广泛采用类比法。例如，静电比拟法。现进一步概括如下：各种物理场，不论它们所对应物理量的意义是否相同，只要它们具有相同的数学描述，也就是说，具有相似的微分方程和相似的边界条件，则它们的解答在形式上必完全相似。因而，在理论计算时，可以把某一位场的分析计算结果，推广到一切相似的位场中去。一般多从静电场的角度提出问题，进行分析。再根据类比关系，将有关结论推广应用于导电媒质中的恒定电场、恒定磁场以及似稳电磁场中的对应问题。第11页，共13页，2023年，2月20日，星期一－－电场强度－－电场强度－－电位移矢量－－电流密度矢量－－介电常数－－电导率－－电位－－电位－－磁场强度－－磁导率－－标量磁位－－磁感应强度静电场（没有空间电荷分布的区域）导电媒质中的恒定电场（电源以外的区域）恒定磁场（没有电流密度存在的区域）⑴由拉普拉斯方程描述的场介质均匀媒质均匀媒质均匀第12页，共13页，2023年，2月20日，星期一⑵由泊松方程描述的场，只在二维场情况下静电场和恒定磁场之间才能应用类比法媒质均匀静电场恒定磁场介质均匀－－电场强度－－电位移矢量－－