电磁场矢量分析第三次课

电磁场矢量分析第三次课第1页，共77页，2023年，2月20日，星期一2本章内容1.1矢量代数1.2

常用正交曲线坐标系1.3

标量场的梯度1.4

矢量场的通量与散度1.5

矢量场的环流和旋度1.6

无旋场与无散场1.7

拉普拉斯运算与格林定理1.8

亥姆霍兹定理第2页，共77页，2023年，2月20日，星期一31.标量和矢量矢量的大小或模：矢量的单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示：1.1矢量代数矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。

矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示

注意：单位矢量不一定是常矢量。

矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。

第3页，共77页，2023年，2月20日，星期一4矢量用坐标分量表示zxy第4页，共77页，2023年，2月20日，星期一5（1）矢量的加减法

两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法矢量的减法

在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律交换律第5页，共77页，2023年，2月20日，星期一6（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）——矢量的标积符合交换律q矢量与的夹角第6页，共77页，2023年，2月20日，星期一7（4）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量与的叉积用坐标分量表示为写成行列式形式为若，则若，则第7页，共77页，2023年，2月20日，星期一8（5）矢量的混合运算——

分配律——

分配律——

标量三重积——

矢量三重积第8页，共77页，2023年，2月20日，星期一9

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。1.2

三种常用的正交曲线坐标系

在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。

三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。第9页，共77页，2023年，2月20日，星期一101、直角坐标系

位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量

点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx第10页，共77页，2023年，2月20日，星期一112、圆柱面坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量第11页，共77页，2023年，2月20日，星期一123、球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量第12页，共77页，2023年，2月20日，星期一134、坐标单位矢量之间的关系

直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系oqrz单位圆

柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系qq

ofxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系

f第13页，共77页，2023年，2月20日，星期一*上述关系可以写成矩阵形式*单位矢量映射关系常用于混合坐标下矢量运算时的

统一坐标*本课时作业:

证明位置矢量14圆柱坐标下的矢量在直角坐标中如何表达?第14页，共77页，2023年，2月20日，星期一*每日题例;习题1.6,1.7*剃度运算的物理意义和基本性质,相关题例说明*哈密顿算符的表达*通量,散度运算的物理意义*三大坐标系的散度公式推导*高斯定理,相关恒等式15第二次课要点;第15页，共77页，2023年，2月20日，星期一161.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。

例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。

例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：

确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：第16页，共77页，2023年，2月20日，星期一17标量场的等值面

标量场的等值线(面)等值面:

标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：意义:

形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。第17页，共77页，2023年，2月20日，星期一18标量场的梯度标量场关心的是物理量的分布变化规律.增量其中第18页，共77页，2023年，2月20日，星期一19标量场梯度的物理意义等位面上等位面间,增量du相等,路径dl以法线方向最短,变化率最大梯度代表着场点处标量变化率最大的方向和最大变化率任意方向上的变化率称为方向导数,为梯度在其指定方向en上的投影:第19页，共77页，2023年，2月20日，星期一202.方向导数意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。概念：

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向减小；

——

u(M)沿方向无变化。

M0M方向导数的概念

特点：方向性导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？——

的方向余弦。

式中：

第20页，共77页，2023年，2月20日，星期一21梯度的表达式(统一于线元的表达下)：圆柱面坐标系

球面坐标系直角面坐标系

3、标量场的梯度（或）意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向第21页，共77页，2023年，2月20日，星期一22标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第22页，共77页，2023年，2月20日，星期一23

题例

设一标量函数(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：

(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；

(2)求该函数沿单位矢量el=

excos60＋eycos45

＋ezcos60方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。

解

(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为第23页，共77页，2023年，2月20日，星期一24表征其方向的单位矢量

(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为第24页，共77页，2023年，2月20日，星期一25而该点的梯度值为

显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。第25页，共77页，2023年，2月20日，星期一关于距离R的梯度运算距离为标量,(x,y,z)为场点,(x’,y’,z’)为场源所在的源点存在26第26页，共77页，2023年，2月20日，星期一上述重要结论的证明见例1.3.1。27第27页，共77页，2023年，2月20日，星期一矢量场关心的问题围绕一张场图展开：28场源场量媒质位函数边界条件能量结构、参数第28页，共77页，2023年，2月20日，星期一借助于流速场，首先解决场量分布已知，场源如何定位？定义什么运算来定位场源？其次要明确矢量的场源有那些具体形式，如何分类？通量，散度，环流，旋度都是相关的概念。亥姆霍斯回答了场源的类型。29第29页，共77页，2023年，2月20日，星期一301.4矢量场的通量与散度

1、矢量线

意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线oM

第30页，共77页，2023年，2月20日，星期一312、矢量场的通量

问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。

通量的概念：其中：——面积元矢量；——面积元的法向单位矢量；——穿过面积元的通量；

如果曲面S是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：面积元矢量第31页，共77页，2023年，2月20日，星期一32通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果

闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义第32页，共77页，2023年，2月20日，星期一矢量闭合面通量的物理意义是寻找场域闭合面内标性场源的宏观总量,对标性场源的定位是不精确的,需要在点源意义下进行定位33第33页，共77页，2023年，2月20日，星期一343、矢量场的散度

为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。

散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。散度代表着标性场源的点密度第34页，共77页，2023年，2月20日，星期一35柱面坐标系球面坐标系直角坐标系散度的表达式(推导论证)：散度的有关公式：第35页，共77页，2023年，2月20日，星期一36直角坐标系下散度表达式的推导

由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为oxy在直角坐标系中计算Ñ·FzzDxDyDP

不失一般性，令包围P点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。则M(x,y,z)第36页，共77页，2023年，2月20日，星期一37根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为

同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P穿出该六面体的净通量为借助于直角坐标系推导,整理成矢性表达,利用场性质不因坐标而变的性质推广到其他坐标系是非常重要的手段第37页，共77页，2023年，2月20日，星期一38园柱面坐系散度公式的推导验算结合习题1.17第38页，共77页，2023年，2月20日，星期一39球面坐标系散度推导第39页，共77页，2023年，2月20日，星期一404、散度定理体积的剖分VS1S2en2en1S

从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即(物理意义是标性场源宏观总量平衡)

散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。第40页，共77页，2023年，2月20日，星期一散度定理的几个应用:*验算散度的表达推导是否正确,如果散度(标性点源)的体积分(宏观总量),与矢量闭合面的积分(宏观总量)相等,证明散度推导出来的表达式是真确的习题1.18求（1）矢量

的散度；（2）求

对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求

对此立方体表面的积分，验证散度定理。41第41页，共77页，2023年，2月20日，星期一*散度定理用于积分转换,一个方向计算复杂换另一个方向可能较。如：换成散度的体积分去完成较快，避免了混合坐标的下矢量的面积分计算.42第42页，共77页，2023年，2月20日，星期一*用于公式整和，尤其是基本方程微分形式和积分形式的相互转换*本课时内容小结43第43页，共77页，2023年，2月20日，星期一每日练习:习题1.17,验证散度定理判断圆柱坐标的散度表达是否正确已知:44第44页，共77页，2023年，2月20日，星期一面积分方向45第45页，共77页，2023年，2月20日，星期一体积份方向:因此圆柱坐标的散度表达是正确的46第46页，共77页，2023年，2月20日，星期一47利用高斯散度定理证明如下结论:其中:高斯散度定理先证积分方向,在转化微分方向第47页，共77页，2023年，2月20日，星期一48因此有第48页，共77页，2023年，2月20日，星期一*本课时要点:*了解环流、旋度运算的物理意义，借助直角坐标系完成推导，推广到其他坐标系，结合斯托克斯定理加于验算。*了解主要的矢量恒等式*了解双重微分运算的展开形式*了解亥姆霍兹定理的内容，场的分类，位函数引用的条件*归纳本章要点*讨论部分重点习题49第49页，共77页，2023年，2月20日，星期一501.5矢量场的环流和旋度

矢量场的环流与旋涡源

例如：流速场

不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。（对于旋涡源，矢量闭合面的积分恒等于零，需要定义其他的运算）第50页，共77页，2023年，2月20日，星期一51

如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：上式建立了磁场的环流与电流的关系。

第51页，共77页，2023年，2月20日，星期一52如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。环流的概念（旋涡源只能用矢量的线积分来寻找定位）

矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即环流的物理意义：指定路径上的旋涡源宏观总量，标性的结果第52页，共77页，2023年，2月20日，星期一53如果矢量场在指定闭合回路的环流为零，可能场域无源，也可能正负旋涡源抵消，也可能是路径与旋涡源垂直。因此环流运算对旋涡源的定位是不精确的，需要在点源意义下表达。定义为旋度旋度运算结果为矢量，代表旋涡点源的强度和方向完成旋度运算只需要计算旋涡源在坐标三个面上的投影第53页，共77页，2023年，2月20日，星期一54

过点M作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限称为矢量场在点M处沿方向n的环流面密度。

矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。

特点：其值与点M处的方向n有关。2、矢量场的旋度（）

（1）环流面密度第54页，共77页，2023年，2月20日，星期一55而

推导

的示意图如图所示。oyDz

DyCMzx1234计算的示意图

直角坐标系中、、的表达式第55页，共77页，2023年，2月20日，星期一56于是

同理可得故得概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即物理意义：旋涡源密度矢量。性质：（2）矢量场的旋度第56页，共77页，2023年，2月20日，星期一57旋度的计算公式:直角坐标系圆柱面坐标系球面坐标系第57页，共77页，2023年，2月20日，星期一58旋度的有关公式：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零物理意义：旋涡点源永远无法用矢量的闭合面积分来发现第58页，共77页，2023年，2月20日，星期一593、Stokes定理（物理意义：旋涡点源宏观总量平衡）Stokes定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。曲面的剖分方向相反大小相等结果抵消

从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即第59页，共77页，2023年，2月20日，星期一603、Stokes定理（物理意义：旋涡点源宏观总量平衡）

*Stokes定理可以用于验证旋度的表达是否正确Stokes可以用于积分转换，一种运算有时换成另一个方向去完成

可能较简明Stokes定理也常用于公式整合、推导*题例讨论习题：1.21、1.22及习题1.31第60页，共77页，2023年，2月20日，星期一614、散度和旋度的区别

第61页，共77页，2023年，2月20日，星期一621、矢量场的源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；

旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6无旋场与无散场第62页，共77页，2023年，2月20日，星期一632、矢量场按源的分类（1）无旋场(性质：，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋场可以用标量场的梯度表示为例如：静电场第63页，共77页，2023年，2月20日，星期一64（2）无散场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场第64页，共77页，2023年，2月20日，星期一65（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无散场部分第65页，共77页，2023年，2月20日，星期一66基于上式还可获得下列两式：上两式称为标量第二格林定理。

格林定理说明了区域V中的场与边界S上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。

此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。

格林定理广泛地用于电磁理论。第66页，共77页，2023年，2月20日，星期一67亥姆霍兹定理:

若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为式中：

亥姆霍兹定理说明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。1.8亥姆霍兹定理第67页，共77页，2023年，2月20日，星期一68有界区域

在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。第68页，共77页，2023年，2月20日，星期一亥姆霍兹定理本质:场源明确了,则场的性质就明确。任何矢量场都只有散度和旋度两种源（无界条件下，微分运算连续时），因此，矢量场有散度，旋度和边界条件所决定，由此产生场的分类和位函数的引入，带来一些分析计算观点的转换69第69页，共77页，2023年，2月20日，星期一701.7拉普拉斯运算与格林